控制力矩陀螺框架諧波減速驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)建模與仿真*

杜　航，李　剛，魯　明

0　引　言

框架驅(qū)動(dòng)組件是控制力矩陀螺的關(guān)鍵組成部分之一，用于驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)子組件繞框架軸旋轉(zhuǎn)以輸出控制力矩，實(shí)現(xiàn)航天器的姿態(tài)控制與姿態(tài)機(jī)動(dòng).框架組件的性能直接決定了輸出力矩的精度、響應(yīng)速度與平穩(wěn)性，直接影響航天器的姿態(tài)控制性能.采用諧波減速器作為傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的CMG框架具有體積小、重量輕、功耗低等優(yōu)點(diǎn)，但不可避免地會(huì)帶來由于傳動(dòng)精度、齒隙、剛度非線性特性等問題引入的傳動(dòng)誤差.為此，建立充分描述諧波減速器特有性能的控制模型對(duì)研究采用諧波減速器的CMG框架系統(tǒng)傳動(dòng)精度問題具有重要作用.

在目前對(duì)采用諧波減速器作為傳動(dòng)裝置的間接驅(qū)動(dòng)的CMG框架驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的研究中，文獻(xiàn)[1]針對(duì)CMG框架伺服系統(tǒng)產(chǎn)生的諧振問題，提出了一種基于H∞混合靈敏度的振動(dòng)抑制方法；文獻(xiàn)[2]針對(duì)CMG框架系統(tǒng)諧振，建立了帶有速度環(huán)的CMG框架動(dòng)力學(xué)模型，但以上所建立的CMG框架模型中，針對(duì)諧波減速器只考慮了減速比和固定轉(zhuǎn)速下的剛度，對(duì)于齒隙和減速器非線性扭轉(zhuǎn)剛度等非線性因素沒有考慮.文獻(xiàn)[3]針對(duì)諧波減速器的遲滯特性建立了一種數(shù)學(xué)模型，并針對(duì)這一特性進(jìn)行了仿真研究.文獻(xiàn)[4-5]針對(duì)采用電機(jī)直驅(qū)的CMG框架伺服系統(tǒng)進(jìn)行了建模.文獻(xiàn)[6]對(duì)大型單框架CMG進(jìn)行了整體仿真，考慮了諧波減速器但是所建立的模型并沒對(duì)減速器的回差、非線性扭轉(zhuǎn)剛度、傳動(dòng)剛度等現(xiàn)象進(jìn)行研究.

本文對(duì)CMG框架驅(qū)動(dòng)組件用諧波減速器進(jìn)行了精細(xì)的建模，在諧波傳動(dòng)系統(tǒng)線性模型的基礎(chǔ)上，充分考慮了諧波減速器的齒隙模型、非線性剛度、減速器效率等因素.針對(duì)低速下諧波減速器的低剛度特性所引起的傳動(dòng)誤差較大提出了考慮傳動(dòng)誤差的減速器模型；最后建立了CMG框架驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)模型，并對(duì)諧波減速器剛度和阻尼這兩個(gè)因素對(duì)框架系統(tǒng)性能的影響做了研究.

1　直接驅(qū)動(dòng)和間接驅(qū)動(dòng)方式比較

根據(jù)國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀，框架驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)有直接驅(qū)動(dòng)和間接驅(qū)動(dòng)兩種方式，其性能對(duì)比如表1所示.

表1　框架驅(qū)動(dòng)組件驅(qū)動(dòng)方式性能對(duì)比Tab.1　Performance comparison of frame-driven component drive mode

由表1可知采用直接驅(qū)動(dòng)形式的框架驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，由于輸入軸與輸出軸之間一般采用剛性連接，不會(huì)引入傳動(dòng)誤差，因此具有剛度高、測(cè)量精度高，框架動(dòng)態(tài)響應(yīng)頻率高的優(yōu)點(diǎn).但是由于沒有減速環(huán)節(jié)，所選用的電機(jī)力矩系數(shù)大，從而會(huì)產(chǎn)生電機(jī)與框架驅(qū)動(dòng)組件的結(jié)構(gòu)尺寸大、重量大等問題.間接驅(qū)動(dòng)的框架驅(qū)動(dòng)組件在驅(qū)動(dòng)電機(jī)與輸出軸之間一般選用諧波齒輪或直齒輪作為減速機(jī)構(gòu)進(jìn)行減速，框架轉(zhuǎn)速的轉(zhuǎn)速較低，不可避免的引入由于傳動(dòng)精度、回差等因素引入的傳動(dòng)誤差，但采用間接驅(qū)動(dòng)形式的框架驅(qū)動(dòng)組件具有體積小、重量輕、功耗低、抗干擾能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn).本文所研究的1 000 N·m·s控制力矩陀螺采用諧波減速器作為減速機(jī)構(gòu).

2　諧波減速器建模

2.1　諧波減速器線性建模

CMG框架系統(tǒng)中諧波減速器的作用是將框架電機(jī)的轉(zhuǎn)速以一定的傳動(dòng)比減速并將框架電機(jī)的輸出力矩放大后驅(qū)動(dòng)框架——轉(zhuǎn)子系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)的組件，諧波減速器要具備較大的減速比，而且要求扭轉(zhuǎn)剛度大、反向間隙小、摩擦力矩小等特點(diǎn).諧波減速器由柔輪、波發(fā)生器和剛輪3部分組成，這3部分可以以一個(gè)為固定端，其他兩個(gè)中的一個(gè)作為輸入端、另一個(gè)作為輸出端，從而實(shí)現(xiàn)增速或減速.本文所研究的1 000 N·m·s控制力矩陀螺框架驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中的諧波減速器所采用的傳動(dòng)方式為：剛輪為固定端，電機(jī)驅(qū)動(dòng)波發(fā)生器主動(dòng)運(yùn)動(dòng)，柔輪為從動(dòng).

根據(jù)諧波齒輪傳動(dòng)原理，可將諧波傳動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)化為典型的二質(zhì)量系統(tǒng)[7-8]，中間由彈性軸連接.CMG框架驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)所采用的諧波傳動(dòng)系統(tǒng)線性模型如圖1所示.

圖1　諧波傳動(dòng)系統(tǒng)線性模型Fig.1　Simplified model of harmonic drive system

其中，θ1為電機(jī)端角位移，θ2為負(fù)載端角位移(即諧波齒輪輸出角位移)，T1為電機(jī)輸出力矩，T2為諧波齒輪柔輪輸出力矩，J1為伺服電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，J2為負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Ts為電機(jī)輸出到諧波齒輪柔輪的力矩，T1d為電機(jī)端擾動(dòng)，T2d為負(fù)載端擾動(dòng)，b1、b2為粘性摩擦系數(shù)，k為諧波減速器剛度，N為諧波減速器傳動(dòng)比.

根據(jù)圖1所示CMG框架驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)線性模型，根據(jù)力學(xué)關(guān)系，可以得到力矩平衡方程

(1)

由減速器傳動(dòng)比可以得出電機(jī)輸出到諧波齒輪柔輪的力矩和柔輪的輸出力矩

(2)

根據(jù)上述方程(1)～(2)即可建立CMG框架驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)線性模型.

2.2　諧波減速器齒隙死區(qū)模型

齒隙的死區(qū)模型被廣泛地應(yīng)用于描述傳動(dòng)的控制系統(tǒng)中齒隙的非線性特性，其模型描述如下：

(3)

式中，z=θm(t)-iθd(t).

其中，k為諧波減速器剛度，c為諧波減速器阻尼，j為齒隙，z為輸入的相對(duì)位移.

齒隙死區(qū)模型的輸入是減速器輸入與輸出端的相對(duì)位移，輸出是減速器輸出端傳遞到負(fù)載上的力矩，其中綜合考慮了減速器剛度和阻尼這兩個(gè)非線性因素對(duì)齒隙的影響，通過驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和從動(dòng)系統(tǒng)的傳遞力矩來描述齒隙.

利用MATLAB/Simulink軟件對(duì)齒隙死區(qū)模型進(jìn)行仿真，得到反映輸入轉(zhuǎn)角相對(duì)位移和輸出力矩之間關(guān)系的齒隙死區(qū)模型，如圖2所示.圖3模擬了正弦信號(hào)通過齒隙死區(qū)模型的輸出.由圖3可以看出，利用正弦函數(shù)來模擬框架轉(zhuǎn)速方向從正轉(zhuǎn)到反轉(zhuǎn)的變向過程，此時(shí)輸出力矩在轉(zhuǎn)速變向處，即正弦函數(shù)的零點(diǎn)處，會(huì)出現(xiàn)延遲.

圖2　齒隙死區(qū)模型Fig.2　Dead-zone model

圖3　正弦函數(shù)通過模型的輸出Fig.3　Sinusoidal signal passes through the model

2.3　考慮傳動(dòng)誤差的減速器模型

傳動(dòng)誤差的定義如下：

(4)

但由于在具有正反轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的諧波齒輪傳動(dòng)中，存在著制造誤差、傳動(dòng)剛度、外界負(fù)載的誤差、齒隙回差等諸多影響傳動(dòng)誤差的非線性因素，故式(4)并不能直接應(yīng)用于諧波減速器傳動(dòng)誤差的計(jì)算.考慮到具有正反轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的諧波齒輪傳動(dòng)誤差公式如下[9]：

(5)

式中，Δφhg為諧波傳動(dòng)中的轉(zhuǎn)角誤差，kB是實(shí)際測(cè)量傳動(dòng)誤差值與傳動(dòng)誤差理論計(jì)算值的比值；zmp是諧波齒輪同時(shí)參與嚙合的齒對(duì)數(shù)；ΔF∑j是剛輪或柔輪的綜合誤差；d′是轉(zhuǎn)動(dòng)齒輪的分度圓直徑；U為波發(fā)生器波數(shù)；ω0是柔輪的最大徑向變形量；ih是諧波齒輪的傳動(dòng)比；Δpn是波發(fā)生器零件的徑向誤差；Δe是彈性回差的理論值.

根據(jù)式(5)的傳動(dòng)誤差公式可以建立諧波減速器傳動(dòng)誤差模型，與(1)～(3)聯(lián)立可以建立考慮傳動(dòng)誤差的減速器模型，并與不考慮傳動(dòng)誤差的減速器模型進(jìn)行對(duì)比.

取轉(zhuǎn)速n=1 rad/s(模擬低速)和n=1 000 rad/s(模擬高速)進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖4所示.

圖4(a)表示在低速下不考慮傳動(dòng)誤差的減速器模型，圖4(b)表示在低速下考慮傳動(dòng)誤差的減速器模型，圖4(c)表示在高速下不考慮傳動(dòng)誤差的減速器模型，圖4(d)表示在高速下考慮傳動(dòng)誤差的減速器模型.通過對(duì)比可以看出：在低速時(shí)，考慮傳動(dòng)誤差的系統(tǒng)模型輸出轉(zhuǎn)速波動(dòng)較大，在波峰處存在0.36 rad的傳動(dòng)誤差，平均傳動(dòng)誤差0.2 rad，而不考慮傳動(dòng)誤差的系統(tǒng)模型在0.2 s后就達(dá)到穩(wěn)定值，之后輸出穩(wěn)定傳動(dòng)誤差可以忽略，顯然考慮傳動(dòng)誤差的系統(tǒng)模型更符合實(shí)際情況.在高速時(shí)，兩種模型則無差別，說明在減速器高速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)傳動(dòng)誤差對(duì)系統(tǒng)的影響很小，與低速相比影響可以忽略.后續(xù)對(duì)CMG框架系統(tǒng)的建模中將采用考慮傳動(dòng)誤差的減速器模型，更準(zhǔn)確的描述框架系統(tǒng)在低速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)的輸出轉(zhuǎn)速.

圖4　兩種減速器模型對(duì)比Fig.4　Comparison between two kinds of reducer models

3　控制力矩陀螺框架驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)建模

3.1　CMG框架驅(qū)動(dòng)組件結(jié)構(gòu)原理

CMG框架驅(qū)動(dòng)組件結(jié)構(gòu)如圖5所示.

圖5　CMG框架驅(qū)動(dòng)組件示意圖Fig.5　CMG Gimbal System

CMG框架驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)主要由框架電機(jī)、諧波減速器、旋轉(zhuǎn)變壓器、框架軸承組件等組成.其中，框架電機(jī)是驅(qū)動(dòng)框架——轉(zhuǎn)子系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)、實(shí)現(xiàn)控制力矩陀螺力矩輸出的關(guān)鍵組件，框架電機(jī)要具有良好的低速穩(wěn)定性，能將功耗維持較小的水平，研究對(duì)象所采用的框架電機(jī)為永磁直流無刷電機(jī)；諧波減速器的作用是將框架電機(jī)的轉(zhuǎn)速以一定的傳動(dòng)比減速并將框架電機(jī)的輸出力矩放大后驅(qū)動(dòng)框架-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)的組件，諧波減速器要具備較大的減速比，而且要求扭轉(zhuǎn)剛度大、反向間隙小、摩擦力矩小等特點(diǎn)；旋轉(zhuǎn)變壓器是用于測(cè)量框架軸的角位置；框架軸承組件的作用是與供電端軸承組件一起支承框架—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，使其得以旋轉(zhuǎn).

3.2　CMG框架系統(tǒng)設(shè)計(jì)

根據(jù)圖5所示CMG框架驅(qū)動(dòng)組件的結(jié)構(gòu)原理，可以得到框架伺服系統(tǒng)動(dòng)態(tài)電機(jī)數(shù)學(xué)模型：

以我院2017年2月-2018年2月內(nèi)收治的20例冷凝集素增高患者為實(shí)驗(yàn)研究對(duì)象,所有患者均存在血型鑒定和交叉配血不合問題,包括9例慢性肺心病患者、6例感染性心內(nèi)膜炎患者、5例腎病綜合征患者。20例患者中男性12人,女性8人,患者年齡18.5-84.3歲,平均(49.6±7.4)歲。

(6)

其中，R為電機(jī)繞組電阻，im為電機(jī)繞組電流，L為電機(jī)繞組電感，Ce為電機(jī)反電動(dòng)勢(shì)系數(shù)，Cl為電機(jī)力矩系數(shù).

將式(6)與(1)、(2)聯(lián)立即為采用諧波減速器的框架伺服系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型.

在MATLAB/Simulink軟件中搭建電機(jī)模型，將之前建立好的考慮傳動(dòng)誤差的諧波減速器模型封裝作為減速器模塊，建立完整的CMG框架驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)模型.

仿真所采用的CMG框架轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)是是一個(gè)轉(zhuǎn)速、位置、電流三閉環(huán)控制系統(tǒng)，采用從內(nèi)環(huán)到外環(huán)的設(shè)計(jì)方法，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖6所示.

圖6　CMG框架轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)Fig.6　Control diagram of CMG gimbal system

4　仿真結(jié)果

4.1　CMG框架驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)仿真

本文仿真主要數(shù)據(jù)如表2所示.

表2　CMG框架驅(qū)動(dòng)組件仿真參數(shù)Tab.2　Parameters of CMG gimbal system

因減速器存在著i=100的減速比，為模擬框架在低速時(shí)的轉(zhuǎn)速，設(shè)置電機(jī)輸出端轉(zhuǎn)速為10 rad/s，則通過減速器的理想輸出轉(zhuǎn)速為0.1 rad/s，此時(shí)CMG框架輸出轉(zhuǎn)速開環(huán)仿真曲線如圖7所示.

加入PID閉環(huán)控制后轉(zhuǎn)速輸出曲線如圖8所示.輸出轉(zhuǎn)速誤差降低了53.33%，得到了較好的抑制.

圖7　框架輸出轉(zhuǎn)速Fig.7　Output velocity of CMG gimbal system

圖8　加入PID控制后輸出轉(zhuǎn)速Fig.8　Output velocity of CMG gimbal system with PID control

4.2　諧波減速器剛度對(duì)框架驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)性能的影響

由已建立的CMG框架驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)模型研究剛度對(duì)框架驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)性能的影響，在低轉(zhuǎn)速下(電機(jī)輸出轉(zhuǎn)速n=10 rad/s)，分別設(shè)置剛度為k=2 000 N·m/rad,k=5 000 N·m/rad,k=10 000 N·m/rad,k=20 000 N·m/rad, 可以得到系統(tǒng)在不同剛度條件下的輸出轉(zhuǎn)速曲線，如圖9所示.

由圖9可以看出，隨著剛度的增加，輸出轉(zhuǎn)速曲線達(dá)到穩(wěn)定值的時(shí)間從剛度為2 000 N·m/rad時(shí)的0.6 s減小到剛度為20 000 N·m/rad時(shí)的0.2 s，輸出曲線的誤差從2 000 N·m/rad時(shí)的5.3%降低到剛度為20 000 N·m/rad時(shí)的3.1%.由此可以看出框架驅(qū)動(dòng)組件選用剛度值較大的諧波減速器，可以使輸出轉(zhuǎn)速更穩(wěn)定，精度更高.而在實(shí)際情況時(shí)，由于諧波減速器的特性，其剛度并不是一個(gè)恒定的值，低速時(shí)剛度較小，隨著速度的增加剛度會(huì)隨之增加，所以會(huì)出現(xiàn)在低速時(shí)框架伺服系統(tǒng)輸出轉(zhuǎn)速誤差較大的現(xiàn)象.

圖9　剛度對(duì)系統(tǒng)的影響Fig.9　Influence of stiffness on the system

圖10　阻尼對(duì)系統(tǒng)的影響Fig.10　Influence of damping on the system

4.3　諧波減速器阻尼對(duì)框架驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)性能的影響

由已建立的CMG框架驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)模型可以研究阻尼對(duì)框架驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)性能的影響，在低轉(zhuǎn)速下(取電機(jī)輸出轉(zhuǎn)速n=10 rad/s)，設(shè)置剛度為k=2 000 N·m/rad,k=10 000 N·m/rad,k=20 000 N·m/rad 3種情況，分別取阻尼c=0.1 N·s/m,c=2 N·s/m,c=5 N·s/m,可以得到系統(tǒng)在不同剛度情況下、取不同阻尼值時(shí)系統(tǒng)的輸出轉(zhuǎn)速曲線，如圖10所示.

從圖10可以看出，在諧波減速器剛度很大時(shí)，其阻尼對(duì)系統(tǒng)的影響可以忽略不計(jì)；隨著剛度的減小，阻尼對(duì)系統(tǒng)的影響逐漸增加；與此同時(shí)，在剛度為2 000 N·m/rad時(shí)，阻尼取0.1 N·s/m時(shí)誤差為2.3%，阻尼取5 N·s/m時(shí)誤差為5.3%，阻尼取5 N·s/m時(shí)誤差為8.7%，可以看出，隨著諧波減速器阻尼的增大，框架系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定后的誤差也會(huì)增加.

5　結(jié)　論

本文利用MATLAB/Simulink軟件建立了綜合考慮減速器齒隙、傳動(dòng)誤差、剛度、阻尼等因素的CMG框架伺服系統(tǒng)模型.采用PID閉環(huán)控制對(duì)低速下輸出轉(zhuǎn)速誤差進(jìn)行抑制，使輸出轉(zhuǎn)速誤差降低了53.33%.最后利用模型分析了諧波減速器剛度和阻尼對(duì)系統(tǒng)的影響：諧波減速器剛度高時(shí)輸出轉(zhuǎn)速更穩(wěn)定、精度更高；在剛度很大時(shí)，阻尼對(duì)系統(tǒng)的影響可以忽略，隨著剛度的降低，阻尼越大系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定后的誤差越大.