基于裝備完好率的兩級可修復備件庫存優(yōu)化模型*

董驍雄，陳云翔，項華春，蔡忠義

（空軍工程大學裝備管理與安全工程學院，西安 710051）

0 引言

在多維修級別備件管理中，主要目的是優(yōu)化備件在不同維修級別的配置。目前備件優(yōu)化建模技術主要可以分為兩類：一類是廣泛用于工業(yè)界的用以減少生產停機時間的庫存模型；另一類是復雜軍用裝備的保障部門正在利用越來越復雜的庫存模型，以便在規(guī)定約束下滿足規(guī)定的裝備戰(zhàn)備完好性指標。前一類目前已與供應鏈管理相融合，成為供應鏈管理的一個組成部分。后一類已從傳統(tǒng)的單項（件）法發(fā)展成為按戰(zhàn)備完好性配置備件的系統(tǒng)法。例如，RBS（基于戰(zhàn)備完好的備件配置）模型，按可用性選擇庫存的多層級模型（SESAME），METRIC系列模型，OPUS10模型［1］。目前，國內外大多數(shù)關于可修復備件庫存建模理論研究都是基于METRIC系列模型所展開的，例如，文獻［2］將METRIC系列模型應用到航空裝備航材備件庫存管理中，針對系統(tǒng)中LRU、SRU之間由于存在隸屬關系構建了多隸屬關系下的可修復航材儲備模型，文獻［3］根據(jù)METRIC 理論，結合“原位維修率”、“占空比”、“重測完好率”等重要維修參數(shù)，建立了具有多等級的維修供應體系、多層次結構備件的初始庫存分配模型。

經分析可知，在絕大多數(shù)的多級庫存優(yōu)化模型當中，保障質量評價指標大多是EBO（備件短缺數(shù)）或者WT（等待備件時間）［4-8］，雖然上述指標是一種簡捷的評價指標，但是作戰(zhàn)指揮人員便于掌握的是飛行性能的衡量指標，裝備完好率是裝備能隨時遂行任務的完好數(shù)與裝備實有數(shù)的比值［9］。主要用以衡量裝備的技術狀況和管理水平，以及裝備對作戰(zhàn)、訓練、執(zhí)勤的可能保障程度，是部隊制定裝備使用計劃的重要依據(jù)［10］，而現(xiàn)有的裝備完好率計算模型不能應用到兩級庫存系統(tǒng)，也不能建立不同隸屬關系的備件數(shù)量之間的權衡，很難使預測結果具備較高的費效比。因此，非常有必要建立以裝備完好率為目標函數(shù)的兩級庫存優(yōu)化模型。

1 供應保障過程描述及模型參數(shù)定義

1.1 供應保障過程描述

根據(jù)裝備的修理約定層次可將備件劃分為外場可更換件（LRU）和內場可更換件（SRU），SRU 是LRU的分組件，兩者之間存在隸屬關系，所以SRU在庫存系統(tǒng)中的運行與LRU的運行密不可分。因此，下面構建了兩級庫存系統(tǒng)下LRU+SRU的運行模式。其中，“+”表示隸屬關系，“a+b”表示b隸屬于a。LRU+SRU在兩級庫存系統(tǒng)中的供應保障過程如圖1所示。

圖1所示的LRU+SRU在兩級庫存系統(tǒng)中的供應保障過程可描述為：某裝備零部件（LRU）在使用過程中如發(fā)生故障，則立即把LRU拆下并向基層級航材庫申請一個LRU，若基層級倉庫現(xiàn)有庫存能夠滿足需求，則立刻送往外場進行換件維修，否則等待基地級倉庫送到。同時判斷故障件是否能夠在基層級被拆卸，若能，則立即對LRU進行維修拆卸更換SRU，修好后的LRU作為備件儲備在基層級倉庫，送故障的SRU到基地級修理（生產）廠維修，并向基地倉儲中心申請一個SRU補充。如果基地倉儲中心有該備件，則立即送基層級，如果沒有，則判斷該故障件是否能在基地修理（生產）廠被修復。若能，則立即進行維修，修好后送入基地倉儲中心，若不能，則進行報廢，重新進行采購。

1.2 模型假設

圖1 LRU+SRU在兩級庫存系統(tǒng)中的供應保障過程

單位時間內，備件需求率服從Poisson分布，不同故障單元的在修數(shù)量相互獨立；各維修層級的庫存控制采用連續(xù)檢測的（S-1，S）庫存策略；按照嚴格逐級向上的機制完成故障件的送修、申請和補給，不考慮處于同一級別維修層級之間的橫向供應；故障件維修及備件補給過程中，不考慮維修層級之間的補給優(yōu)先權和故障單元之間的維修優(yōu)先權，采取先到先供應、先到先維修的維修供應策略；故障件的維修供應時間相互獨立，維修后，備件修復如新；不同故障單元發(fā)生短缺所造成對裝備可用度的影響程度相同，即所有裝備組件的重要度相同；各維修級別的維修資源無限，故障件不會因為維修資源短缺而造成排隊等待的現(xiàn)象。

2 兩級可修復備件庫存模型

2.1 備件需求率確定

根據(jù)1.1分析的LRU+SRU在兩級庫存系統(tǒng)中的供應保障過程，基層j的SRUi年平均需求量，等于基層j的LRU年平均需求量乘以LRU在本基層修理的概率，再乘LRU修理產生SRUi需求的概率：

其中，i表示內場更換件SRU的項目編號1，2，…，I（0 表示 LRU），j表示基層編號 1，2，…，J（0 表示基地倉庫），mij表示基層j內場更換件SRUi的年平均需求率，rij表示基層j SRUi的故障件能在基層修理的概率，qij表示基層j修理的LRU將產生故障隔離的SRUi的條件概率，其中

基地倉庫LRU年平均需求量，等于各基層發(fā)生的對基地倉庫補給申請的LRU需求之和：

基地倉庫SRUi的年平均需求量，等于所有J個基層補給需求之和（基層j的SRUi年平均需求量乘以SRUi不在本基層修理的概率），再加上基地級修理LRU所需的SRU件數(shù)。因此，

通過上述分析，準確得到基層j的LRU年平均需求率m0j是確定各層級備件需求率的關鍵，目前，國內外文獻在建立備件預測模型時，通常將其視為已知參數(shù)，列裝部隊一段時間的裝備，在維修保障的過程中，維修人員和保障機構往往對備件的消耗規(guī)律有一個較為清晰的認識，已積累了一定數(shù)量的實際使用數(shù)據(jù)，可通過歷史數(shù)據(jù)確定。對于新型號裝備在列裝服役初期，在缺乏備件故障消耗數(shù)據(jù)時，需要通過裝備可靠性設計指標、裝備系統(tǒng)結構、使用現(xiàn)場的裝備配置量，以及維修條件來對LRU的年平均需求率進行預測，其計算公式為：

其中，Qi為基層裝備使用數(shù)量；Ui為部件i的利用率因子；Ri為部件i的拆卸率因子；Ni為單個部件i的機用件數(shù)；λi為部件i的故障率。

2.2 基地級在修LRU件數(shù)的均值和方差

基地級修理LRU產生的基地SRUi需求的比例是

基地級修理的LRU件數(shù)由兩組構成：1）不存在SRU延誤時，基地送修渠道LRU的件數(shù)；2）因基地倉庫現(xiàn)有庫存沒有所需SRU而延誤的基地送修LRU。一次具體SRU短缺正在延誤LRU基地送修的概率為fi0，而該短缺正在延誤對某基地補給的概率為1-fi0。因此，基地送修LRU的均值和方差為：

2.3 基層級在修或補給的SRU件數(shù)的均值和方差

正在補給到基層j的基地倉庫所需全部SRUi的比例是：

在修或補給到基層j的SRUi件數(shù)，等于供應渠道件數(shù)加上基地倉庫不能提供SRU現(xiàn)貨而延誤的件數(shù)。

其中，Oi表示基地倉庫有庫存時，SRUi從基地倉庫到任一基層申請至交付的時間為常數(shù)；Xij表示基層j隨時在修或補給的內場更換件SRUi的件數(shù)。

2.4 基層級在修或補給的LRU件數(shù)的均值和方差

正在補給到基層j的基地倉庫所需全部SRUi的比例是：

基層j在修或補給的LRU件數(shù)可分成3組：1）供應渠道無短缺時LRU的件數(shù)；2）因基地倉庫LRU短缺而造成補給延誤的LRU件數(shù)；3）因基層短缺SRU而延誤修理的LRU件數(shù)。

其中，Oi表示基地倉庫有庫存時，SRUi從基地倉庫到任一基層申請至交付的時間為常數(shù)；Xij表示基層j隨時在修或補給的內場更換件SRUi的件數(shù)。

期望短缺數(shù)EBO及短缺數(shù)方差VBO計算式分別為

式中：xi為第i類備件的需求量；si為第i類備件的現(xiàn)有庫存量；P（xi）為第i類備件供應渠道數(shù)量的穩(wěn)態(tài)概率分布。

2.5 備件供應渠道數(shù)量概率分布的確定

根據(jù)備件供應渠道數(shù)量的方差Var（xi）和均值E（xi）比值可以確定P（xi）的概率分布。

表1 備件供應渠道數(shù)量概率分布

3 裝備完好率模型

裝備完好率是指在一定時限內，可遂行飛行任務的裝備數(shù)占實有裝備數(shù)的比率。反映裝備完好情況的指標，衡量裝備保障管理和技術水平對作戰(zhàn)、訓練保障程度的標尺，制定裝備使用計劃的依據(jù)之一［10］。裝備完好率（POR）的統(tǒng)計公式為：

式中，k為完好裝備數(shù)；n為總裝備數(shù)。

裝備使用可用度是指裝備可在隨機時刻按需執(zhí)行其規(guī)定功能的概率。假設給定裝備完好率POR，則可以建立POR與裝備使用可用度A之間的關系模型。因為每架飛機的使用可用度（在任意時刻的可用概率）為A，在機群n架飛機中，至少有k架飛機可用的概率服從二項分布：

對于某一特定要求的置信水平CL，要確保預期的POR目標，則必須滿足以下條件：

綜上所述，在已知總飛機數(shù)n、完好率POR和置信水平CL的情況下，通過式（13）～式（15）即可求出有效的最低飛機使用可用度。

基層j的裝備可用度為：

式中，Nj為基層j的飛機數(shù)量；I為飛機中備件項目數(shù)；EBOij（sij）為基層j第i類備件在庫存量為sij時的期望短缺數(shù)；Zi為第i類備件的單機安裝數(shù)。

對整個兩級保障系統(tǒng)而言，其保障的所有基層裝備可用度為：

基于裝備完好率的兩級庫存優(yōu)化模型表述為在滿足兩級保障體系裝備完好率要求的前提下，使整個保障體系的備件費用最低：

式中，POR0為期望達到的兩級保障體系裝備完好率。

4 模型算法

模型采用邊際效能分析法進行備件優(yōu)化，將可能要追加的庫存?zhèn)浼葱蚺帕?，排序的標準是備件的?費比（即追加一件備件庫存形成的裝備完好率增量除以該備件的單價），效費比最高的備件排在“備件購置清單”最前面，這樣就生成了最優(yōu)的備件組配方案。隨著備件購置清單的生成，同時也累加了備件購置費用及其產生的裝備完好率，這樣就將總費用與計劃安排的完好率聯(lián)系起來，得出備件保障費用與完好率的關系曲線。

運用邊際效能分析法對該模型進行求解的步驟流程圖如圖2所示。

5 算例分析

假設在一個兩級維修供應保障系統(tǒng)中，由1個基地，3個基層組成。數(shù)據(jù)表2中包括LRU組件和對應的SRU清單及其相關參數(shù)。

假設各基層有20架同型飛機，每架飛機的任務時間相同。求在置信水平0.9，機群完好率不低于0.8時的最優(yōu)備件庫存方案。

飛機架數(shù)n=20，機群完好率POR0=0.8，置信水平CL=0.9，根據(jù)裝備完好率模型，由式（13）～ 式（15），此時單機使用可用度：A≥0.873 1。采用邊際優(yōu)化算法進行計算，得到備件的最優(yōu)初始庫存方案，如表3所示。

圖2 模型求解流程

邊際優(yōu)化算法在迭代過程中得到的備件保障費用與完好率的關系曲線如下頁圖3所示，負責編制備件保障計劃的人員可以使用上述效-費比曲線規(guī)劃經費預算并安排資源配置，備件庫存主管按照規(guī)定的裝備完好率指標，或者是規(guī)定的庫存?zhèn)浼A算經費標準，就可以計算確定備件的需求量。

表2 裝備備件清單及相關參數(shù)

表3 備件的最優(yōu)庫存分配結果

圖3 備件最優(yōu)費效變化曲線

6 結論

本文在以METRIC模型為代表的經典解析法的基礎上，以兩級庫存系統(tǒng)下LRU+SRU的備件保障模式為研究對象，構建備件兩級閉環(huán)供應鏈系統(tǒng)結構與備件運轉流程，提出裝備完好率模型，依據(jù)單位價格備件對裝備完好率的貢獻度得出兩級備件最優(yōu)組配方案。模型推廣后也可解決三級保障模式下的備件儲備問題。