淺談均值不等式的應(yīng)用

摘要：在我們的生活和生產(chǎn)中，量有相等關(guān)系，也有不等關(guān)系，凡是比較量的大小的有關(guān)問題，都要用到不等式的知識來解決。不等式在初等數(shù)學(xué)中是一個比較難的知識，卻是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具，其中均值不等式更是主要的工具。本文主要例說均值不等式在初等數(shù)學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用，通過對均值不等式的學(xué)習(xí)，逐漸認(rèn)識到均值不等式的重要性，并且利用均值不等式去證明更多的不等式，這不僅能提升學(xué)生的解題能力，也能增強(qiáng)學(xué)生的思維能力。

關(guān)鍵詞：均值不等式；初等數(shù)學(xué)；不等式應(yīng)用

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)·數(shù)學(xué)》必修5將二維均值不等式納入了新的課程中，意味著二維均值不等式進(jìn)入了教材，進(jìn)入了學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中。在應(yīng)用均值不等式解題中，讓學(xué)生學(xué)會如何看問題、想問題和解決問題，更多的讓學(xué)生自己去悟，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和掌握如何運(yùn)用已知結(jié)論的基本方法。

一、 均值不等式的形式

設(shè)a1，a2，…，an為n個正數(shù)，則Hn≤Gn≤An≤Qn，稱為均值不等式，其中Hn=n1/a1+1/a2+…+1/an，Gn=（a1·a2·…·an）1n，An=a1+a2+…+ann，Qn=a21+a22+…a2nn，分別稱為a1，a2，…，an的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算數(shù)平均數(shù)、平方平均數(shù)。這四種平均數(shù)僅當(dāng)a1=a2=…=an時取到等號。

常見的均值不等式：（1）a2+b2≥2ab，（a，b∈R），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，“=”成立；

（2） a+b≥2ab等價于ab≤（a+b2）2（a，b∈R+），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，“=”成立。

二、 均值不等式的具體應(yīng)用

1. 代數(shù)方面

各省的高考試題中對均值不等式的考查，均以最值問題為背景，利用均值不等式求最值問題是考生必須掌握的基本技能和重要的解題方法。

例：已知x，y，z∈R+，求μ=xy+2yz+xz2x2+4y2+4z2的最大值。

解：由題可得

μ=xy+2yz+xz2x2+4y2+4z2=xy+2yz+xz（x2+2y2）+（2y2+2z2）+（x2+2z2），

而x2+2y2≥2x2·2y2=22xy，2y2+2z2≥22y2·2z2=4yz，

x2+2z2≥2x2·2z2=22xz，所以μ≤xy+2yz+xz22xy+4yz+22xz=24

當(dāng)且僅當(dāng)x2=2y2=2z2時取“=”所以μ的最大值為24。

本題是多變量求最值問題，變量個數(shù)多且不易消元，而變量又都是正數(shù)，因此考慮利用均值不等式進(jìn)行化簡，有了方向就可以輕松化簡，利用均值不等式求出最值，最后注意取等號的條件。

2. 幾何方面

立體幾何的最值求解時很多時候都要用到均值不等式，其中怎樣建立等式是解題的關(guān)鍵點(diǎn)與難點(diǎn)。

例：要建造一個體積為60且有蓋的圓柱形蓄水池，這個蓄水池的高，地面半徑各取多少時用料最省？

解：設(shè)圓柱的高為h，地面半徑為r，根據(jù)圓柱的體積公式V=πr2·h

∴h=Vπr2=60πr2，而圓柱的全面積公式為S=2πr2+2πrh

S=2πr2+2πrh=2πr2+2πr60πr2=2πr2+120r=2πr2+60r+60r≥32πr2·60r·60r=15358π

當(dāng)且僅當(dāng)2πr2=60r，即r=330π，此時h=2330π，即r=h2時，S有最小值。

所以蓄水池的高取2330π，底面半徑取330π時，用料最省。

本題題意不難，難的是怎么樣將等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而利用均值不等式來求解，通過檢驗(yàn)，得到最終的結(jié)果。

三、 小結(jié)

均值不等式作為一個應(yīng)用非常廣泛的不等式，在各種題型中都起著舉足輕重的作用，而它最常見的應(yīng)用就是求解最值問題，但在應(yīng)用之前應(yīng)注意應(yīng)用它的前提條件，應(yīng)用過程之中注意取等號的條件。通過對均值不等式的學(xué)習(xí)，逐漸認(rèn)識到均值不等式的重要性，并且利用均值不等式去解決相應(yīng)的問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]韓京俊.初等不等式的證明方法[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2011.

[2]劉建中.淺談均值不等式在求函數(shù)最值中的應(yīng)用[J].遼寧省撫順一中，2011.

作者簡介：

王婉心，四川省南充市，西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院。