基于板單元形函數(shù)的簡支T梁橋車橋振動分析

陳代海，李　整，馬鳳瑞

(鄭州大學(xué) 土木工程學(xué)院，河南 鄭州 450001)

隨著我國經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，交通量日益增大，車輛載重、密度及行駛速度顯著提高，車流形式趨于復(fù)雜化，公路橋梁的車橋耦合問題已不容忽視。相比于鐵路橋梁，公路橋梁的寬度較大，橋型以多片式梁或?qū)捪淞簶驗橹鳎嗥胶喼Я簶蜃鳛樗袠蛐椭凶畛Ｒ姷囊环N，在公路交通中得到了相當(dāng)廣泛的應(yīng)用。目前，對于簡支梁橋的車橋耦合振動已有不少的研究成果，蔣培文等[1?2]通過 ANSYS的APDL語言編制計算機(jī)程序，分析了主梁剛度下降、車輛勻變速、橋面局部凹陷等因素對簡支梁橋車橋耦合振動響應(yīng)的影響；陳水生等[3]采用Runge-Kutta數(shù)值算法通過 Matlab語言編制相關(guān)程序研究了多車激勵下簡支梁的沖擊系數(shù)；桂水榮等[4]研究了移動車輛荷載作用下多片簡支梁橋的振動響應(yīng)及沖擊系數(shù)。已有的研究大部分是基于簡支梁橋的梁單元模型，通過梁單元的形函數(shù)來實(shí)現(xiàn)車橋耦合關(guān)系。本文結(jié)合多片式梁橋通過橋面板傳遞汽車荷載給主梁的實(shí)際情況，提出一種基于矩形薄板單元形函數(shù)的公路橋梁車橋耦合振動分析新方法。在此基礎(chǔ)上，針對目前公路簡支梁橋上日益嚴(yán)重的超載超速現(xiàn)象，重點(diǎn)研究了不同車速下重載汽車在車隊中的位置、數(shù)量及間距對橋梁沖擊系數(shù)的影響規(guī)律。

1　多片式梁橋車橋耦合振動分析原理

將車橋耦合振動系統(tǒng)分為汽車和橋梁2個分離的子系統(tǒng)[5?6]，分別利用虛功原理和有限單元法建立汽車與橋梁的運(yùn)動方程，兩者之間通過車輪與橋面接觸點(diǎn)處的位移協(xié)調(diào)條件與相互作用力的平衡關(guān)系相聯(lián)系，采用迭代法求解車橋系統(tǒng)的動力響應(yīng)。

1.1　汽車模型及其運(yùn)動方程

汽車采用彈簧、阻尼元件相連的多剛體模型，以兩軸的 1/2汽車模型為例，其共有 3個剛體：1個車體和2個車輪，剛體之間通過彈簧和阻尼元件相互連接[7]，如圖1所示。

其中，M和J分別為車體的質(zhì)量和繞橫軸的轉(zhuǎn)動慣量；m為構(gòu)架和輪對質(zhì)量之和；ku和kd分別為為上、下層彈簧的剛度系數(shù)；cu和cd分別為上、下層阻尼元件的阻尼系數(shù)；r1和r2分別為前、后車輪接觸點(diǎn)處的路面粗糙度；車體考慮2個自由度，分別為豎向位移z和繞橫軸轉(zhuǎn)角θ，每個車輪被賦予1個豎向位移自由度(z1和z2)，整個模型共計4個自由度，位移方向以圖示所示方向為正，其待求未知位移為

根據(jù)虛功原理，汽車模型中做虛功的作用力主要有：慣性力(Mz˙，Jθ˙，11mz˙，22mz˙)，懸置力uiF，輪胎力diF。其中，

式中： (,)Nxy為單元形函數(shù)；biz為第 i個車橋接觸點(diǎn)所在橋梁單元的節(jié)點(diǎn)位移；r(x)i為第i個車橋接觸點(diǎn)處的橋面粗糙度值。

圖1　1/2汽車模型作用于橋梁的示意圖Fig.1　Diagram of the bridge subjected to 1/2 vehicle model

由廣義虛功原理可知，外力對汽車模型所做的虛功之和應(yīng)為0，即：

將式(2)～(4)代入到式(5)，得到：

將式(6)寫成矩陣形式，得到汽車的運(yùn)動方程為：

按照“對號入座”法則，得到 Mv，Kv，Cv和Fv的表達(dá)式如下：

1.2　橋梁模型及其運(yùn)動方程

橋梁采用彈性連續(xù)體模擬，常用梁單元來離散。以其在無汽車荷載作用下的平衡位置為初始狀態(tài)，由常規(guī)的有限單元法得到橋梁自身的質(zhì)量矩陣Mb，剛度矩陣Kb和阻尼矩陣Cb，橋梁的運(yùn)動方程為：

Fb為作用于橋梁上的荷載向量，單個車輪施加給橋梁的作用力可表示為：

式中：GiF 為第i個輪胎分擔(dān)的車輛重力。

1.3　基于板單元形函數(shù)的車橋耦合關(guān)系

1.3.1幾何耦合關(guān)系

在車輪與橋面始終接觸的情況下，車輛和橋梁在車輪與橋面接觸點(diǎn)處具有相同的位移協(xié)調(diào)條件。若車輪與橋面接觸點(diǎn)處的路面粗糙度為 r(x)，則車輪在車橋接觸點(diǎn)處的豎向位移可表示為[8?9]：

其中：wb為接觸點(diǎn)處橋面的豎向位移。

以汽車的左前輪為例，在汽車行駛過程中的某一時刻，車輛的左前輪位于由橋梁單元節(jié)點(diǎn)i，j，k和m組成的橋面板內(nèi)，如圖2所示。

圖2　車輪與多主梁橋面的幾何耦合關(guān)系Fig.2　Geometrical coupling relationship between wheels and multiple girder bridge deck

接觸點(diǎn)處橋面的豎向位移可由矩形薄板單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移來表示，即

N1，N2，N3，…，N12的具體表達(dá)式見參考文獻(xiàn)[10?11]。zb為橋梁單元節(jié)點(diǎn)i，j，k和m的位移，可表示為：

其中：z，φ和θ分別為節(jié)點(diǎn)的豎向位移、繞X軸的轉(zhuǎn)角和繞Y軸的轉(zhuǎn)角。

車輪在車橋接觸點(diǎn)處的豎向速度可表示為：

假定汽車在縱橋向以勻速v行駛，在橫橋向無速度，則

1.3.2力學(xué)耦合關(guān)系

車橋耦合振動系統(tǒng)中，汽車與橋梁之間的力學(xué)耦合關(guān)系體現(xiàn)在車輪與橋面接觸點(diǎn)的相互作用力。在豎向激勵作用下，第i個車輪所受豎向荷載為：

單個車輪施加給橋梁的作用力見式(13)，當(dāng)車輪與橋面接觸點(diǎn)位置位于由橋梁單元節(jié)點(diǎn) i，j，k和m組成的橋面板內(nèi)時，如圖3所示，車輪施加給橋梁的作用力可以等效到橋梁單元節(jié)點(diǎn)上，即：

2　多片式梁橋車橋耦合振動分析方法及算例驗證

2.1　車橋耦合分析方法

對于汽車?橋梁耦合系統(tǒng)，將汽車和橋梁運(yùn)動方程分別獨(dú)立求解，通過分離迭代來滿足車橋2個子系統(tǒng)之間接觸點(diǎn)處的位移協(xié)調(diào)和車橋相互作用力平衡條件。在每個時間步內(nèi)，分離迭代法求解汽車?橋梁系統(tǒng)運(yùn)動方程的具體步驟如下：

1) 將上一迭代步的橋梁動力響應(yīng)作為初始迭代值，結(jié)合當(dāng)前時刻的路面粗糙度，由式(11)求得汽車所受到的作用力Fv；

2) 采用 Newmark-β法求解式(7)得到當(dāng)前迭代步的車輛動力響應(yīng)；

3) 由式(13)計算每個車輪施加于橋梁的作用力(其中的彈性力和阻尼力若為拉力，則表明車輪與橋面脫離，此時車輪施加給橋面的力應(yīng)置為0[12])，形成橋梁的荷載矩陣Fb；

4) 采用 Newmark-β法求解式(12)得到當(dāng)前迭代步的橋梁動力響應(yīng)；

5) 對比當(dāng)前迭代步和上一迭代步的橋梁位移，制定收斂準(zhǔn)則。若橋梁位移不收斂，則重復(fù)步驟1)～4)直至車橋的位移耦合關(guān)系和相互作用力平衡條件滿足要求；若橋梁位移收斂，則進(jìn)行下一時間步的計算。

基于上述車橋耦合振動分析方法，運(yùn)用Visual Fortran6.5語言編制了汽車?橋梁耦合系統(tǒng)的動力分析程序，程序框圖如圖3所示。

圖3　汽車?橋梁耦合系統(tǒng)空間振動分析程序框圖Fig.3　Block diagram for spatial vibration analysis of vehicle-bridge coupling system

2.2　算例驗證

2.2.1車橋耦合振動分析方法的算例驗證

為驗證車橋耦合振動分析方法的正確性，以一個彈簧?質(zhì)量體系為研究對象，其中移動質(zhì)量塊為m=101 978.8 kg，支撐質(zhì)量塊的彈簧剛度為k=1.00×1011N/m，計算其以v=36 km/h的速度勻速通過簡支梁橋時的車橋動力響應(yīng)，如圖4所示。其中，橋梁參數(shù)為：跨徑 l=30 m，單位長度質(zhì)量 m=2 549 kg/m，抗彎慣性矩I=0.45 m4，彈性模量 E=3.45×1010N/m，泊松比μ=0.2。與通用有限元軟件Ansys的計算結(jié)果進(jìn)行對比分析[13]，橋梁跨中豎向位移對比如圖5所示。

圖4　彈簧?質(zhì)量體系勻速通過簡支梁橋示意圖Fig.4　Spring-mass system moving through simply supported beam bridge at constant speed

圖5　橋梁跨中豎向位移時程比較Fig.5　Comparison of vertical displacement of bridge’s mid-span

由圖5可以看出，由本文程序和Ansys計算得到的數(shù)據(jù)結(jié)果吻合較好，說明采用上述車橋耦合振動分析方法編制的計算程序可用于車橋耦合系統(tǒng)的振動分析，且相比于通用軟件 Ansys，本文程序的計算效率要高。

2.2.2基于板單元形函數(shù)的車橋耦合振動分析方法算例驗證

為驗證本文提出的基于板單元形函數(shù)的車橋耦合分析方法與自編程序的正確性和精度，參照文獻(xiàn)[14]的車橋幾何耦合和力學(xué)耦合關(guān)系，采用本文方法(簡稱為“方法 1”)和文獻(xiàn)[14]的方法(簡稱為“方法2”)對某簡支梁進(jìn)行分析，橋梁結(jié)構(gòu)尺寸參考文獻(xiàn)[15]，選取20 t三軸載重汽車，車輛參數(shù)參考文獻(xiàn)[16]。

計算過程中布置2個車道，第1和2個車道的中心線分別與②和④號主梁的中心重合。每個車道上行駛1輛汽車，2輛汽車同向運(yùn)行，以60 km/h的速度勻速通過橋梁，不考慮橋面粗糙度的影響。圖 6～7分別為采用 2種方法計算得到的橋梁動力響應(yīng)。

圖6　第1片主梁跨中位移時程比較圖Fig.6　Comparison of mid-span’s displacement of the first main girder

圖7　第1片主梁跨中加速度時程比較圖Fig.7　Comparison of mid-span’s acceleration of the first main girder

從圖6～7可以看出，采用本文方法計算得到的車橋動力響應(yīng)與文獻(xiàn)[14]的計算結(jié)果吻合較好。說明本文提出的基于板單元形函數(shù)的車橋耦合分析方法與文獻(xiàn)[14]的方法在理論上是一致的。但在進(jìn)行兩片主梁之間的車輪荷載橫橋向分配時，方法 1利用板單元形函數(shù)，而方法2采用“杠桿法”的思路。因此，本文方法可適用于車輪荷載使橋面板產(chǎn)生較大變形的情況，其可用于公路橋梁多片式梁橋的車橋耦合振動分析。

3　多片式簡支梁橋的車橋耦合振動分析

3.1　工程概況

某多片式簡支T梁橋主梁全長為19.96 m，計算跨徑為19.4 m，全斷面有5片主梁，如圖8所示，設(shè)置5根橫梁，如圖9所示，材料采用C30混凝土，不考慮普通鋼筋的影響。

圖8　橋梁橫截面Fig.8　Cross section of bridge

圖9　橋梁橫隔梁布置圖Fig.9　Arrangement diagram of bridge’s diaphragm

3.2　沖擊系數(shù)

根據(jù)沖擊系數(shù)的定義，將橋梁響應(yīng)的沖擊系數(shù)μ定義為：

式中： Rdmax為動力分析時橋梁響應(yīng)的最大值，Rsmax為相同工況靜力分析時橋梁響應(yīng)的最大值。

3.3　車橋耦合振動影響因素分析

基于上述多片式梁橋車橋耦合振動分析理論及方法，運(yùn)用自編的計算程序，對某多片式簡支T梁橋進(jìn)行車橋耦合振動因素分析。全橋布置2個車道，其中第1和2車道的中心線分別與②和④號主梁的中心重合。選取20 t的三軸載重汽車(簡稱重車)和桑塔納汽車作為加載車型，其車輛參數(shù)分別見文獻(xiàn)[9]。計算過程中選取40，60，80和100 km/h 4種常見車速。

3.3.1重車位置的影響

為研究重車在車隊中的位置對橋梁沖擊系數(shù)的影響，在每個車道上布置一個車隊，每個車隊由1輛重車和4輛桑塔納汽車組成，車輛間距為5 m。工況1：重車位于車隊中第1輛車的位置，編號為1，依此類推，在每種車速下通過改變重車在車隊中的位置形成5種計算工況。圖10為不同車速下3號主梁跨中沖擊系數(shù)隨重車位置的變化曲線，圖11為不同車速下車隊中第1輛桑坦納汽車車體加速度最大值隨重車位置的變化曲線。

圖10　不同車速下沖擊系數(shù)隨重車位置的變化曲線Fig.10　Impact coefficient changing with the position of heavy vehicle under different speed

圖11　不同車速下車體加速度最大值隨重車位置的變化曲線Fig.11　Acceleration of the car body changing with the position of heavy vehicle under different speed

從圖10可以看出，在車速為80 km/h的工況下，橋梁的沖擊系數(shù)隨重車在車隊中位置的改變，其值變化最明顯，由1.03增大到1.07，增幅為3.2%，其在其他車速下變化不顯著，說明在相同車速下，重車在車隊中的位置對橋梁沖擊系數(shù)的影響不大。同時，隨著車速的提高，在同一車隊作用下的橋梁沖擊系數(shù)呈現(xiàn)增大趨勢。從圖 11可以看出，在不同車速下，隨重車在車隊中的位置后移，第1輛車的車體加速度最大值逐步減小。當(dāng)重車在車隊中的編號由2號變?yōu)?號時，即第1輛車與重車的距離由5 m增大到12.6 m，在車速為100 km/h的工況下，第 1輛車的車體加速度最大值由 0.70 m/s2減小到0.16 m/s2，最大降幅達(dá)到77.7%。因此，為防止車輛在行駛過程中振動過大，在車隊過橋時應(yīng)該與重車保持10 m以上的距離。

3.3.2重車數(shù)量的影響

為分析重車數(shù)量對橋梁沖擊系數(shù)的影響，在每個車道上布置一個車隊，每個車隊均由重車組成，車輛間距為5 m，在每種車速下重車數(shù)量為1～5輛，分別計算5種工況。圖12為不同車速下3號主梁跨中沖擊系數(shù)隨重車數(shù)量的變化曲線。

圖12　不同車速下沖擊系數(shù)隨重車數(shù)量的變化曲線Fig.12　Impact coefficient changing with the number of heavy vehicle under different speed

從圖12可以看出，在車速小于80 km/h的工況下，重車數(shù)量為2輛時的沖擊系數(shù)要比重車數(shù)量為1輛時要大，但橋上重車數(shù)量增加到2輛后，其沖擊系數(shù)變化較小。在車速大于80 km/h的工況下，隨重車數(shù)量的增加，沖擊系數(shù)呈現(xiàn)先減小后增大趨勢，在車速100 km/h時，這種變化規(guī)律更明顯。因此，橋上重車數(shù)量保持為2輛且車速控制在80 km/h以內(nèi)，對橋梁相對有利。

3.3.3車輛間距的影響

為研究車輛間距對橋梁沖擊系數(shù)的影響，在每個車道上布置2輛重車組成一個車隊，在每種車速下車輛間距從5 m以1 m為增量步長增加到16 m，共計48種計算工況。圖13為不同車速下3號主梁跨中沖擊系數(shù)隨重車間距的變化曲線。

圖13　不同車速下沖擊系數(shù)隨車輛間距的變化曲線Fig.13　Impact coefficient changing with the spacing of vehicles under different speed

由圖13可以看出，在車速小于80 km/h的工況下，隨著車輛間距增大，橋梁沖擊系數(shù)變化不大。在車速100 km/h的工況下，車輛間距在7～10 m，13～15 m范圍內(nèi)時，沖擊系數(shù)隨車輛間距的增加有增大的趨勢，車輛間距在5～7 m，10～12 m范圍內(nèi)時，沖擊系數(shù)隨車輛間距的增加有減小的趨勢。隨著車輛間距的增加沖擊系數(shù)的取值是波動的?？傮w上看，車速越大，橋梁的沖擊系數(shù)越大。

4　結(jié)論

1) 提出一種基于矩形薄板單元形函數(shù)的公路橋梁車橋耦合振動分析新方法，該方法通過矩形薄板單元形函數(shù)將車輪荷載分配給主梁，符合公路橋梁通過橋面板傳遞車輪荷載給主梁的實(shí)際情況，可為多片式梁橋的車橋耦合振動分析提供一種新思路。

2) 重載汽車在車隊中的位置對橋梁沖擊系數(shù)影響不大，但其對鄰近車輛的車體加速度影響明顯，為防止車輛在行駛過程中振動過大，在車隊過橋時車輛應(yīng)盡量與重載汽車保持10 m以上的距離。

3) 橋上重載汽車的數(shù)量保持為 2輛且車速控制在80 km/h以內(nèi)，對橋梁相對有利。

4) 隨著車輛間距的增加，沖擊系數(shù)并不單調(diào)減小，總體上看，車速越大，橋梁的沖擊系數(shù)越大。