微積分思想在不等式證明中的應(yīng)用

◎張立欣　叢　申

(塔里木大學(xué)信息工程學(xué)院，新疆　阿拉爾　843300)

一、中值定理證明不等式

拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f(x)滿足：

二、單調(diào)性證明不等式

函數(shù)單調(diào)性的判定法：設(shè)函數(shù)f(x)在開區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)，若f′(x)>0(f′(x)<0)，則f(x)在開區(qū)間I內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).

若f′(x)>0，則任取x1，x2∈I(x1

若f′(x)<0，則任取x1，x2∈I(x1f(x2).

三、極值證明不等式

要證明f(x)≥g(x)，只要證明函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的極小值大于0即可.

例3設(shè)a>ln2-1為任一常數(shù)，試證：當(dāng)x>0時(shí)，x2-2ax+1

證明令f(x)=ex-x2+2ax-1，很明顯f(0)=0，

且f′(x)=ex-2x+2a，f″(x)=ex-2，

令f″(x)=0，即x=ln2，則在(0，ln2)內(nèi)f″(x)<0，在(ln2，+∞)內(nèi)，f″(x)>0，minf′(x)=f′(ln2)=eln2-2ln2+2a=2-2ln2+2a=2(1-ln2+a)>0，

故f(x)單調(diào)遞增，因此，f(x)>f(0)=0，

即ex-x2+2ax-1>0，即x2-2ax+1

四、利用函數(shù)的凹凸性證明不等式

函數(shù)凹凸性的判定法：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)，若f″(x)>0(f″(x)<0)，則f(x)在區(qū)間I內(nèi)圖形是凹的(凸的).

證設(shè)f(t)=tn，則f″(t)=n(n-1)tn-2>0(t>0)，

五、泰勒公式證明不等式

證f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，由泰勒公式可知：

f(x+h)=f(x)+f′(x)h+f″(x)h2+ο(h2)，

f(x-h)=f(x)-f′(x)h+f″(x)h2+ο(h2).

兩式相加可得f(x+h)+f(x-h)=2f(x)+f″(x)h2+ο(h2)，

故f″(x)h2+ο(h2)=f(x+h)+f(x-h)-2f(x)≥0.

令h→0，可得f″(x)≥0.

六、定積分證明不等式

總之，在不等式的證明過程中，結(jié)合不等式的特點(diǎn)，恰當(dāng)運(yùn)用中值定理、函數(shù)的單調(diào)性、極值理論、函數(shù)的凹凸性、泰勒公式、定積分的性質(zhì)等，可以將不等式的證明簡化，實(shí)踐證明，這些方法容易被學(xué)生理解和接受.