均值不等式的技巧與策略

摘要：均值不等式是不等式這一章節(jié)最重要的公式之一。這是不等式證明和求最值的有力工具。應(yīng)用均值不等式求最值時，要把握均值不等式成立的三個條件“一正二定三相等”，忽略了任何一個條件，就會導(dǎo)致解題失敗。在使用均值不等式解題時，根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)，常常需要配合一定的變形技巧，才能把問題化成適合使用均值不等式的結(jié)構(gòu)形式。活用均值不等式來解決問題是我們平時學(xué)習(xí)中的基本要求。那么，如何“活用”與“巧用”呢？

關(guān)鍵詞：不等式教學(xué)技巧策略

一、 調(diào)整符號化負(fù)為正，使之適合“一正”條件

【例1】已知x<54，求y=4x-1+44x-5的最值。

解：∵x<544x-5<05-4x>0

∴y=4x-1+44x-5=4-（5-4x）+45-4x≤4-2（5-4x）·45-4x=0

當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=45-4x即x=34或x=74（舍去）時取等號，故x=34時，ymax=0

評注：本題需要特別需要注意均式不等式的三個條件之一——正項，所發(fā)需用調(diào)整項的符號，使之各項為正，當(dāng)然本題又要考慮“定值”問題，所發(fā)在變形過程中還需適當(dāng)配湊項的系數(shù)，使其積為定值。

二、 拆項——為了創(chuàng)造條件使用均值不等式，就需要對式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?，拆、添、配、湊已知項，在湊配過程中應(yīng)注意在等號成立的條件下，把和（積）變成定值

（一） 拆項法——通常把分式形式拆成多個式子。其中一個是整式，另一個與前一整式為分母的分式

【例2】當(dāng)x>-1時，求y=x2-3x+1x+1的最小值。

解：∵x>-1x+1>0

∴y=x2-3x+1x+1=（x+1）2-5（x+1）+5x+1=（x+1）+5x+1-5≥2（x+1）·5x+1-5=25-5

當(dāng)且僅當(dāng)（x+1）2=5即x=5-1時取等號，ymin=25-5

（二） 湊系數(shù)法——式子本身的和或積并不是定值，這時需對原式的系數(shù)作適當(dāng)?shù)呐錅?，使之的和或積可發(fā)成為定值。

【例3】已知（a為正常數(shù)），求函數(shù)y=a2x2（1-ax）的最大值。

分析：用平均拆項的方法實現(xiàn)和為定值，并使等號成立。

解：y=a2x2（1-ax）=4·ax2·ax2（1-ax）≤4ax2+ax2+（1-ax）33=427

當(dāng)且公當(dāng)ax2=1-ax，即x=23a時，函數(shù)y=a2x2（1-ax）取得最大值427

（三） 倒數(shù)法——把分式取倒后，能夠把式子化成為能夠拆項的分式，采用第一種方法了

【例4】若x>0，求函數(shù)y=xx2+x+1的最大值。

解：∵x>0

∴1y=x2+x+1x=x+1x+1≥2x·1x+1=30

∴ymax=13

（四） 湊項

在湊“和”或“積”為定值時，還要注意湊“等號”成立，此時必須合理湊項。需要兩次使用均值不等式，自然要考慮兩次使用時等號成立的條件是否一致。

【例5】已知0

分析：因為4x+11-x≥24x（1-x），所以上式右項前面需要湊因式x（1-x）。由于x+（1-x）=1，故4x+11-x=（x+1-x）4x+11-x，且x+（1-x）≥2x（1-x）。需要兩次使用均值不等式，自然要考慮兩次使用時等號成立的條件是否一致。顯然由4x=11-x及x=1-x所確定的x的值都不能使兩次等號成立，這時可考慮對4x=11-x及x=1-x同時進(jìn)行湊項處理，以順利解決問題。

解：由00

y=4x+11-x=（x+1-x）4x+11-x=x2+x2+1-x2x+2x+11-x≥3×3x2（1-x）4×3×34x2（1-x）=9

當(dāng)且僅當(dāng)x2=1-x及2x=11-x，即x=23時，y取得最小值。

（五） 配項

有些問題本身看不出直接在使用均值不等式，但若能巧妙地添式配項，則可把問題轉(zhuǎn)化，使之或部分項成為明顯可用均值不等式。

【例6】已知a1、a2、……、an為正數(shù)，且a1+a2+…+an=1，求證：a21a1+a2+a22a2+a3+…+a2nan+a1≥12

證明：因ai>0（i=1，2，…，n），故

a21a1+a2+a1+a24≥a1

a22a2+a3+a2+a34≥a2

……

a2nan+a1+an+a14≥an

把以上各同向不等式相加，得

a21a1+a2+a22a2+a3+…+a2nan+a1+12≥1

∴a21a1+a2+a22a2+a3+…+a2nan+a1≥12

三、 整體代換——把已知條件中的某個等式整體替代原式中的某一部分，然后再作一定程度的變形，使得原式能夠使用均值不等式的條件明朗化

【例7】已知a>0，b>0且a+2b=1，求y=1a+1b的最小值。

解：法1：不妨將1a+1b乘以1，而1用a+2b代換

y=1a+1b=1a+1b·1=1a+1b·（a+2b）=1+2ba+ab+2=3+2ba+ab≥3+22ba·ab=3+22

當(dāng)且僅當(dāng)2ba=ab取等號，由2ba=ab

a+2b=1a=2-1

b=1-22時，y=1a+1b的最小值為3+22

法2：將1a+1b分子中的1用a+2b代換：

y=1a+1b=a+2ba+a+2bb=1+2ba+ab+2=3+2ba+ab≥3+22ba·ab=3+22

評注：本題巧妙運用“1”的代換，得到y(tǒng)=3+2ba+ab，而2ba與ab的積為定值，即可用均值不等式求得最小值。

四、 換元法——通過對原式中的某一部分（比如無理根式）作適當(dāng)?shù)淖冃危瑫箚栴}產(chǎn)生意想不到的結(jié)果

【例8】求函數(shù)y=x+22x+5的最大值。

解：令t=x+2，則x=t2-2（t≥0），

y=t2t2+1

當(dāng)t=0時y=0

當(dāng)t>0時，y=t2t2+1=12t+1t≤122t·1t=24

當(dāng)且僅當(dāng)2t=1t，即t=22時取等號。故x=-32時，ymax=24

評注：本題通過換元法使問題得到簡化，而且將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的分式型函數(shù)的求最值問題，從而為構(gòu)造積為定值創(chuàng)造有利條件。

五、 平方——有時，需要通過平方或開方運算，才能把問題化為可應(yīng)用前面所說技巧的形式

【例9】設(shè)0

解：y2=36x2（4-x2）2=18×2x·（4-x2）（4-x2）≤182x2+（4-x2）+（4-x2）33=18×1833

當(dāng)且僅當(dāng)2x2=4-x2，即x=233時，y2max=18×1833，由此可知，當(dāng)x=233時，ymax=3233

六、 找定值，巧用均值不等式，這個定值有時是明顯的，而有時則比較隱蔽的，要善于觀察項與項之間的結(jié)構(gòu)，或者說是某一些部分之間存在著某種聯(lián)系。這時再作適當(dāng)?shù)淖冃?，就能使用?quán)問題明朗化

【例10】設(shè)0

分析：要證的不等式的左邊的分母x+（x-1）=1為定值，這就啟發(fā)我們找到了這樣的簡捷解證明：

∵a2x+b21-x=[x+（1-x）]·a2x+b21-x=a2+b2+1-xxa2+x1-xb2≥a2+b2+2ab=（a+b）2

所以原不等式成立。

七、 構(gòu)造——根據(jù)問題的整體結(jié)構(gòu)，用均值不等式構(gòu)造輔助不等式，然后經(jīng)過某些運算，促使問題的轉(zhuǎn)化與解決

【例11】已知a1、a2、……、an∈R，且a1+a2+…+an=A（A>0），

a21+a22+…+a2n=A2n-1（n∈N且n≥2），求證：0≤ai≤2An（i=1，2，…，n）

證明：A-a1n-1·a2≤12A-a1n-12+a22

A-a1n-1·a3≤12A-a1n-12+a23

……

A-a1n-1·an≤12A-a1n-12+a2n

將上述n-1個不等式相加，得

A-a1n-1（a2+a3+…+an）≤12n-1（n-1）2·（A-a1）2+a22+a23+…+a2n

即（A-a1）2n-1≤12·（A-a1）2n-1+A2n-1-a21，整理得（A-a1）2n-1≤A2n-1-a21，

即na21-2a1A≤0，解得0≤a1≤2An，同理得0≤ai≤2An（i=1，2，…，n）

總之，均值不等式成立的條件，結(jié)構(gòu)特征，積、和為定值等等，是理解應(yīng)用均值不等式的認(rèn)知角度，要學(xué)會觀察已知和未知的結(jié)構(gòu)特征、數(shù)字特征，認(rèn)清其區(qū)別和聯(lián)系，聯(lián)想相關(guān)的知識點、方法，尋找解決問題的突破口。

參考文獻(xiàn)：

[1]中學(xué)生數(shù)理化（高中版·學(xué)研版）.2011年02期.

[2]高中數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練——平均值不等式解題技巧與策略[J].百度文庫.

作者簡介：

肖榮星，福建省廈門市，海滄中學(xué)。