基于GM（1，1）試卷難度系數(shù)修正模型的學(xué)生成績預(yù)測

吳楠 胡堯 李小林 王丹 胡娟 李玉凱 舒丹 陳青鳳

摘 要：學(xué)生成績是教學(xué)評估的一項重要衡量指標(biāo)，考慮學(xué)生考試成績特點提出了一種基于試卷難度系數(shù)變化的GM（1，1）修正模型，并運用此模型對花溪一中考試成績進行預(yù)測，實踐證明該修正模型能減少誤差，提升預(yù)測精度。

關(guān)鍵詞：成績預(yù)測； 發(fā)展灰數(shù)；后驗差檢驗； 小誤差概率；難度系數(shù)

中圖分類號：O212

文獻標(biāo)識碼： A

隨著科技數(shù)據(jù)信息的發(fā)展，探索新的教學(xué)方法、前瞻性數(shù)據(jù)化建設(shè)校園是校方義不容辭的責(zé)任。合理運用信息技術(shù)能有效地解決教學(xué)中許多問題。目前中小學(xué)對數(shù)據(jù)的應(yīng)用多限于成績查詢和一些常規(guī)統(tǒng)計，如平均分、及格率、最高分等。這些描述性統(tǒng)計分析只是某一次考試當(dāng)前情況的體現(xiàn)，無法挖掘數(shù)據(jù)中存在的關(guān)系和規(guī)則，無法根據(jù)現(xiàn)有的各項數(shù)據(jù)預(yù)測學(xué)生成績以及學(xué)生今后發(fā)展趨勢。本文通過與中學(xué)老師的溝通，了解中學(xué)考試成績展現(xiàn)特性，結(jié)合當(dāng)前考試形式，對學(xué)生成績進行整理分析，通過搭建數(shù)學(xué)模型，實現(xiàn)對學(xué)生最終中考成績進行預(yù)測分析，并選取貴州省貴陽市花溪區(qū)第一中學(xué)（簡稱花溪一中）考試成績進行分析，驗證模型有效性。

1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

數(shù)據(jù)來源于花溪一中2017屆學(xué)生初中各次考試成績（以下簡稱學(xué)生成績）?？紤]中考科目為：數(shù)學(xué)、語文、英語、理綜（物理、化學(xué)），故選取花溪一中2017屆學(xué)生8年級至9年級數(shù)學(xué)、語文、英語、物理、化學(xué)成績進行整理，統(tǒng)計共634名學(xué)生的成績。為方便數(shù)據(jù)讀取和分析，引入一些符號標(biāo)記對原始各次考試進行重新標(biāo)記，例如：“數(shù)學(xué)分數(shù)81”表示“八年級上學(xué)期期末考試成績”，“數(shù)學(xué)分數(shù)911”表示“九年級上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)成績”，其他類似。表1展現(xiàn)了整理后的數(shù)學(xué)成績的部分數(shù)據(jù)。

1.1 缺失值情況分析

數(shù)據(jù)缺失值分布情況與分析結(jié)果息息相關(guān)，圖1是數(shù)學(xué)考試成績的缺失數(shù)據(jù)情況。圖中，淺色為缺失值，深色為完整數(shù)據(jù)，圖（a）體現(xiàn)各次考試的缺失數(shù)據(jù)量，圖（b）展示缺失數(shù)據(jù)在整個數(shù)據(jù)中的位置。數(shù)學(xué)成績總數(shù)據(jù)為634×16的數(shù)據(jù)框，其中616名的成績數(shù)據(jù)完整有效，僅18名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績有缺失。缺失值共21個，占總數(shù)據(jù)量10144的0.21%，缺失率小于10%，指標(biāo)的信息完整度均在理論范圍內(nèi)[1]。

同樣的方法，可得出各科成績數(shù)據(jù)缺失情況如表2所示，數(shù)據(jù)缺失比率均小于10%，故不會影響分析結(jié)果。

1.2 缺失值補齊

結(jié)合花溪一中實際考試成績情況，對學(xué)生考試成績進行填補，同一考生缺失數(shù)據(jù)較多的予以剔除，最終建立634名考生成績總表。為便于后期建模分析，選取學(xué)生八年級上下學(xué)期期末考試成績、九年級全部數(shù)據(jù)及花溪區(qū)區(qū)考成績和貴陽市適應(yīng)性考試作為最終分析的數(shù)據(jù)，并對缺失部分予以補齊。常用的缺失值補齊方法有均值補齊法、中位數(shù)補齊法、眾數(shù)補齊法等，結(jié)合學(xué)生成績實際情況，采取均值補齊法。

2 灰色預(yù)測模型概述

2.1 灰色預(yù)測模型

灰色預(yù)測對既含有已知信息又含有不確定信息的系統(tǒng)進行預(yù)則，即對在一定范圍內(nèi)變化的、與時間有關(guān)的灰色過程進行預(yù)測?；疑A(yù)測通過鑒別系統(tǒng)因素之間發(fā)展趨勢的相異程度，并對原始數(shù)據(jù)進行生成處理來尋找系統(tǒng)變動的規(guī)律，生成有較強規(guī)律性的數(shù)據(jù)序列，然后建立相應(yīng)的微分方程模型，從而預(yù)測事物未來發(fā)展趨勢的狀況[2]。

在充分使用數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，建立GM（1，1）模型，分別對考生各科成績進行預(yù)測。

2.2 灰色預(yù)測GM（1，1）模型

3.2 基于GM（1，1） 試卷難度系數(shù)修正模型的實現(xiàn)

為提高模型預(yù)測精度，通常會選取殘差修正模型，但是在計算殘差時，常常發(fā)現(xiàn)殘差的波動較大，根據(jù)原始數(shù)據(jù)的特征會出現(xiàn)正負交替現(xiàn)象，即使用殘差模型修正，也不能很好地改善擬合效果。通過實踐發(fā)現(xiàn)，學(xué)生成績數(shù)據(jù)與每次考試的試卷難度系數(shù)息息相關(guān)，所以在修正模型的過程中，

得到模型修正預(yù)測值后重新驗證模型精度，進行后驗差檢驗，得到新的殘差如表6所示。

類似方法對花溪一中全體同學(xué)所有科目進行建模及模型檢驗，部分同學(xué)數(shù)學(xué)成績的各項指標(biāo)如表7所示。

經(jīng)計算，所有數(shù)據(jù)的發(fā)展系數(shù)a均小于1，故均可使用GM（1，1）進行建模預(yù)測，通過殘差符號結(jié)合難度系數(shù)得到各模型調(diào)整系數(shù)對模型進行修正，最終得到修正后的模型預(yù)測值，并進行新的后驗比檢驗，結(jié)果除極少部分同學(xué)考試成績波動特別大導(dǎo)致模型預(yù)測效果欠佳，其余均顯示模型預(yù)測通過后驗比檢驗和小誤差概率檢驗，效果良好。

3.3 花溪一中學(xué)生中考成績預(yù)測

綜上可以用修正后的GM（1，1）模型分別對花溪一中學(xué)生中考單科和總分成績（預(yù)測總分加上50分體育成績所得）進行預(yù)測。首先對總分進行預(yù)測。據(jù)了解，貴陽市今年中考難度系數(shù)在0.75，以該難度系數(shù)為標(biāo)準，對學(xué)生中考成績預(yù)測，預(yù)測結(jié)果如表8所示（僅選取前50名展示）。

由預(yù)測結(jié)果統(tǒng)計：600以上約為30人。據(jù)最終花溪一中公布的2017年中考考試成績（由于資源有限，僅獲取了600以上同學(xué)總成績和1班同學(xué)的各科目成績），600以上為35人（含加分政策），根據(jù)修正后GM（1，1）模型預(yù)測出來的30人均包含在內(nèi)。利用修正后GM（1，1）模型預(yù)測的花溪一中學(xué)生中考成績分布如圖2所示。

其次，對花溪一中學(xué)生中考單科成績進行預(yù)測，表9展示部分同學(xué)各科成績預(yù)測結(jié)果。

為驗證預(yù)測結(jié)果的準確率，利用獲得的1班同學(xué)的總分及單科成績數(shù)據(jù)對預(yù)測結(jié)果進行誤差分析，經(jīng)計算總成績預(yù)測的均方誤差為：-4.866；語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)的均方誤差分別為：0.197、0.545、0.258、2.924，平均誤差均不超過5分，說明模型預(yù)測效果良好。

4 結(jié)論

從學(xué)生成績殘差特性出發(fā)，提出一種基于試卷難度系數(shù)變化的GM（1，1）修正模型，這符合“灰色系統(tǒng)理論的研究對象信息不完全，準則具有多重性，模型非惟一性”的特點。且經(jīng)實踐表明，修正后的模型能提升學(xué)生成績預(yù)測模型精度。在預(yù)測學(xué)生成績時，可以推廣使用。

參考文獻：

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[3]李夢婉，沙秀艷.基于GM（1，1）灰色預(yù)測模型的改進與應(yīng)用[J].計算機工程與應(yīng)用，2016，52（4）：24-30.

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[5]何瑞林. 中考試卷難度系數(shù)7：2：1[N].揚州日報，2008-06-13（A03）.

（責(zé)任編輯：周曉南）