基于線性分解的解析信號(hào)法估算品質(zhì)因子Q

劉 洋 李向陽 楊東方

(①西京學(xué)院，陜西西安 710123； ②中國石油大學(xué)(北京)油氣資源與探測(cè)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249； ③中國石油大學(xué)(北京)CNPC物探重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249； ④英國地質(zhì)調(diào)查局，Edinburgh，UK； ⑤火箭軍工程大學(xué)，陜西西安 710025)

1 引言

地震波在地下介質(zhì)中傳播，能量發(fā)生衰減，主要因素有非固有衰減和固有衰減兩類。其中，非固有衰減包括幾何擴(kuò)散、反射透射損失及層間顆粒散射等，固有衰減主要指與地層介質(zhì)非均勻黏彈特性有關(guān)的吸收衰減，屬于介質(zhì)內(nèi)在屬性的本征衰減。由于介質(zhì)對(duì)高頻成分的吸收比低頻嚴(yán)重，導(dǎo)致地震波譜向低頻移動(dòng)，子波波形改變，降低了地震資料的分辨率。因此，研究地下介質(zhì)對(duì)地震波的吸收特性，對(duì)于改善地震資料分辨率、油氣地球物理屬性反演和儲(chǔ)層描述等有著重要的意義[1]。

品質(zhì)因子Q是表征介質(zhì)吸收衰減特性的常用參量之一，與巖石物性、孔隙度、流體類型和流體飽和度等因素有關(guān)[2]，Q值越小，吸收越嚴(yán)重。常規(guī)的Q值提取方法包括三類：時(shí)間域、頻率域和時(shí)頻域[3]。時(shí)間域方法主要有振幅衰減法、上升時(shí)間法[4]和解析信號(hào)法[5]等。頻率域方法有譜比法(LSR)[6，7]、質(zhì)心頻移法(CFS)[8-10]、峰值頻率法[11，12]和屬性組合法[13，14]等。時(shí)頻域方法是在時(shí)頻譜上利用頻率域方法提取Q值[15-17]，或是對(duì)初始地震子波譜作一定假設(shè)(如脈沖譜)并推導(dǎo)新的Q值估算式，如小波域能量衰減法、小波域峰值尺度法等[18-20]。地震數(shù)據(jù)一般是時(shí)間域信號(hào)，時(shí)間域估算Q值是最直接且便于操作的方法，但時(shí)間域方法的實(shí)際應(yīng)用受到較大的限制。例如，利用振幅衰減法可提取視衰減，但無法區(qū)分固有衰減和非固有衰減；上升時(shí)間法的理論精度較低，上升時(shí)間的提取存在一定的困難，且抗噪性較低。解析信號(hào)法是理論精度較高的方法，其原理是衰減前后子波的瞬時(shí)振幅比值的對(duì)數(shù)與平均瞬時(shí)頻率之間存在線性關(guān)系，實(shí)際應(yīng)用可分兩種方法：一是最大值法，即利用最大瞬時(shí)振幅處的信息反演Q值，其魯棒性較低；二是線性近似法，取多個(gè)采樣點(diǎn)的瞬時(shí)信息進(jìn)行線性擬合(類似于譜比法)，但易受采樣率和瞬時(shí)頻率提取精度的限制，且子波持續(xù)時(shí)間內(nèi)的瞬時(shí)頻率分布范圍較窄，不利于斜率擬合[21]。鑒于時(shí)間域方法的理論精度低且實(shí)際應(yīng)用困難，人們更傾向于采用頻率域或時(shí)頻域方法估算Q值。但受噪聲及復(fù)合波的影響，提取較為準(zhǔn)確的地震子波譜難度較大，隨之降低了Q值的估算精度。另有一些學(xué)者將頻率域方法轉(zhuǎn)換到時(shí)間域?qū)崿F(xiàn)，如以時(shí)間域記錄包絡(luò)峰值處的瞬時(shí)頻率來估算質(zhì)心頻率[22-25]，為Q值估算提供了很好的思路。

本文基于Futterman衰減理論，對(duì)地震子波譜指數(shù)衰減項(xiàng)進(jìn)行一階近似展開，反變換到時(shí)間域，推導(dǎo)了解析信號(hào)衰減關(guān)系式，將衰減后記錄的解析信號(hào)表征為衰減前記錄解析信號(hào)及其導(dǎo)數(shù)的線性組合?；谠撽P(guān)系式，建立品質(zhì)因子Q與線性組合系數(shù)的映射關(guān)系，形成基于時(shí)間域解析信號(hào)線性分解的品質(zhì)因子估算方法。

2 基本原理

假設(shè)衰減前地震子波為s(t)，頻譜為S(f)，在均勻介質(zhì)中傳播時(shí)間Δt后衰減為r(t)，頻譜為R(f)，介質(zhì)的品質(zhì)因子為Q。根據(jù)Futterman衰減理論，有

R(f)=cS(f)e-mf

(1)

(2)

(3)

當(dāng)mf取值足夠小時(shí)(如小于0.1)，將指數(shù)衰減項(xiàng)展開為一階線性近似形式，有

(4)

式中：a、b分別為指數(shù)項(xiàng)e-mf展開后的常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)系數(shù)，當(dāng)不存在先驗(yàn)Q值信息時(shí)，可取Taylor級(jí)數(shù)展開系數(shù)，即a=b=1。

式(4)兩邊分別做反Fourier變換，并結(jié)合Fourier變換求導(dǎo)定理，可得

(5)

(6)

本文基于最小平方準(zhǔn)則提取線性系數(shù)A和B(具體推導(dǎo)見附錄A)，取式(5)的實(shí)部(也可以取虛部或復(fù)信號(hào)，不影響結(jié)果)參與計(jì)算，有

(7)

3 模型測(cè)試

3.1 單層介質(zhì)

選取主頻為50Hz的Ricker子波作為衰減前地震子波，傳播介質(zhì)為均勻介質(zhì)，Q值為100，傳播時(shí)間為30ms，按Futterman衰減理論正演生成衰減子波。圖1是衰減前、后地震子波，兩個(gè)子波間除了地層的吸收衰減外，還有非固有衰減項(xiàng)c(本例取值為0.5，具體數(shù)值不影響結(jié)論)。

將圖1所示的衰減前、后地震子波轉(zhuǎn)化為解析信號(hào)，代入式(7)計(jì)算的線性系數(shù)A=0.5005，B=-7.6214×10-5。圖2是衰減后地震子波按照式(5)進(jìn)行線性分解的示例。式(6)中的一階展開項(xiàng)b/a取值為1.0，根據(jù)線性系數(shù)A、B反演的地層Q值為98.5，相對(duì)誤差為1.50%。作為對(duì)比，提取衰減前后記錄最大瞬時(shí)振幅處的信息，采用常規(guī)解析信號(hào)法估算Q值，如非固有衰減項(xiàng)得到完全補(bǔ)償，結(jié)果為99.92，精度較高；如非固有衰減項(xiàng)未獲補(bǔ)償，結(jié)果為50.30，誤差較大，表明常規(guī)解析信號(hào)法更易受數(shù)據(jù)品質(zhì)的影響。

圖1 地震子波衰減正演模擬曲線

圖2 衰減前、后地震子波解析信號(hào)對(duì)比

3.2 系數(shù)a和b的影響

在式(6)的推導(dǎo)過程中，誤差主要來源于式(4)指數(shù)衰減項(xiàng)的一次展開，當(dāng)mf取值較小(如mf<0.1)時(shí)，展開系數(shù)取a=b=1(即Taylor一階展開)可滿足理論精度；但隨著mf取值的增加，展開誤差將加大，需要對(duì)該項(xiàng)的誤差進(jìn)行仿真測(cè)試，供實(shí)際應(yīng)用參考。下面考察Q值估算精度受不同傳播時(shí)差Δt的影響(其他參數(shù)不變，mf取值隨Δt的增大而增大)。

衰減前地震子波選取主頻為50Hz的Ricker子波，Q值為100，傳播時(shí)差Δt從1ms逐漸增加為400ms，分別利用式(6)反演介質(zhì)Q值(取b/a=1.0)。圖3紅線是反演的Q值曲線，可見當(dāng)傳播時(shí)差小于100ms時(shí)，反演結(jié)果的相對(duì)誤差在10%以內(nèi)，當(dāng)傳播時(shí)差大于100ms時(shí)，反演誤差不斷增加，在400ms處反演Q值達(dá)160，誤差較大，這主要由一次近似展開引起。當(dāng)Δt>100ms時(shí)，頻率f取主頻50Hz，mf>0.15不再是一個(gè)小量，指數(shù)項(xiàng)的一階近似展開將產(chǎn)生較大的誤差，影響Q值的估算。因此，準(zhǔn)確估計(jì)一次展開系數(shù)a、b是提高Q值估算精度的關(guān)鍵。

在沒有先驗(yàn)Q值信息的情況下，展開系數(shù)取a=b=1。如果有先驗(yàn)的Q值信息，根據(jù)mf的取值范圍(頻率f一般為0～100Hz)，可以對(duì)指數(shù)衰減項(xiàng)e-mf進(jìn)行高精度的一次擬合，得到更準(zhǔn)確的展開系數(shù)a、b。在圖3中，盡管傳播時(shí)差在100～400ms時(shí)反演的Q值精度較低，但可以作為指數(shù)項(xiàng)高精度一次擬合的先驗(yàn)信息，用于展開系數(shù)的估計(jì)。圖4為擬合得到的展開系數(shù)比b/a， 可見隨時(shí)差Δt的增大，比值逐漸減小(偏離Taylor一階展開式對(duì)應(yīng)的比值1.0)。將展開系數(shù)比代入式(6)，可反演系數(shù)修正后的Q值(圖5)。圖6為b/a修正前、后的Q值反演結(jié)果的相對(duì)誤差曲線，可以看出，當(dāng)時(shí)差Δt較大時(shí)，系數(shù)修正后反演精度明顯高于修正前，相對(duì)誤差控制在10%以內(nèi)； 當(dāng)時(shí)差Δt較小時(shí)(本例中Δt<70ms)，系數(shù)修正前、后的Q值相對(duì)誤差都在10%以內(nèi)，修正后Q值的反演精度反而稍低于修正前，這是因?yàn)榇藭r(shí)的誤差主要來源于式(7)中矩陣求逆過程，用展開系數(shù)修正不能起到預(yù)期的效果。因此，得到一個(gè)定性的結(jié)論：在Q值較大、傳播時(shí)差較小(如mf小于0.1)的情況下，展開系數(shù)比b/a可直接取1.0；在Q值較小、傳播時(shí)差較大(如mf大于0.1)的情況下，展開系數(shù)比b/a需要進(jìn)行高精度的擬合。

圖3 Q值反演結(jié)果隨Δt的變化曲線

圖4 一次展開系數(shù)比b/a

圖5 展開系數(shù)修正后的Q值反演結(jié)果

圖6 展開系數(shù)修正前、后的Q值反演結(jié)果相對(duì)誤差對(duì)比

3.3 層狀介質(zhì)

首先，設(shè)計(jì)一個(gè)層狀介質(zhì)模型(共6層)，總深度為1000m，各層厚度、速度及Q值參數(shù)如表1和圖7所示，道間距為10m。根據(jù)Futterman衰減模型生成VSP下行波記錄，并考慮與反射/透射損失有關(guān)的能量衰減(假設(shè)各層密度相同，反射系數(shù)只與縱波波速有關(guān))，初始子波取主頻為50Hz的Ricker子波，模擬的零井源距VSP下行波記錄如圖8所示。

表1 模型參數(shù)表

應(yīng)用式(6)提取Q值(相鄰道之間進(jìn)行反演)，反演結(jié)果如圖9所示。由圖可見，新方法反演的Q值(紅線)能較好地反映地層Q值 (藍(lán)線)，與模型值的變化趨勢(shì)基本保持一致。圖10是反演結(jié)果的相對(duì)誤差曲線，在5%以內(nèi)。

圖7 層狀模型速度(上)和Q值(下)曲線

圖8 零井源距VSP直達(dá)波記錄

圖9 層狀模型Q值反演結(jié)果

圖10 層狀模型Q值反演結(jié)果的相對(duì)誤差曲線

4 實(shí)際資料應(yīng)用

圖11a為陸上某區(qū)塊的零井源距VSP原始記錄，檢波器在500～3130m井段等間隔分布。受上行波場(chǎng)的影響，直達(dá)波場(chǎng)的吸收衰減信息提取難度較大，需要進(jìn)行波場(chǎng)分離提取下行波場(chǎng)，提高各道下行波記錄(圖11b)的信噪比。圖12是提取的各道初至波，隨深度的增加，初至波的能量逐漸衰減，延遲時(shí)間逐漸增大，分辨率逐漸降低。

圖11 實(shí)際零井源距VSP記錄

由于該地區(qū)地層速度較高，相鄰道之間的衰減量過小，利用相鄰道記錄估算Q值穩(wěn)定性較差，因此采取間隔10道的方式求取Q值。 圖13a是相鄰10道的時(shí)差曲線，可以看出150～200道之間存在高速體；圖13b為根據(jù)式(6)和式(7)得到的線性組合系數(shù)比曲線。由時(shí)差曲線和組合系數(shù)比曲線，利用式(6)可反演地層Q值(圖14)。本文所求得的Q值為相鄰10道之間的等效Q，較由速度曲線求得的經(jīng)驗(yàn)Q值略小，但趨勢(shì)基本一致，且對(duì)深層高速體的Q值估算具有較好的穩(wěn)定性。由此可以看出，本文方法提取的Q值具有較高的可信度。

圖12 提取的初至波紅色實(shí)線為初至波到達(dá)時(shí)刻

圖13 時(shí)差曲線(a)和線性組合系數(shù)比(b)曲線

圖14 Q值反演結(jié)果

5 結(jié)論

基于線性分解的解析信號(hào)法是一種在時(shí)間域直接提取Q值的方法，為Q值的估算提供了一種新的思路和手段，參與計(jì)算的記錄長(zhǎng)度不限，可根據(jù)實(shí)際情況合理選取。與常規(guī)解析信號(hào)法相比，新方法不需要計(jì)算瞬時(shí)頻率，不依賴資料的預(yù)處理(非固有衰減補(bǔ)償)品質(zhì)。模型測(cè)試和實(shí)際資料處理結(jié)果表明，新方法能較好地反演Q值，具有一定的可信度。

附錄A 基于最小二乘法的線性擬合推導(dǎo)

將式(5)的實(shí)部和虛部分開，則有

(A-1)

(A-2)

理論上，式(A-1)與式(A-2)是等價(jià)的，下面的推導(dǎo)基于式(A-1)。

(A-3)

(A-4)