常微分方程支配的最優(yōu)控制問題的二階必要條件

喻羅嬌 彭云飛

摘 要：本文引進(jìn)算子微分方程，得到不依賴于狀態(tài)關(guān)于控制的變分的一類最優(yōu)控制問題的二階必要條件。該結(jié)果有助于揭示最優(yōu)控制問題與變分問題、甚至函數(shù)極值問題的本質(zhì)異同，也有助于尋求最優(yōu)控制的計(jì)算方法和最優(yōu)控制的設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵詞：最優(yōu)控制問題；算子方程；二階必要條件

中圖分類號(hào)：O232

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

1948年N.Wiener出版的《控制論——關(guān)于在動(dòng)物和機(jī)器中控制和通訊的科學(xué)》，標(biāo)志著控制論誕生。最優(yōu)控制理論是控制論中的核心內(nèi)容之一，而最優(yōu)控制論的核心是最優(yōu)控制的必要條件，必要條件本質(zhì)是不變量。

最優(yōu)控制問題是條件泛函極值問題，是函數(shù)極值問題、變分問題的推廣。關(guān)于函數(shù)極值問題，其經(jīng)典結(jié)果是函數(shù)f的極值點(diǎn)x-滿足Euler方程。后來，Euler和Lagrange得到了變分的一階必要條件，即Euler-Lagrange方程[1]。這實(shí)質(zhì)上給出了極值點(diǎn)的一階不變量。關(guān)于最優(yōu)控制問題，Pontryagin引進(jìn)伴隨方程，獲得了最優(yōu)控制的一階必要條件，即Pontryagin極大值原理[2]，本質(zhì)上獲得了最優(yōu)控制的一階不變量。

為了尋求極值點(diǎn)的充分條件及其極值點(diǎn)的計(jì)算，人們研究二階必要條件。一方面函數(shù)f極小值點(diǎn)的二階必要條件是相應(yīng)的Hesse矩陣半正定，另一方面，滿足Hesse矩陣正定的穩(wěn)定點(diǎn)（或駐點(diǎn)）必是f的極小值點(diǎn)。對(duì)于變分問題，也有類似結(jié)果。由此，Hesse矩陣半正定是極小值點(diǎn)的二階不變量，它刻畫了極值點(diǎn)的本質(zhì)特征。一個(gè)自然的問題是：如何刻畫最優(yōu)控制問題的二階不變量？這是本文的研究動(dòng)機(jī)。

1 主要結(jié)果

本文主要目標(biāo)是討論線性常微分方程支配的最優(yōu)控制問題的二階不變量。首先陳述問題：受控系統(tǒng)為如下線性常微分方程

該結(jié)果的形式類似于Pontryagin極大值原理，與其不相同的是：Pontryagin極大值原理中引進(jìn)向量值函數(shù)方程消掉狀態(tài)關(guān)于控制的變分，而本文通過引進(jìn)算子微分方程來消掉狀態(tài)關(guān)于控制的變分。該結(jié)果也從二階必要條件的角度揭示了最優(yōu)控制問題與變分問題、函數(shù)極值問題的本質(zhì)差異。

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（責(zé)任編輯：曾 晶）