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    曹沖稱象與思維轉(zhuǎn)換

    2018-07-12 06:42:22王林戚婷婷
    關(guān)鍵詞:錢數(shù)每千克下山

    王林 戚婷婷

    小朋友,你聽過曹沖稱象的故事嗎?在曹沖五六歲的時候,有一天,孫權(quán)送來了一頭大象,曹操想知道這頭大象的質(zhì)量,可是沒有人能想出辦法,因為那時候沒有能稱大象的大秤。曹沖說他有辦法。他讓人把大象趕到船上,在船貼近水面的地方做上記號,然后把大象趕下船,往船上裝石頭,當(dāng)水面達到記號的時候,再稱船上這些石頭的質(zhì)量,這樣就知道大象的質(zhì)量了。曹沖在這里進行了“等量代換”,也就是進行了思維的轉(zhuǎn)換。

    其實,在解決數(shù)學(xué)問題時,也常常用到這種思維轉(zhuǎn)換。不信?你來看。

    例1.星期天,淘氣去爬山。他沿著一條長為12千米的路上山,然后原路返回。上山每小時走2千米,下山每小時走6千米。你知道淘氣在上下山過程中的平均速度嗎?

    [分析與解]看完題目,可能你會說,這有什么呀,誰不會呢,( 2+6)÷2,直接計算就可以了。果真如此嗎?不需要“思維轉(zhuǎn)換”嗎?如果你真的這樣想,就錯了。

    要解決的問題是“淘氣在上下山過程中的平均速度”,注意是“上下山全過程”,因此,應(yīng)該是上山和下山的總路程除以上山和下山所用的總時間。上、下山總路程為“12×2”千米,上山時間為“12÷2”小時,下山時間為“12÷6”小時。所以上下山過程中的平均速度為12×2÷(12÷2+12÷6) =3(千米/時)。

    例2.李老師買了3千克蘋果和5千克梨,共付款19元;張老師買了5千克蘋果和3千克梨,共付款21元。小朋友,你知道蘋果和梨每千克多少元嗎?

    [分析與解]觀察題目中的數(shù)據(jù),你是不是覺得挺簡單的?李老師買了蘋果和梨共8千克,張老師買了蘋果和梨也是共8千克,另外,兩位老師共買蘋果3+5=8(千克),共買梨也是5+3=8(千克),所以列算式( 19+21)÷2即可求出蘋果和梨的價錢了。怎么樣,是不是覺得自己這樣計算挺牛的呀?其實這樣計算是錯的。

    不妨把你的思維轉(zhuǎn)個彎,轉(zhuǎn)換一下。先把已知條件列出來:

    蘋果:3千克 梨:5千克 共19元

    蘋果:5千克 梨:3千克 共21元

    你會發(fā)現(xiàn),兩人所買的蘋果、梨的質(zhì)量不同,錢數(shù)也不相同。如果能讓蘋果的質(zhì)量或梨的質(zhì)量相同,這個問題是否更容易解決呢?當(dāng)然了,它們之間基本的數(shù)量關(guān)系是不能改變的。

    可以用“擴倍法”讓蘋果或梨的質(zhì)量相同。所謂的擴倍法就是把蘋果、梨和錢數(shù)擴大相同的倍數(shù)。

    方法1:把蘋果的質(zhì)量轉(zhuǎn)換成相同。

    把李老師買的水果質(zhì)量和錢數(shù)分別乘5,張老師買的水果質(zhì)量和錢數(shù)分別乘3,這樣兩位老師買的蘋果的質(zhì)量數(shù)就相同了,而不同的僅僅是梨的質(zhì)量數(shù)和錢數(shù)。

    蘋果:3×5千克 梨:5×5千克 共19×5元

    蘋果:5×3千克 梨:3×3千克 共21×3元

    通過觀察發(fā)現(xiàn):兩位老師付款的總錢數(shù)不同,這是因為兩人買的梨的質(zhì)量不同。每千克梨的價格為( 19×5-21×3)÷(5×5-3×3)=2(元),每千克蘋果的價格為( 19-2×5)÷3=3(元)。

    方法2:把梨的質(zhì)量數(shù)轉(zhuǎn)換成相同。

    把李老師買的水果質(zhì)量和錢數(shù)分別乘3,張老師買的水果質(zhì)量和錢數(shù)分別乘5,這樣兩位老師買的梨的質(zhì)量數(shù)就相同了。

    蘋果:3×3千克 梨:5×3千克 共19 ×3元

    蘋果:5×5千克 梨:3×5千克 共21 ×5元

    通過觀察發(fā)現(xiàn):兩位老師付款的總錢數(shù)不同,這是因為兩人買的蘋果的質(zhì)量不同。每千克蘋果的價格為( 21×5-19×3)÷(5×5-3×3) =3(元),每千克梨的價格為(19-3×3)÷5=2(元)。

    方法3:把兩位老師買的水果數(shù)和錢數(shù)分別加在一起,可知8千克蘋果和8千克梨共“19+21”元,所以1千克蘋果和1千克梨共(19+21)÷8=5(元)。

    3千克蘋果 5千克梨 共1 9元

    1千克蘋果 1千克梨 共5元

    小朋友,后面的計算你自己完成吧!怎么樣,有信心嗎?試試轉(zhuǎn)換思維呦!

    例3.一個正方形被分成了五個小長方形(如右圖),每個小長方形的周長都是48厘米,你知道這個正方形的周長是多少嗎?

    [分析與解]讀完題目,是不是有點兒郁悶?要求出正方形的周長,一般來說需要知道正方形的邊長??墒?,這里不僅不告訴這些條件,居然還把正方形分成了五個小長方形。好在告訴了每個小長方形的周長。不過,知道這些有什么用呢?

    你不妨轉(zhuǎn)換一下思維,很容易發(fā)現(xiàn)正方形與這五個小長方形之間的關(guān)系。小長方形的長與正方形的邊長相等,五個小長方形的寬之和與正方形的邊長相等,因此,小長方形的長是寬的5倍(想想為什么)。

    小長方形周長的一半(即一條長和一條寬)是48÷2=24(厘米)。把小長方形的寬看作1份,則長是5份,小長方形的寬是24÷(1+5)=4(厘米),長(即正方形的邊長)是4×5=20(厘米),所以正方形的周長是20×4=80(厘米)。

    思路一變天地寬。怎么樣,問題解決了吧!你想對了嗎?

    例4.把一塊長方形菜地分成4個小長方形(如右圖),已知長方形A的面積是15平方米,長方形B的面積是18平方米,長方形C的面積是30平方米,問長方形D的面積是多少平方米?

    [分析與解]題中要求“長方形D的面積是多少平方米”,可是長方形的長和寬一個都不知道。不要著急,你不是學(xué)會了“轉(zhuǎn)換思維”嗎?先不要忙著計算,咱們來玩?zhèn)€“假設(shè)游戲”,假設(shè)長方形A的長為a米,寬為6米(自己試著在圖形上標(biāo)出對應(yīng)的字母),則其面積為“a×b”平方米。同理,設(shè)長方形C的長為c米,寬為d米,則其面積為“c×d”平方米。同時可以發(fā)現(xiàn),長方形B的面積為“b×c”平方米。長方形D的面積為“a×d”平方米。如果把A和C兩個長方形的面積相乘,得到“A×C=a×b×c×d”平方米。同樣把B和D兩個長方形的面積相乘,得到“B×D=b×c×a×d”平方米。

    至此發(fā)現(xiàn):A和C兩個長方形的面積相乘=B和D兩個長方形的面積相乘。因此,長方形D的面積為15×30÷18=25(平方米)。

    怎么樣?有趣的問題是不是有趣地解決了呀?

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