基于振動(dòng)測(cè)量的視寧度測(cè)量方法研究*

宋佳陽(yáng)，劉 忠，金振宇，程向明

(1.中國(guó)科學(xué)院國(guó)家天文臺(tái)/云南天文臺(tái)，云南 昆明 650011;2.中國(guó)科學(xué)院研究生院，北京 100049)

由于大氣湍流的存在，地面望遠(yuǎn)鏡對(duì)天文目標(biāo)成像時(shí)，像質(zhì)會(huì)受到衰減。Kolmogorov對(duì)大氣湍流的研究，以及Tartarski對(duì)湍流介質(zhì)中光學(xué)傳播的研究表明，這種像質(zhì)的衰減本質(zhì)是折射率起伏對(duì)波前的影響［1－2］。Fried在對(duì)經(jīng)過(guò)湍流大氣后波前畸變、光學(xué)分辨率、長(zhǎng)曝光和短曝光的傳遞函數(shù)進(jìn)行研究后，提出了一個(gè)全新的參數(shù)——大氣相干長(zhǎng)度r0，描述湍流大氣造成的像質(zhì)衰減程度［3－4］。

視寧度參數(shù)r0的測(cè)量對(duì)天文望遠(yuǎn)鏡的選址起著至關(guān)重要的作用，r0的大小是衡量臺(tái)址優(yōu)劣的最重要參數(shù)之一。隨著對(duì)光波在大氣中傳播理論的深入理解以及技術(shù)的發(fā)展，視寧度參數(shù)的測(cè)量技術(shù)也日漸成熟，出現(xiàn)了各式各樣的測(cè)量視寧度的設(shè)備，目前國(guó)際天文界廣泛使用的儀器是差分像運(yùn)動(dòng)視寧度監(jiān)測(cè)儀，但它比較笨重，攜帶不方便。在選址初期對(duì)臺(tái)址進(jìn)行普查時(shí)，由于待選地點(diǎn)較多，需要經(jīng)常攜帶監(jiān)測(cè)儀器轉(zhuǎn)移觀測(cè)地。Pickering衍射環(huán)法可用口徑為5英寸的望遠(yuǎn)鏡測(cè)視寧度，但依靠目測(cè)，受主觀因素的影響，誤差大，只在踏勘階段有一定意義，長(zhǎng)焦拖影法存在對(duì)星像抖動(dòng)的高頻截止［5］。

為此研究了一種新的用小口徑望遠(yuǎn)鏡測(cè)量視寧度的方法:采用口徑為10 cm左右的便攜式望遠(yuǎn)鏡，測(cè)量經(jīng)過(guò)大氣湍流波前到達(dá)角的起伏(即湍流大氣造成的單個(gè)星像抖動(dòng)的方差)，同時(shí)利用加速度傳感器測(cè)量望遠(yuǎn)鏡本身抖動(dòng)造成的星像運(yùn)動(dòng)方差，并將其從星像運(yùn)動(dòng)的方差中扣除，最后根據(jù)星像運(yùn)動(dòng)方差與視寧度參數(shù)r0的關(guān)系得到視寧度參數(shù)。

目前在口徑30 cm的DIMM上進(jìn)行試驗(yàn)，子瞳直徑為7 cm，取單個(gè)星像，相當(dāng)于口徑為7 cm的望遠(yuǎn)鏡，并將測(cè)得的結(jié)果與DIMM作對(duì)比。

1 基本原理

對(duì)于小口徑望遠(yuǎn)鏡，視寧度的影響主要體現(xiàn)在像的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，即波前到達(dá)角的起伏。根據(jù)Sarazin的計(jì)算，從星像運(yùn)動(dòng)測(cè)出的波前到達(dá)角起伏的方差σ2與視寧度r0關(guān)系為［6］:

為了使模型簡(jiǎn)化，在之后的推導(dǎo)和實(shí)驗(yàn)中只考慮星像在一個(gè)方向上的抖動(dòng)，在該方向上位移用s表示，速度用v表示，加速度用a表示。根據(jù)Kolmogorov湍流理論，大氣湍流引起的折射率變化近似為一個(gè)遍歷過(guò)程，因此星像抖動(dòng)的方差在不同方向是相等的。故上式在一個(gè)方向上的表達(dá)式為:

只要能求出星像抖動(dòng)的方差，就能得到視寧度參量r0。但由于望遠(yuǎn)鏡本身的振動(dòng)和跟蹤誤差，通過(guò)單個(gè)星像判定視寧度參量，會(huì)引入額外的抖動(dòng)方差，設(shè)為，真正由大氣湍流造成的星像抖動(dòng)方差設(shè)為，兩者不相關(guān)。最終從CCD上測(cè)得星像抖動(dòng)的方差為:

設(shè)計(jì)一個(gè)方案，選用加速度傳感器測(cè)量望遠(yuǎn)鏡運(yùn)動(dòng)的加速度并推算出位移，從而求出望遠(yuǎn)鏡抖動(dòng)角度的方差。

在鏡筒首尾各裝一個(gè)同樣參數(shù)的加速度傳感器，兩加速度傳感器的敏感方向一致，相距為l。以靠近CCD一端的加速度傳感器為參考點(diǎn)，兩加速度傳感器較差測(cè)量相對(duì)加速度Δa，可推算出相對(duì)位移Δs的變化，再除以兩加速度傳感器距離l，即可得到望遠(yuǎn)鏡振動(dòng)導(dǎo)致鏡筒指向角度變化的方差。設(shè)v0為初速度，s0為初始位移，a(t)通過(guò)加速度傳感器測(cè)得，v0、s0為未知常數(shù)，則位移s(t)為:

2 加速度傳感器測(cè)量振動(dòng)

將望遠(yuǎn)鏡的振動(dòng)近似為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，根據(jù)DIMM的情況可估計(jì)望遠(yuǎn)鏡的抖動(dòng)振幅，一般在微米量級(jí)，設(shè)為2μm，頻率設(shè)為5 Hz，根據(jù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)原理可得加速度幅值為0.002 ms－2。因此選用BZ1189加速度傳感器，靈敏度為2000 mA/ms－2，量程為±4 ms－2，是一種壓電式加速度傳感器。壓電式加速度傳感器是靈敏度最高的加速度傳感器。由于加速度傳感器是一種慣性式傳感器，是利用彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)進(jìn)行振動(dòng)測(cè)量，所以傳感器在相同加速度幅值、不同加速度頻率的振動(dòng)激勵(lì)下電荷靈敏度的響應(yīng)不同。在小于1 Hz的低頻端，幅值隨著頻率的降低逐漸衰減，到0.1 Hz時(shí)，衰減到－1 dB，對(duì)直流量沒(méi)有響應(yīng)。這對(duì)加速度的測(cè)量帶來(lái)了誤差，在低頻端反應(yīng)尤為明顯。

振動(dòng)是物體繞平衡位置(或平均位置)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的一種形式，通常用一些物理參量(如位移、速度、加速度等)隨時(shí)間變化的函數(shù)表征振動(dòng)的時(shí)間歷程［7］。在望遠(yuǎn)鏡由風(fēng)或地面引起的振動(dòng)中，風(fēng)或地面給了望遠(yuǎn)鏡激勵(lì)，望遠(yuǎn)鏡在固有頻率附近帶有阻尼振動(dòng)。由跟蹤誤差引起的望遠(yuǎn)鏡向一個(gè)方向的平移，不屬于振動(dòng)，它引起星像中心在圖像上的移動(dòng)反映在星像運(yùn)動(dòng)的低頻部分或趨勢(shì)項(xiàng)上。由大氣湍流造成的星像抖動(dòng)不包括直流成分，其頻譜大部分功率集中在0.1 Hz以上的部分，且加速度傳感器能測(cè)量的頻率下限為0.1 Hz，故需要對(duì)鏡筒的位移進(jìn)行截止頻率為0.1 Hz高通濾波，并對(duì)星像的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行同樣截止頻率的高通濾波。望遠(yuǎn)鏡跟蹤運(yùn)動(dòng)近似于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其勻速部分加速度傳感器探測(cè)不到，圓周運(yùn)動(dòng)的加速度與加速度傳感器敏感方向垂直，經(jīng)估算，這樣速度的勻速圓周運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的加速度在10－9ms－2量級(jí)，遠(yuǎn)低于傳感器的靈敏度，不會(huì)對(duì)測(cè)量結(jié)果造成影響。(6)式中的v0是指開(kāi)始測(cè)量時(shí)，望遠(yuǎn)鏡在振動(dòng)時(shí)的速度，在積分中附加一個(gè)v0，對(duì)位移s而言，只是加了斜率與v0成正比的一階趨勢(shì)項(xiàng)，通過(guò)去趨勢(shì)項(xiàng)可以消除，消除趨勢(shì)項(xiàng)后的結(jié)果和積分時(shí)假定v0=0算出的位移方差是一樣的。消去v0項(xiàng)后，(6)式可簡(jiǎn)化為:

設(shè)鏡筒口的加速度傳感器的物理參數(shù)下標(biāo)為1，靠近CCD的傳感器物理參數(shù)下標(biāo)為2，a1(t)與a2(t)分別是其加速度，且相對(duì)加速度Δa(t)=a1(t)－a2(t)，其相對(duì)初始速度為Δv0，相對(duì)位移Δs(t)=s1(t)－s2(t)，則:

最終要求的是望遠(yuǎn)鏡鏡筒振動(dòng)角度的方差，設(shè)α為鏡筒偏離平衡位置的角度，即，且:

則望遠(yuǎn)鏡鏡筒抖動(dòng)角度的方差:

從(10)式可以看出只要測(cè)得加速度傳感器1與加速度傳感器2的加速度，就能得到望遠(yuǎn)鏡抖動(dòng)角度的方差。

由于積分誤差的累積，在對(duì)加速度進(jìn)行二次積分后，得到的位移曲線存在趨勢(shì)項(xiàng)，使位移曲線遠(yuǎn)離實(shí)際值，這種失真主要體現(xiàn)在位移的低頻部分，必須對(duì)位移進(jìn)行高通濾波才能得到可靠的結(jié)果。

設(shè)計(jì)了一套振動(dòng)產(chǎn)生裝置對(duì)該傳感器進(jìn)行了測(cè)試，可產(chǎn)生在一定頻率下振幅約60.5μm的振動(dòng)，對(duì)從加速度積分得到的位移進(jìn)行高通濾波后，基本上消除了加速度測(cè)量誤差所產(chǎn)生的趨勢(shì)項(xiàng)，得到了較為精確的振幅曲線。

圖1 安裝了加速度傳感器的DIMMFig.1 DIMM with the acceleration sensor mounted

3 實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)

在30 cm口徑的DIMM上安裝了加速度測(cè)量裝置，以便與DIMM測(cè)得的視寧度數(shù)據(jù)對(duì)比。DIMM子瞳口徑為7 cm，焦長(zhǎng)303.9 cm。兩加速度傳感器距離為50.5 cm。將CCD分為x和y兩個(gè)方向(對(duì)應(yīng)DIMM的橫向和縱向)，加速度傳感器敏感方向與CCD的y方向平行。

DIMM采集程序記錄星像在CCD上的坐標(biāo)，10 s一組，計(jì)算一個(gè)r0，將星像坐標(biāo)保存為一個(gè)文件并記錄采集結(jié)束時(shí)間保存在文件里。加速度數(shù)據(jù)由另一臺(tái)計(jì)算機(jī)采集，每次采集100 s保存為一個(gè)文件，并記錄采集結(jié)束的時(shí)間。采集前兩臺(tái)計(jì)算機(jī)同步時(shí)間，之后再根據(jù)星像坐標(biāo)數(shù)據(jù)與加速度數(shù)據(jù)所記錄的時(shí)間，提取時(shí)間上重合的數(shù)據(jù)段，用來(lái)分析計(jì)算r0。

為了減小環(huán)境電磁波的干擾，加速度信號(hào)的采集方式為差分輸入，可在一定程度上提高信噪比。所得的信號(hào)為靠近鏡筒口的加速度傳感器信號(hào)減去靠近CCD的加速度傳感器信號(hào)，即(10)式中的Δa。

2011年4月8日北京時(shí)間21:00～23:00，在云南天文臺(tái)進(jìn)行了觀測(cè)，得到了一些星像坐標(biāo)數(shù)據(jù)與加速度數(shù)據(jù)。

4 數(shù)據(jù)處理

由于傳感器的敏感方向?qū)?yīng)CCD的y方向，所以只分析y方向的星像坐標(biāo)數(shù)據(jù)，并利用y方向的星像坐標(biāo)數(shù)據(jù)和加速度數(shù)據(jù)計(jì)算視寧度參數(shù)r0。視寧度造成的星像抖動(dòng)的頻率主要分布在0.1～50 Hz的范圍內(nèi)，此頻范圍外的能量很小。尤其是小于0.1 Hz的部分主要是由望遠(yuǎn)鏡的跟蹤誤差引起的，而且0.1 Hz以下的頻率不在加速度傳感器的正常工作頻率范圍內(nèi)，所以將頻率在0.1 Hz以下的星像抖動(dòng)成分濾除。

根據(jù)(7)式，需要兩次定積分才能得到位移的方差。第1次積分從加速度到速度，第2次積分從速度到位移，積分方法為梯形積分。由于信號(hào)的趨勢(shì)項(xiàng)不可能完全去除，殘余的微小誤差在積分過(guò)程中將被放大，甚至波形發(fā)生畸變［8］。

直接積分得到的位移曲線如圖2，直接積分得到的位移遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于從CCD上體現(xiàn)的對(duì)星像抖動(dòng)的影響。這顯然不是由望遠(yuǎn)鏡抖動(dòng)造成的，主要是因?yàn)檎`差的累積。如果直接以此結(jié)果作為望遠(yuǎn)鏡抖動(dòng)造成的星像位移從單個(gè)星像抖動(dòng)中扣除，那么剩余的值將是負(fù)值，無(wú)法得到視寧度參數(shù)。

測(cè)量信號(hào)中的趨勢(shì)項(xiàng)和實(shí)際信號(hào)的周期比較要長(zhǎng)很多，此時(shí)可以先把測(cè)到的信號(hào)進(jìn)行高通濾波處理，濾除低頻趨勢(shì)項(xiàng)。此種消除趨勢(shì)項(xiàng)的方法要求必須對(duì)所測(cè)結(jié)構(gòu)的基頻有一個(gè)大致了解，在對(duì)結(jié)構(gòu)基頻了解的基礎(chǔ)上，設(shè)置一個(gè)合適的高通濾波截止頻率［9］。因此必須對(duì)積分得到的位移進(jìn)行濾波，才能得到合理的位移曲線。

由于積分對(duì)噪聲的累積造成整體波形的畸變，主要體現(xiàn)在低頻部分。無(wú)法準(zhǔn)確得到在所有頻率范圍內(nèi)的位移信號(hào)，只能濾去低頻部分，對(duì)視寧度造成的單個(gè)星像抖動(dòng)和根據(jù)加速度傳感器算出望遠(yuǎn)鏡抖動(dòng)帶來(lái)星像的抖動(dòng)進(jìn)行同樣截止頻率的高通濾波，去除低頻成分，理論上這樣會(huì)使算出的星像抖動(dòng)的方差略為減小，而測(cè)得的視寧度參數(shù)r0比DIMM測(cè)得的結(jié)果偏大。圖3為經(jīng)截止頻率為2.0 Hz的高通濾波后的位移曲線，對(duì)比圖2可看出趨勢(shì)項(xiàng)基本消失。

圖2 直接積分的位移曲線Fig.2 Displacements resulting from direct integration

圖3 經(jīng)2.0 Hz高通濾波后的位移Fig.3 Displacements resulting from2.0Hz high-frequency bandpass filter

選用兩組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)含9組視寧度數(shù)據(jù)，第1組DATA1整體視寧度較好，第2組DATA2整體視寧度較差，對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行了截止頻率為1.0 Hz和2.0 Hz的高通濾波，并將得到的視寧度參數(shù)r0與DIMM測(cè)得的結(jié)果做了比較。根據(jù)(2)式與DIMM視寧度計(jì)算公式計(jì)算視寧度參數(shù)，得到的數(shù)據(jù)見(jiàn)表1和表2。其中差分星像抖動(dòng)均方根為σd，單個(gè)星像抖動(dòng)均方根σp，利用加速度傳感器測(cè)得望遠(yuǎn)鏡抖動(dòng)造成的星像抖動(dòng)均方根σs，差分像運(yùn)動(dòng)法測(cè)出的視寧度參數(shù)r0(DIMM)，直接用單個(gè)星像抖動(dòng)計(jì)算出的視寧度參數(shù)為(DIRECT)，扣除望遠(yuǎn)鏡抖動(dòng)后的單個(gè)星像抖動(dòng)算出的視寧度參數(shù)為(SUBT)。

從表1～2可以看出，進(jìn)行2.0 Hz的濾波情況比進(jìn)行1.0 Hz的情況要好一些，相對(duì)更接近DIMM測(cè)得的結(jié)果。積分的噪聲累積對(duì)算出的位移影響非常大，在這些數(shù)據(jù)中出現(xiàn)了許多σs＞σp的情況，此時(shí)無(wú)法得到r0值，這種情況不可能由大氣湍流造成，在這里主要是由于計(jì)算的位移大于實(shí)際值，在很大程度上受到積分帶來(lái)的低頻趨勢(shì)項(xiàng)的影響，而濾波并沒(méi)有完全消除這種影響，因?yàn)檫@種趨勢(shì)項(xiàng)在頻域具有一定寬度分布，設(shè)置一個(gè)截止頻率進(jìn)行高通濾波并不能完全濾除。設(shè)置較高的截止頻率能更好地濾除這種趨勢(shì)項(xiàng)，但也濾除了更多實(shí)際存在的抖動(dòng)。從表2可以看出，當(dāng)視寧度相對(duì)較差時(shí)，用此方法測(cè)得的結(jié)果相對(duì)絕對(duì)像運(yùn)動(dòng)法明顯更接近DIMM測(cè)得的結(jié)果。在望遠(yuǎn)鏡的抖動(dòng)比較大時(shí)，這種效果相對(duì)更明顯，在同樣的信噪比下，當(dāng)視寧度較差，即由大氣湍流造成的星像抖動(dòng)方差較大，這種方法得到的結(jié)果更接近DIMM。濾波在一定程度上消除了望遠(yuǎn)鏡抖動(dòng)的影響，但不能完全消除。

表1 根據(jù)DATA1得到的r0Table 1 r0from DATA1

表2 根據(jù)DATA2得到的r0Table2 r0from DATA2

5 誤差分析

測(cè)得的視寧度參數(shù)與DIMM測(cè)得的視寧度參數(shù)相比存在一定誤差，經(jīng)分析誤差來(lái)源如下:

(1)理論誤差:按照此方法在同樣的σs下(對(duì)位移的測(cè)量在一定誤差范圍內(nèi))，當(dāng)σd取不同的值時(shí)，得到的r0如圖4。

可以看出當(dāng)DIMM的星像相對(duì)抖動(dòng)的均方根σd越小，即視寧度越好的情況下，誤差越大。

當(dāng)測(cè)得的加速度數(shù)據(jù)存在誤差時(shí)，該方法在理論上引入了較大的誤差。當(dāng)?shù)玫降囊晫幎日`差過(guò)大時(shí)，視寧度數(shù)據(jù)已不可用。加速度誤差越大，在較小的實(shí)際r0條件下，理論上已得不到有效視寧度參數(shù);在加速度誤差較小時(shí)，在較大的實(shí)際r0條件下，理論上得不到有效視寧度。所以減小加速度測(cè)量誤差可提高視寧度參數(shù)的可測(cè)量范圍。

圖4 理論誤差Fig.4 Theoretical errors of r0

(2)加速度誤差與積分誤差:由于加速度傳感器的幅值頻率響應(yīng)特性，尤其對(duì)靠近其可測(cè)頻率下限的低頻端有較大誤差，經(jīng)二次積分產(chǎn)生了低頻趨勢(shì)項(xiàng)。在對(duì)位移進(jìn)行高通濾波時(shí)，并沒(méi)有完全濾除這些趨勢(shì)項(xiàng)的影響，在不同的時(shí)間段內(nèi)，誤差造成的趨勢(shì)項(xiàng)在頻域并不相同，采用同樣的截止頻率濾波會(huì)使測(cè)得的視寧度與實(shí)際相比有較大差距。

6 結(jié)論

用單個(gè)星像的運(yùn)動(dòng)再扣除由望遠(yuǎn)鏡振動(dòng)帶來(lái)的星像抖動(dòng)測(cè)視寧度，可只用單個(gè)光瞳，使用口徑為10 cm(實(shí)驗(yàn)中DIMM的子瞳口徑為7 cm)左右的望遠(yuǎn)鏡，相對(duì)DIMM便攜性好。從最終得到的視寧度數(shù)據(jù)與DIMM的結(jié)果和絕對(duì)像運(yùn)動(dòng)法得到的結(jié)果相比較，可看出該方案在一定程度消除了望遠(yuǎn)鏡抖動(dòng)對(duì)測(cè)量視寧度的影響。但由于積分誤差的累積，并且濾波并沒(méi)有完全消除其影響，導(dǎo)致測(cè)得的r0與DIMM相比存在較大誤差。

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