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    回眸創(chuàng)新題型,洞察解題密碼

    2018-07-12 10:10:22陳國(guó)林
    求學(xué)·文科版 2018年5期
    關(guān)鍵詞:命制卡片本題

    陳國(guó)林

    與創(chuàng)新題型相關(guān)的考點(diǎn)幾乎覆蓋了中學(xué)知識(shí)點(diǎn)的每個(gè)模塊. 其中最為突出的是將中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題結(jié)合數(shù)學(xué)文化進(jìn)行命題,相關(guān)新定義問(wèn)題也較為常見(jiàn),不等式與函數(shù)方面一般從數(shù)學(xué)應(yīng)用方面著手命制進(jìn)而創(chuàng)新.考生對(duì)一些知識(shí)交匯類題型應(yīng)引起注意,這是高考命題的一個(gè)趨勢(shì),特別是概率統(tǒng)計(jì)創(chuàng)新題型的命制花樣較多,主要是結(jié)合實(shí)際生活應(yīng)用、散點(diǎn)圖、邏輯推理以及圖論知識(shí)進(jìn)行考查.

    一、把握命題規(guī)律,洞悉考點(diǎn)走向

    創(chuàng)新思想在每一套數(shù)學(xué)試題中都是不可或缺的,高考一般在試題解決方案、試題素材、試題情境等方面進(jìn)行創(chuàng)新.2016年新課標(biāo)卷Ⅲ中結(jié)合地理考查了識(shí)圖能力;2015年全國(guó)卷Ⅰ理科第16題引導(dǎo)考生將解三角形問(wèn)題的方法推廣運(yùn)用到四邊形試題中,要求考生打破常規(guī)思路,獨(dú)立思考,積極探究;浙江卷文科第7題將立體幾何與平面幾何知識(shí)有機(jī)結(jié)合,考查考生的空間想象能力和推理論證能力,對(duì)考生邏輯思維的靈活性有較高要求;2017年全國(guó)卷Ⅰ理科第12題將數(shù)列結(jié)合實(shí)際生活進(jìn)行創(chuàng)新,全國(guó)卷Ⅱ理科第4題結(jié)合數(shù)學(xué)文化進(jìn)行命題,新穎獨(dú)特,體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化在中學(xué)教學(xué)中的滲透.

    二、論說(shuō)創(chuàng)新題型的命題方式

    筆者通過(guò)對(duì)近年高考試題的歸納探索發(fā)現(xiàn),近年來(lái)數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型的命題較為普遍,其中主要命題形式如下.

    三、相關(guān)創(chuàng)新題型分析

    下面根據(jù)每個(gè)命題形式給出題例,并做出分析.

    【例1】(2016·新課標(biāo)卷Ⅲ)定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下:{an}共有2m項(xiàng),其中m項(xiàng)為0,m項(xiàng)為1,且對(duì)任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若m=4,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有( ).

    A. 18個(gè) B. 16個(gè) C. 14個(gè) D. 12個(gè)

    【解析】當(dāng)k=1時(shí),由題意得a1=0,當(dāng)k=8時(shí),得a8=1,則具體的排法列表如下.

    【評(píng)注】本題新定義了一個(gè)“規(guī)范01數(shù)列”,考查計(jì)數(shù)原理的相關(guān)應(yīng)用,根據(jù)題目含義進(jìn)行列舉即可得出答案. 本題以信息題的形式呈現(xiàn),考查了學(xué)生接受和處理信息的能力,解決此題需要充分理解題目的含義,進(jìn)行深入分析,方能準(zhǔn)確地得出結(jié)果.

    【例2】(2016·新課標(biāo)卷Ⅲ)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況,繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖(如圖1).圖中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15℃,B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為5℃.下面敘述不正確的是( ).

    A.各月的平均最低氣溫都在0℃以上

    B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大

    C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同

    D.平均最高氣溫高于20℃的月份有5個(gè)

    【解析】結(jié)合圖形可知平均最高氣溫高于20℃的月份有2個(gè),所以D不正確.

    【評(píng)注】這是一道將地理與數(shù)學(xué)結(jié)合的試題,這種學(xué)科交叉的試題有很多,如在數(shù)學(xué)理科卷中,命題人會(huì)將數(shù)學(xué)與物理結(jié)合考查燃油效率問(wèn)題,與化學(xué)結(jié)合考查SO2排放量問(wèn)題,另外此類問(wèn)題還常常考查利用向量解三角形問(wèn)題.本題易錯(cuò)點(diǎn)有兩個(gè):一是對(duì)圖形中的線條認(rèn)識(shí)不明確,不知所措,只覺(jué)得是兩把“雨傘”重疊在一起,找不到解決問(wèn)題的方法;二是估計(jì)平均溫差時(shí)易錯(cuò)選B.

    【例3】(2015·陜西卷)設(shè)復(fù)數(shù)z=(x-1)+yi(x, y∈R),若|z|≤1,則y≥x的概率為( ).

    A. + B. + C. - D. -

    【解析】由|z|=≤1,得(x-1)2+y2≤1,即點(diǎn)(x, y)所在的區(qū)域是以(1, 0)為圓心,1為半徑的圓盤,則滿足y≥x的區(qū)域?yàn)槿鐖D2所示陰影部分(弓形OA),故y≥x的概率

    P==-.

    【評(píng)注】復(fù)數(shù)考題常??疾槟iL(zhǎng)、共軛復(fù)數(shù)、實(shí)部與虛部等知識(shí),而本題則巧妙地將復(fù)數(shù)與幾何概型相結(jié)合考查了數(shù)形結(jié)合的思想. 解決此題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確畫圖,畫出圖形后即可看出相應(yīng)的面積關(guān)系.

    【例4】(2017·新課標(biāo)卷Ⅱ)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈?”意思是一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( ).

    A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞

    【解析】一座7層塔共掛了381盞燈,即S7=381;相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,即q=2,塔的頂層為a1;由等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=(q≠1)可知,S7=

    =381,解得a1=3.

    【評(píng)注】古算詩(shī)題是反映數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律的一種文學(xué)形式.古算詩(shī)題表達(dá)了數(shù)學(xué)精華的思想方法,傳遞著數(shù)學(xué)問(wèn)題的信息.本題主要選擇了《算法統(tǒng)宗》的古算詩(shī)題,求解的關(guān)鍵在于將詩(shī)題與中學(xué)數(shù)學(xué)建立聯(lián)系,進(jìn)而求解.

    【例5】(2015·四川卷)某食品的保鮮時(shí)間y(單位:小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位:℃)滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b(e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),k,b為常數(shù)). 若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是192小時(shí),在22℃的保鮮時(shí)間是48小時(shí),則該食品在33℃的保鮮時(shí)間是 小時(shí).

    【解析】由得e11k=,則當(dāng)x=33時(shí),y=

    e33k+b=(e11k)3·eb=()3×192=24.

    【評(píng)注】培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新應(yīng)用能力一直是一項(xiàng)不可小視的任務(wù),因此在高考試卷中有關(guān)數(shù)學(xué)應(yīng)用的試題是必不可少的.本題將食品保鮮問(wèn)題結(jié)合指數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行考查,突出了數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān)的特點(diǎn).

    【例6】(2016·新課標(biāo)卷Ⅱ)有三張卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說(shuō):“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2.”乙看了丙的卡片后說(shuō):“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1.”丙說(shuō):“我的卡片上的數(shù)字之和不是5.”則甲的卡片上的數(shù)字是 .

    【解析】由題意可知甲的卡片上的數(shù)字為1和3,乙的卡片上的數(shù)字為2和3,丙的卡片上的數(shù)字為1和2.

    【評(píng)注】邏輯推理即演繹推理,就是從一般性的前提出發(fā),通過(guò)推導(dǎo),得出具體陳述或個(gè)別結(jié)論的過(guò)程.邏輯推理題的考查主要包括演繹、歸納和溯因三種方式.解決此類試題的關(guān)鍵在于弄清邏輯關(guān)系.

    【例7】(2017·新課標(biāo)卷Ⅰ)幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召,開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為以下數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案:已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16 ,…,其中第一項(xiàng)是20,接下來(lái)的兩項(xiàng)是20,21,再接下來(lái)的三項(xiàng)是20,21,22,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N:N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是( ).

    A. 440 B. 330 C. 220 D. 110

    【解析】(方法一)因?yàn)?0+21+22+…+2n-1=2n-1,所以原數(shù)列的前(1+2+3+…+n)項(xiàng)和,即前項(xiàng)和為21-

    1+22-1+23-1+…+2n-1=2n+1-2-n.

    取n=29,則=435,所以原數(shù)列前440項(xiàng)和為

    230-31+20+21+22+23+24=230,所以當(dāng)整數(shù)N=440時(shí),滿足題設(shè)條件“N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪”.

    類似分析,分別取n=25,20,14可知,當(dāng)整數(shù)N= 330,220,110時(shí),均不滿足題設(shè)條件“N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪”.

    綜上,適合題意的最小整數(shù)N為440.故選A.

    (方法二)因?yàn)?0+21+22+…+2n-1=2n-1,所以原數(shù)列的前(1+2+3+…+n)項(xiàng)和,即前項(xiàng)和為21-1+22-1+

    23-1+…+2n-1=2n+1-2-n(*).

    注意到20=1,20+21=3,20+21+22=7,20+21+22+23=15,20+21+22+23+24=31,所以易判斷知,分別?。?)中的n=1,5,13,29,即得原數(shù)列的前N=3,18,95,440項(xiàng)和均為2的整數(shù)冪(說(shuō)明:這里N的可能取值只羅列了前4個(gè),且按由小到大的順序依次給出). 故適合題意的最小整數(shù)N為440.故選A.

    【評(píng)注】新情景類數(shù)學(xué)問(wèn)題有利于考查考生分析解決問(wèn)題的實(shí)際能力、發(fā)散性思維能力和探索創(chuàng)新精神,所以需要引起重視.本題的難點(diǎn)在于需要對(duì)數(shù)列進(jìn)行多次求和,從而導(dǎo)致考生解答時(shí)不知從何下手,思維難以打開(kāi).

    四、創(chuàng)新題型破解策略

    1.涉及大學(xué)內(nèi)容、學(xué)科關(guān)聯(lián)和新定義的數(shù)學(xué)問(wèn)題一般會(huì)以信息題的形式出現(xiàn),解決此類試題的關(guān)鍵在于弄清題目所給定義的含義.

    2.學(xué)科關(guān)聯(lián)試題的命制較為新穎,一般情況下數(shù)學(xué)文科卷會(huì)與地理結(jié)合進(jìn)行命制,理科卷則會(huì)與物理化學(xué)結(jié)合進(jìn)行命制,一般此類試題難度不大,掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能即可解決.

    3.對(duì)于應(yīng)用試題的解決,則需要將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題,建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)而求解,一般方法是刪除題目中的多余信息,抽取出關(guān)鍵內(nèi)容,建立等量關(guān)系,進(jìn)而對(duì)問(wèn)題進(jìn)行破解.

    4.邏輯推理問(wèn)題則需要弄清題目?jī)?nèi)在的邏輯關(guān)系.

    5.傳統(tǒng)文化試題是將古代數(shù)學(xué)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)相結(jié)合,此類試題需要先理清古代數(shù)學(xué)文化中的用語(yǔ)所表示的含義,然后再利用中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解.

    6.綜合類試題的難度較大,必須要有扎實(shí)的基礎(chǔ),將大的考點(diǎn)進(jìn)行分解,逐步擊破,方可勝券在握.

    五、展望考題趨勢(shì),關(guān)注命題熱點(diǎn)

    筆者預(yù)測(cè)2018年創(chuàng)新題型的命制依舊會(huì)延續(xù)2017年的命題特點(diǎn),考生需要關(guān)注以下幾點(diǎn):

    1.新定義問(wèn)題意在考查考生的數(shù)學(xué)抽象思維,如本文例1.

    2.數(shù)學(xué)應(yīng)用與邏輯推理試題意在考查考生的數(shù)學(xué)建模思想和數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性,如本文例3、例6.

    3.我國(guó)數(shù)學(xué)文化歷史悠久,存在許多不同于西方數(shù)學(xué)文化的鮮明特點(diǎn):注重歸納,強(qiáng)調(diào)實(shí)用,講究算法.在高考試題中滲透中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化,強(qiáng)調(diào)中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的傳統(tǒng)特色,使考生在解題過(guò)程中接受我國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的熏陶,從而形成嚴(yán)謹(jǐn)、務(wù)實(shí)的治學(xué)態(tài)度,如本文例4.

    4.利用綜合知識(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行全面考查,此類試題一般會(huì)設(shè)計(jì)成壓軸題,意在考查考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理能力.

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