斜拉橋鋼索模型的雙曲型偏微分方程數(shù)值解及Matlab實現(xiàn)

楊樹林

(中國石油大學勝利學院 教學科研處，山東 東營 257061)

斜拉橋在橋梁工程領域應用廣泛,越來越多地出現(xiàn)在江河之上,但仍有許多問題有待進一步探索。例如,斜拉橋常用張緊的鋼索來進行承載、運輸和牽引等作業(yè),而鋼索在運營過程中張力會發(fā)生改變,導致受力不均,從而影響整個斜拉橋的質(zhì)量。因此,對斜拉橋鋼索模型進行模擬,確定其主要影響因素,對于工程設施運行的安全和行人的人身安全至關重要。較之前人對斜拉橋鋼索模型進行的研究,筆者從弦振動的基本理論出發(fā)通過建立相應的雙曲型偏微分方程初邊值問題的新模型對斜拉橋鋼索問題進行深入探討。

1　模型假設

(1)假設斜拉橋鋼索的質(zhì)量均勻分布;

(2)假設斜拉橋鋼索上每一小段只有“橫振動”,即振動發(fā)生在一個平面內(nèi),且各點的運動方向垂直于平衡位置;

(3)假設斜拉橋鋼索振動的幅度及任意點切線的傾角都很小;

(4)假設斜拉橋鋼索的初始位移方程接近懸鏈線方程[1]。

2　模型建立

考慮到斜拉橋鋼索平衡時沿直線拉緊,除受不隨時間變化的張力和弦本身的重力作用外,不受其它外力影響[2],可得定解問題為

(1)

式中，弦上橫坐標為x的點在時刻t的振動位移為u,斜拉橋鋼索兩端分別固定在x=0及x=l處,q=H/ρg為懸鏈系數(shù),與斜拉橋本身的特質(zhì)有關,H為斜拉橋每一點處張力的水平分量[3]。

3　模型求解

用第n-1層,n層,n+1層的中心差商的加權(quán)平均去逼近uxx,得到逼近微分方程(1)的差分格式如下:

(2)

其中0≤θ≤1為參數(shù)[4]。

(3)

移項整理得

(4)

這是一個三層格式,先將其轉(zhuǎn)化成兩層差分方程組:

(5)

寫成矩陣形式:

(6)

(7)

即

(8)

整理得

(9)

過渡矩陣為

(10)

特征方程為

(11)

方程ρ2-2bρ+1=0的根按模不大于1的充要條件為|b|≤1。

將θ=0代入式(2),則

(12)

該式為顯式格式。此格式具有二階精度,截斷誤差為:

(13)

階為O(τ2+h2),在時間步長τ和空間步長h都趨于零時,差分方程的截斷誤差也趨于零, 差分格式(12)是相容的。

通過對穩(wěn)定性、相容性的討論知,差分格式(4)是收斂的,能夠通過該差分格式求得偏微分方程(1)的近似解,對式(4)結(jié)合相應的離散化的初邊值條件

(14)

可形成三對角方程組,采用追趕法求解[5]。

4　結(jié)果分析

利用Matlab語言對不同條件下的數(shù)值解進行求解[6],令q=100,通過對兩種方案——θ變化,網(wǎng)格比不變;θ不變,網(wǎng)格比改變的運行結(jié)果進行分析得出在一定范圍內(nèi),當網(wǎng)格比不變時,θ越小圖形越平緩,數(shù)值解誤差越小,模擬程度越好;當θ不變(即對于同一種差分格式),網(wǎng)格比增大時,數(shù)值解誤差增大,誤差階也增大,模擬度越低。如圖1和2的試驗結(jié)果所示。

圖1　θ變化,網(wǎng)格比不變的運行結(jié)果

圖2　θ不變,網(wǎng)格比改變的運行結(jié)果

5　結(jié)束語

從弦振動的基本理論出發(fā),研究了斜拉橋鋼索問題,在對斜拉橋鋼索進行適當假設的基礎上,導出了其不受外力作用時的振動方程,并用分離變量法求出了其滿足定解條件的精確解,討論了固有值λ<0、λ=0和λ>0三種情況下,固有值常微分方程問題的通解。對弦振動方程而言,當方程與邊界條件均為齊次時,不管初始條件如何,可直接用分離變量法求解,并運用matlab語言對差分方程的數(shù)值解進行分析,最后通過將不同條件下的數(shù)值解進行比較確定該模型的模擬程度。在一定范圍內(nèi)當網(wǎng)格比不變時,θ減小時,數(shù)值解誤差減小;當θ不變(即對于同一種差分格式),網(wǎng)格比增大時,數(shù)值解誤差增大,誤差階也增大。該模型為模擬斜拉橋鋼索模型提供了一種較為合理的方法,能夠廣泛應用于實際生產(chǎn)生活的各個領域,如彈性桿的縱振動、管道中氣體小擾動的傳播、空中纜車鋼索問題等,借助于matlab軟件進行數(shù)據(jù)擬合,繪出的圖像能夠更好地驗證數(shù)值求解結(jié)果的正確性。