有限群體勢博弈Nash平衡點的存在性

黎繼巧 楊輝 王柳偉

摘 要：本文通過有限群體博弈的相關(guān)知識，證明了二策略對稱正規(guī)型有限群體博弈Nash平衡點的存在性、二策略有限群體博弈是勢博弈，及有限群體勢博弈Nash平衡點的存在性。

關(guān)鍵詞：有限群體博弈；對稱正規(guī)型博弈；勢博弈；Nash平衡

中圖分類號：O225

文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A

群體博弈的思想最早源于1950年Nash[1]在其博士學(xué)位論文中關(guān)于混合策略形式的平衡概念提出的“群體行動（Mass-action）”的解釋，基于這個解釋，之后相關(guān)學(xué)者建立了群體博弈理論，見[2，3]及相關(guān)文獻(xiàn)。連續(xù)群體博弈模型的一個基本假設(shè)是群體中個體的數(shù)量充分大（統(tǒng)計學(xué)意義上），根據(jù)大數(shù)定律，單一個體改變策略可以忽略不計。但是現(xiàn)實中許多群體中的個體數(shù)量并不滿足這個假設(shè)，用連續(xù)群體博弈模型解釋不太貼切，于是研究有限群體博弈有實際意義。1979年，Riley[4]提出有限群體概念。1988年，Maynard Smith[5]提出疑問，在有限群體一個混合策略是穩(wěn)定的嗎？針對這個疑問，同年，Schaffer[6]提出有限群體模型的演化穩(wěn)定性概念。Robert W.Rosenthal[7]于1973年提出擁堵博弈的概念，受此啟發(fā)，Monderer和Shapley[8]于1996年定義了有限勢博弈，并得到所有的平衡點是勢函數(shù)的局部最大值點，并證明了每一個擁堵博弈都是勢博弈。2001年， Sandholm[9]建立了有限代理人勢博弈和無限代理人勢博弈的關(guān)系。2011年，Sandholm出版的著作《Population Games and Evolutionary Dynamics》[3]系統(tǒng)地闡述了有限群體博弈模型，并對有限群體勢博弈做了相關(guān)研究。有限群體博弈模型，群體中個體的數(shù)量有限，群體狀態(tài)集是離散集，于是有限群體博弈Nash平衡不一定存在。

受以上工作啟發(fā)，本文主要考慮有限群體勢博弈Nash平衡的存在性，探討二策略博弈和勢博弈的關(guān)系，并關(guān)注特殊的二策略對稱正規(guī)型匹配博弈生成的有限群體博弈Nash平衡的存在性。具體安排如下，首先給出基本定義和預(yù)備知識，其次給出一個不存在Nash平衡的反例，證明了二策略對稱正規(guī)型博弈平衡點的存在性，驗證了二策略博弈是勢博弈，證明勢博弈Nash平衡的存在性，最后對全文做一個總結(jié)。

參考文獻(xiàn)：

[1]Nash J F. Equilibrium points in n-person games[J]. Proceedings of the national academy of sciences， 1950， 36（1）： 48-49.

[2]Blume L E. Population Games[J]. Game Theory & Information， 1998， 11（3）：211-217.

[3]Sandholm W H. Population games and evolutionary dynamics[M]. Massachusetts：MIT press， 2010.

[4]Riley J G. Evolutionary equilibrium strategies[J]. Journal of Theoretical Biology， 1979， 76（2）： 109-123.

[5]Smith J M. Can a mixed strategy be stable in a finite population？[J]. Journal of theoretical Biology， 1988， 130（2）： 247-251.

[6]Schaffer M E. Evolutionarily stable strategies for a finite population and a variable contest size[J]. Journal of theoretical biology， 1988， 132（4）： 469-478.

[7]Rosenthal R W. A class of games possessing pure-strategy Nash equilibria[J]. International Journal of Game Theory， 1973， 2（1）：65-67.

[8]Monderer D， Shapley L S. Potential games[J]. Games and economic behavior， 1996， 14（1）：124-143.

[9]Sandholm W H. Potential games with continuous player sets[J]. Journal of Economic Theory 2001， 97（1）：81-108.

（責(zé)任編輯：曾 晶）