輪軌幾何接觸點(diǎn)的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)快速計(jì)算方法

楊 光 ，楊 岳，易 兵，劉文龍，吳永軍

（中南大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410075）

車輪踏面與鋼軌的接觸點(diǎn)計(jì)算是研究輪軌關(guān)系的基礎(chǔ)，是評(píng)價(jià)輪軌接觸性能的一個(gè)重要指標(biāo)。跡線法[1]是計(jì)算輪軌接觸點(diǎn)的經(jīng)典方法，并隨著部分學(xué)者對(duì)其進(jìn)行不斷地改進(jìn)[2-3]，現(xiàn)已成為計(jì)算精度高、公式推導(dǎo)完備的成熟算法。當(dāng)運(yùn)用該方法求解輪軌接觸點(diǎn)時(shí)，需首先對(duì)鋼軌廓形進(jìn)行樣條曲線擬合，再進(jìn)行復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算，過(guò)程較為繁瑣。針對(duì)這一弊端，本文利用三層前饋反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)不同廓形條件下輪軌接觸點(diǎn)的快速計(jì)算。采用NURBS方法進(jìn)行鋼軌廓形的參數(shù)化建模，通過(guò)權(quán)因子修改對(duì)鋼軌廓形精確調(diào)整。在此基礎(chǔ)上，構(gòu)建輪軌幾何接觸點(diǎn)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，結(jié)合跡線法對(duì)不同廓形條件下的輪軌幾何接觸點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，得到鋼軌廓形與接觸點(diǎn)關(guān)系的樣本。對(duì)所搭建的輪軌幾何接觸點(diǎn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，獲得的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可實(shí)現(xiàn)不同鋼軌廓形下輪軌接觸點(diǎn)的快速計(jì)算。

1 鋼軌廓形的參數(shù)化建模

1.1 NURBS曲線定義

一條p次NURBS曲線[4]的定義為：

其中，di(i=0, 1, …, n)為控制頂點(diǎn)，將其順序相連即可構(gòu)成控制多邊形；wi(i=0, 1, …, n)為權(quán)因子；Ni,p(u)為定義在非周期（且非均勻）的節(jié)點(diǎn)矢量U上的p次規(guī)范B樣條基函數(shù)，并且：

當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)為m+1，控制點(diǎn)個(gè)數(shù)為n+1，冪次為p時(shí)，m、n、p三者的關(guān)系為m=n+p+1。在實(shí)際應(yīng)用中，一般取a=0，b=1，故曲線的定義域?yàn)閡∈[up,un+1]=[0, 1]，并且對(duì)所有的i，都有wi＞0。若令：

那么，式（1）則可改寫為：

在此，將Ri,p(u)稱為有理基函數(shù)，即u∈[0, 1]上的分段有理函數(shù)。

1.2 鋼軌廓形的參數(shù)化建模

通常，三次NURBS曲線即可滿足工程應(yīng)用的需求。根據(jù)上述曲線建模理論，以CHN60鋼軌為實(shí)例，利用三次NURBS曲線對(duì)鋼軌廓形進(jìn)行參數(shù)化表示。按圖1所示，以鋼軌軌頂中心為原點(diǎn)，以水平方向作為橫軸，垂直方向作為縱軸建立二維參數(shù)化建模坐標(biāo)系。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)CHN60鋼軌廓形

標(biāo)準(zhǔn)鋼軌廓形上任意的型值點(diǎn)坐標(biāo)均可通過(guò)數(shù)值計(jì)算的方法得到。在此，以等間距取點(diǎn)的方法在鋼軌廓形上選擇17個(gè)點(diǎn)作為NURBS曲線的型值點(diǎn)，具體數(shù)值如下：

得到鋼軌廓形的型值點(diǎn)后，可采用累積弦長(zhǎng)參數(shù)法計(jì)算曲線的節(jié)點(diǎn)矢量，其節(jié)點(diǎn)矢量U滿足：

通過(guò)該組型值點(diǎn)的NURBS曲線控制點(diǎn)可由NURBS曲線插值法反求得到[5]。經(jīng)反算，鋼軌廓形三次NURBS曲線的19個(gè)控制點(diǎn)坐標(biāo)如下：

預(yù)設(shè)各控制點(diǎn)處的NURBS曲線權(quán)因子wi=1（i=0, 1, …, 19）。根據(jù)NURBS曲線的定義，在得到節(jié)點(diǎn)矢量U、控制點(diǎn)d和對(duì)應(yīng)的權(quán)因子w后，即可實(shí)現(xiàn)鋼軌廓形的參數(shù)化表示，其建模效果如圖2所示,其中折線為由NURBS控制點(diǎn)所構(gòu)成的控制多邊形,光滑曲線為基于NURBS的參數(shù)化鋼軌廓形曲線。

圖2 鋼軌廓形的參數(shù)化表示

需要對(duì)鋼軌廓形進(jìn)行微調(diào)時(shí)，可采用修改相應(yīng)控制點(diǎn)權(quán)因子的方法對(duì)NURBS曲線進(jìn)行調(diào)整。根據(jù)最優(yōu)拉丁超立方抽樣方法，將NURBS曲線控制點(diǎn)權(quán)因子wi的變化區(qū)間設(shè)定為[0,2][6]。具體調(diào)整方法可參考文獻(xiàn)[7]，在此不再贅述。

2 基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輪軌幾何接觸點(diǎn)計(jì)算

2.1 輪軌幾何接觸點(diǎn)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

BP人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種模仿人類大腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及功能的信息處理模型，其訓(xùn)練方式為誤差反向傳播，以均方誤差最小為目標(biāo)不斷修改權(quán)重和閾值[8-9]。為了實(shí)現(xiàn)不同廓形下輪軌接觸點(diǎn)的快速計(jì)算，搭建如圖3所示的三層前饋反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

圖3 輪軌幾何接觸點(diǎn)的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

將控制鋼軌廓形的19個(gè)權(quán)因子作為輸入層的神經(jīng)元P={p1, p2, p3, … , p18, p19}。設(shè)定隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)為13個(gè)，即S = {s1, s2, s3, …, s12, s13}，每個(gè)神經(jīng)元的閾值為(k=1, 2, …, 13)。設(shè)定輪對(duì)橫移量的取值范圍為–12～12 mm內(nèi)的整數(shù)，并將通過(guò)跡線法計(jì)算出的輪軌幾何接觸點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)作為輸出層神經(jīng)元A = {a1, a2, a3, …, a24, a25}，每個(gè)神經(jīng)元的閾值為(j=1, 2,…, 25)。在輪軌幾何接觸點(diǎn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，層與層之間的聯(lián)系，是由相應(yīng)的連接權(quán)值W及激發(fā)函數(shù)f進(jìn)行控制的。用，i表示輸入層第i個(gè)神經(jīng)元pi與隱含層第k個(gè)神經(jīng)元sk之間的連接權(quán)值；用，k表示隱含層第k個(gè)神經(jīng)元sk與輸出層第j個(gè)神經(jīng)元aj之間的連接權(quán)值。其中，∈[–1, 1]。設(shè)定隱含層激發(fā)函數(shù)為S型曲線傳遞函數(shù)，輸出層激發(fā)函數(shù)為線性傳遞函數(shù)，即：

在輪軌幾何接觸點(diǎn)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，后一層神經(jīng)元的輸出值均是通過(guò)對(duì)上一層輸入的每個(gè)神經(jīng)元的值進(jìn)行加權(quán)求和后，結(jié)合閾值與激發(fā)函數(shù)后得到的。那么，輸出層第j個(gè)神經(jīng)元的輸出值可以表示為：

2.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練算法

輪軌幾何接觸點(diǎn)的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建完成后，還需結(jié)合輪軌幾何接觸點(diǎn)樣本對(duì)各連接權(quán)值W和閾值b進(jìn)行訓(xùn)練。首先對(duì)W和b在其定義域[–1, 1]內(nèi)進(jìn)行隨機(jī)賦值，即實(shí)現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始化，再將規(guī)模為m的訓(xùn)練樣本輸入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。在訓(xùn)練過(guò)程中，應(yīng)對(duì)輸出層輸出的輪軌接觸點(diǎn)a，與期望輸出的輪軌接觸點(diǎn)r進(jìn)行比較，并計(jì)算全局誤差：

若計(jì)算出的全局誤差E不滿足許用誤差ε的要求，則從輸出層開始以梯度下降的方式反向調(diào)整權(quán)值，其調(diào)整公式如下：

其中，為全局誤差函數(shù)對(duì)輸出層與隱含層連接權(quán)重，k的偏導(dǎo)數(shù)；為全局誤差函數(shù)對(duì)隱含層與輸入層連接權(quán)重，i的偏導(dǎo)數(shù)。

通過(guò)上述方法即可實(shí)現(xiàn)對(duì)各層連接權(quán)重W的不斷修正，當(dāng)全局誤差E收斂于許用誤差ε的要求時(shí)，完成BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練。輪軌接觸點(diǎn)計(jì)算的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練流程可歸納 ，如圖4所示。

圖4 輪軌接觸點(diǎn)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練

3 計(jì)算實(shí)例與結(jié)果分析

3.1 網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練情況

設(shè)定左右車輪內(nèi)側(cè)距為1 353 mm，軌距為1 435 mm，軌底坡和搖頭角均為0，輪對(duì)為標(biāo)準(zhǔn)LMA型車輪踏面，輪對(duì)橫移量l的取值為–12～12 mm內(nèi)的整數(shù)。在[0, 2]內(nèi)隨機(jī)調(diào)節(jié)19個(gè)NURBS曲線權(quán)因子的值，即可得到多組不同的鋼軌廓形曲線。不同廓形在橫移量范圍內(nèi)的輪軌接觸點(diǎn)位置均可以由跡線法計(jì)算得到。

為了實(shí)現(xiàn)輪軌接觸點(diǎn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的良好訓(xùn)練，構(gòu)造了2 000組不同廓形下的輪軌幾何接觸點(diǎn)分布情況作為訓(xùn)練樣本。其中，90%的樣本用于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練，5%的樣本作為驗(yàn)證，另外5%的樣本僅用于對(duì)所訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)的性能進(jìn)行獨(dú)立測(cè)試，不影響訓(xùn)練過(guò)程。選用MATLAB 2012b軟件作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的實(shí)現(xiàn)平臺(tái)，PC計(jì)算機(jī)CPU為Intel(R) Pentium(R)Dual CPU E2220 @2.40 GHZ。在訓(xùn)練過(guò)程中，均方誤差隨迭代次數(shù)的增加而呈下降趨勢(shì)。并且在第102次迭代時(shí)均方誤差達(dá)到收斂，在迭第96次迭代時(shí)均方誤差最小，約為4.57，訓(xùn)練收斂速度快。

在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練完成后，需要用驗(yàn)證組樣本來(lái)進(jìn)行擬合優(yōu)度的檢驗(yàn)。其中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出值與目標(biāo)值間的相關(guān)性可通過(guò)二者的相關(guān)系數(shù)R進(jìn)行判斷，R越接近于1，表示二者相關(guān)性越強(qiáng)，差距越小。經(jīng)計(jì)算，本文構(gòu)建并訓(xùn)練的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.988 49，十分接近1，擬合效果理想。

3.2 計(jì)算實(shí)例及分析

為了更加直觀地對(duì)輪軌幾何接觸點(diǎn)在不同橫移量條件下的預(yù)測(cè)效果進(jìn)行評(píng)價(jià)，另取一組未參與網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練及驗(yàn)證的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算的精度分析。所選取實(shí)例的輸入權(quán)因子向量為：

在上文所設(shè)定的工況下，基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輪軌幾何接觸點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果見圖5a，根據(jù)跡線法計(jì)算所得到的輪軌幾何接觸點(diǎn)分布情況見圖5b。

圖5中，輪軌間的連線代表了某一橫移量下車輪踏面和鋼軌廓形的接觸位置。為了對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行深入的誤差分析，表1列出了部分橫移量條件下，兩種方法在鋼軌廓形上的接觸點(diǎn)計(jì)算結(jié)果對(duì)比。

根據(jù)表1和圖5，當(dāng)橫移量在–12～5 mm和9～12 mm的范圍內(nèi)時(shí)，本文所構(gòu)建的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法與跡線法所得到的結(jié)果十分近似，平均誤差為0.168 3 mm。由于輪軌外形特征，當(dāng)橫移量在5～9 mm時(shí)接觸點(diǎn)對(duì)在輪軌型面上的分布間隔距離較遠(yuǎn)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算所得結(jié)果與跡線法結(jié)果相比平均誤差稍大，約為0.470 5 mm。該組樣本總體預(yù)測(cè)結(jié)果的平均誤差約為0.232 5 mm，總體預(yù)測(cè)效果良好，能夠滿足工程實(shí)踐要求。另外，針對(duì)上述實(shí)例，跡線法的計(jì)算時(shí)長(zhǎng)為14.331 2 s，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法的計(jì)算時(shí)長(zhǎng)為2.148 1 s。采用本文所提出的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法能夠?qū)⒂?jì)算時(shí)長(zhǎng)縮短約7倍，明顯提升輪軌接觸點(diǎn)計(jì)算的效率。

圖5 輪軌接觸點(diǎn)位置分布對(duì)比

表1 輪軌接觸點(diǎn)計(jì)算結(jié)果對(duì)比

4 結(jié)束語(yǔ)

本文建立了一個(gè)用于計(jì)算輪軌幾何接觸點(diǎn)的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，測(cè)試樣本的網(wǎng)絡(luò)輸出值與目標(biāo)值的相關(guān)系數(shù)為0.988 49，表明所建立的模型是可靠的。將一組未參與訓(xùn)練及驗(yàn)證的權(quán)因子樣本數(shù)據(jù)輸入訓(xùn)練后的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，其結(jié)果與通過(guò)跡線法計(jì)算所得結(jié)果的總體平均誤差為0.232 5 mm，預(yù)測(cè)精度高。另外，相較于跡線法，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的計(jì)算時(shí)長(zhǎng)縮短約7倍，有效提升輪軌接觸點(diǎn)的計(jì)算效率。

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