一道課本練習(xí)題的解法探究

曾子斌

摘 要：以人教版必修4第147頁第三章《三角恒等變換》復(fù)習(xí)參考題B組第7題進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)為例，探究在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何啟發(fā)學(xué)生剖析問題，深入挖掘課本習(xí)題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)和科學(xué)精神。

關(guān)鍵詞：課本習(xí)題；探究；學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)是思維的體操。教師應(yīng)抓住高中生思維發(fā)展的飛躍時(shí)期，利用成熟期前可塑性大的特點(diǎn)，鼓勵(lì)學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中多動(dòng)腦思考，找到解題方法和規(guī)律。故在教學(xué)時(shí)要立足課本，不是簡單地查找課本中相關(guān)題目，一做了之，而是深入挖掘課本相關(guān)內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法，研究習(xí)題背景及其內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生探究不同解法，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，從而培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)和科學(xué)精神。本文以人教版必修4第147頁第三章《三角恒等變換》復(fù)習(xí)參考題B組第7題為例，深入挖掘，多角度探究，拋磚引玉。

例 如圖1，正方形ABCD的邊長為1，AB、AD上各有一點(diǎn)P、Q，如果△APQ的周長為2，求∠PCQ的度數(shù)。

分析：本題考查了正切的定義、兩角和的正切定義、向量的數(shù)量積與夾角、三角形及正方形的基本性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換，是必修4中的一個(gè)數(shù)形結(jié)合題型的綜合應(yīng)用題。可首先考慮到點(diǎn)P、Q為動(dòng)點(diǎn)，把P、Q放特殊位置B、A處，可以得到∠PCQ=45°?，F(xiàn)通過以下解法進(jìn)行探究，求得∠PCQ=45°即可。

解法1：旋轉(zhuǎn)法

先介紹一種初中平面解題思路，學(xué)生會(huì)比較有興趣。如圖2，旋轉(zhuǎn)△CDQ使得CD與CB重合，易得PE=PB+DQ，而PQ=2-AQ-AP=PB+DQ=PE，根據(jù)SSS易證∠PCQ=∠PCE=45°。

解法2：平面向量法

本方法是學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)必須掌握的解題方法借助向量工具解決“邊與角”的問題，但這題用本方法解題的過程中計(jì)算量偏大，故具體講解時(shí)以拓展解題思路為主。根據(jù)圖3設(shè)相應(yīng)的邊和角，借助向量工具得。

解：如圖3，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AP=x，AQ=y；

則：=（-1，y-1），=（x-1，-1）

cosθ=

=

∵△APQ的周長為2，∴x+y+=2

可得x=

帶入上式化簡可得cos∠PCQ=

即∠PCQ=45°

解法3：三角函數(shù)法

本題用到化歸思想、函數(shù)思想，特別是突出“三角函數(shù)”是解決“角與邊”問題的工具。首先按圖4所示設(shè)對(duì)應(yīng)的邊和角有互余把求∠PCQ轉(zhuǎn)化為求（α+β）的和角問題，觀察結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)tanα和tanβ容易計(jì)算.故選擇tan（α+β）展開。

tan（α+β）==，通過三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系。觀察右式特點(diǎn)，需要把（x+y）與xy整體互換。根據(jù)已知條件x+y+=2可得xy=2（x+y）-2帶入化簡可得tan（α+β）=1，返回所求角，問題解決.

解：設(shè)AP=x，AQ=y，∠DCQ=α，∠BCP=β

則tanα=1-y，tanβ=1-x，

tan（α+β）==，

∵△APQ的周長為2，

∴x+y+=2，可得xy=2（x+y）-2，

∴tan（α+β）==1.

又∵0<α+β<，

∴α+β=，

即∠PCQ=-（α+β）=

解法4：解三角形法

學(xué)習(xí)必修5以后，又可用到解三角形方法——余弦定理建立起邊角關(guān)系，和向量法一樣，計(jì)算量偏大，介紹解題思路為主。

cos∠PCQ==

根據(jù)已知條件x+y+=2可得x=，帶入上式化簡可得cos∠PCQ=

解：設(shè)AP=x，AQ=y；

則：CQ= CP= PQ=

在△CPQ中，

cos∠PCQ==

∵△APQ的周長為2，∴x+y+=2

可得x=

帶入上式化簡可得cos∠PCQ=

即∠PCQ=45°

教育心理學(xué)理論認(rèn)為：思維是人腦對(duì)事物本質(zhì)和事物之間規(guī)律性關(guān)系概括的間接反映。只有把掌握知識(shí)、技能作為中介來發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)才符合素質(zhì)教育的基本要求。一題多解可拓寬思路，通過不同數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系與啟發(fā)，強(qiáng)調(diào)類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法的運(yùn)用，自然而然得到題目的另一種解法。教師的教法常常影響到學(xué)生的學(xué)法，靈活多變的教學(xué)方法對(duì)學(xué)生思維靈活性的培養(yǎng)起著潛移默化的作用，在體驗(yàn)一題多解的過程中，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，養(yǎng)成主動(dòng)探究，積極思考的好習(xí)慣，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和科學(xué)精神。深入、大膽質(zhì)疑、完備知識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)自然明了。

參考文獻(xiàn)：

[1]龐維國.論學(xué)生的自主學(xué)習(xí)[J].華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)（教育科學(xué)版），2001（2）.

[2]陳琦.當(dāng)代教育心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1997：102.

？誗編輯 溫雪蓮