基于LDPC碼的聯(lián)合半盲均衡與解碼研究

李 程，黎 勇

(重慶郵電大學(xué) 重慶市移動(dòng)通信技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400065)

0 引 言

隨著無(wú)線通信技術(shù)的高速發(fā)展，人們對(duì)通信質(zhì)量的要求也越來(lái)越高。不同于有線信道，無(wú)線信道中存在各種各樣的障礙物，導(dǎo)致接收信號(hào)由大量經(jīng)歷了不同傳播路徑的信號(hào)疊加而成，從而會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的符號(hào)間干擾(inter-symbol interference，ISI)。

為克服ISI，在接收端一般通過(guò)均衡器來(lái)校正或補(bǔ)償系統(tǒng)特性。均衡技術(shù)依據(jù)是否利用訓(xùn)練序列分為盲均衡方法和半盲均衡方法。盲均衡不需要利用訓(xùn)練序列來(lái)對(duì)信道進(jìn)行均衡，大大提高了有效數(shù)據(jù)的傳輸效率，主要利用發(fā)射信號(hào)的先驗(yàn)信息，如統(tǒng)計(jì)特征或概率分布和信道的輸出序列來(lái)對(duì)均衡器的參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，從而達(dá)到均衡目的，但盲均衡往往存在相位模糊問(wèn)題，且復(fù)雜度也較高。在實(shí)際中應(yīng)用最多的是半盲均衡方法，通過(guò)發(fā)送少量的導(dǎo)頻符號(hào)，從而獲得比盲均衡方法更優(yōu)的性能。

在現(xiàn)代通信系統(tǒng)中，信道編碼是實(shí)現(xiàn)信息可靠性傳輸?shù)闹匾夹g(shù)之一，它能夠在信息傳輸發(fā)生錯(cuò)誤后通過(guò)一定的規(guī)則進(jìn)行檢測(cè)和糾正。低密度奇偶校驗(yàn)(low density parity check，LDPC)碼是一類具有逼近香農(nóng)極限的線性糾錯(cuò)碼，具有良好的距離特性，較低的譯碼復(fù)雜度，并且可以并行譯碼,在實(shí)際應(yīng)用中較廣泛[1]。

近年來(lái)，基于優(yōu)化理論的線性規(guī)劃方法成為通信領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，文獻(xiàn)[2-8]基于線性規(guī)劃方法對(duì)通信技術(shù)的基本問(wèn)題進(jìn)行了研究，并取得了一系列成果。ZhiDing等[2]提出了一種快速盲均衡算法，以較短的均衡器長(zhǎng)度即可實(shí)現(xiàn)快速收斂，該算法的提出為均衡技術(shù)提供了新的設(shè)計(jì)思路，為后續(xù)的優(yōu)化算法奠定了理論基礎(chǔ)。2005年，J. Feldman等[3-4]利用線性規(guī)劃松弛，對(duì)LDPC碼的最大似然(maximum likelihood，ML)譯碼進(jìn)行近似求解，提出了線性規(guī)劃(linear programming，LP)譯碼算法。與原始譯碼算法相比，LP譯碼算法實(shí)現(xiàn)將GF(2)上的校驗(yàn)方程轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)域的約束條件，極大提高了平均譯碼效率。LP譯碼的諸多優(yōu)點(diǎn)促使人們對(duì)其做更多的研究，許多改進(jìn)的自適應(yīng)線性規(guī)劃(adaptive linear programming，ALP)譯碼算法[5-6]相繼被提出。

由于無(wú)線信道的信道衰落和噪聲的存在，使得信息傳輸過(guò)程變得不可靠。為保證信息盡可能正確傳輸，逐步提出了將信道均衡和譯碼相結(jié)合的聯(lián)合均衡與譯碼技術(shù)。如何選用合適的均衡技術(shù)，并將信道均衡與譯碼技術(shù)有機(jī)結(jié)合，對(duì)提高系統(tǒng)的整體性能有著重要的影響。文獻(xiàn)[7-8]中提出了基于線性規(guī)劃的聯(lián)合半盲均衡與譯碼技術(shù)，只需依賴少量的導(dǎo)頻符號(hào)，便能極大提高均衡的性能。在本文中，將在不損失系統(tǒng)性能的前提下，進(jìn)一步減少其復(fù)雜度。

1 基于線性規(guī)劃的半盲均衡算法

本文主要研究了ISI信道下的均衡技術(shù)，系統(tǒng)模型如圖1所示。二進(jìn)制信息序列f經(jīng)過(guò)LDPC編碼器得到碼字c，調(diào)制器將編碼器輸出映射到信號(hào)星座圖對(duì)應(yīng)序列s。調(diào)制符號(hào)s添加導(dǎo)頻p后經(jīng)過(guò)ISI信道傳輸。發(fā)送信號(hào)x受到加性高斯白噪聲w的影響，接收信號(hào)y首先由均衡器進(jìn)行處理，然后譯碼器對(duì)均衡器的輸出序列z進(jìn)行譯碼，最終在接收端恢復(fù)出原發(fā)送二進(jìn)制信息序列。為了加強(qiáng)理論分析，定義發(fā)送信號(hào)中導(dǎo)頻和數(shù)據(jù)符號(hào)的長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)p和Ld，對(duì)應(yīng)下標(biāo)集合為Ip和Id。

圖1 通信模型Fig.1 Communication system model

(1)

ISI信道的輸入信號(hào)x[i]與輸出信號(hào)y[i]的關(guān)系可表示為

(2)

(2)式中,h[k]是信道沖擊響應(yīng)，信道的長(zhǎng)度為u+1。由于信道的非理想特性，在接收端會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的碼間串?dāng)_。

線性均衡器是由一個(gè)線性橫向?yàn)V波器構(gòu)成，作用于接收信號(hào)，目的是將信道與均衡器的整體系統(tǒng)等效成一個(gè)單位沖擊響應(yīng)系統(tǒng)，從而消除碼間串?dāng)_。定義均衡器抽頭系數(shù)構(gòu)成的向量為

θ=[θ-Le…θ0…θLe]

(3)

(3)式中，2Le+1為均衡器長(zhǎng)度。那么均衡器輸出序列表示為

(4)

在理想的條件下，即信道不存在噪聲，若均衡器能夠完全分離出輸入信號(hào)，則信道與均衡器必須滿足

(5)

將線性規(guī)劃的研究成果引入到通信系統(tǒng)中，為均衡技術(shù)的發(fā)展提供了新的思路。文獻(xiàn)[7]提出了基于線性規(guī)劃的聯(lián)合半盲均衡與譯碼算法，其原理是構(gòu)造一個(gè)凸代價(jià)函數(shù)，在均衡器參數(shù)的線性約束條件下，通過(guò)對(duì)均衡器系數(shù)尋優(yōu)從而達(dá)到最佳均衡的目的。接下來(lái)主要分析該均衡器線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型。

1.1 導(dǎo)頻符號(hào)的約束條件

均衡器的目的就是保證發(fā)送信號(hào)和均衡器輸出序列之間最佳匹配。利用發(fā)射端和接收端都已知的訓(xùn)練序列，使用l1準(zhǔn)則讓線性濾波器的輸出導(dǎo)頻信號(hào)和發(fā)送的導(dǎo)頻信號(hào)之間的誤差最小。于是針對(duì)導(dǎo)頻符號(hào)的線性不等式約束為

(6)

1.2 數(shù)據(jù)符號(hào)的約束條件

在實(shí)際的數(shù)字調(diào)制系統(tǒng)中，調(diào)制符號(hào)是屬于一個(gè)有限字符集，這一特性已被現(xiàn)有的優(yōu)化算法利用來(lái)恢復(fù)發(fā)送序列。文獻(xiàn)[2]提出了一種基于全局收斂凸函數(shù)的盲均衡算法，其物理意義在于使均衡器輸出數(shù)據(jù)序列的實(shí)部與虛部絕對(duì)值之和最小，具體證明過(guò)程詳見(jiàn)文獻(xiàn)[2]。于是針對(duì)數(shù)據(jù)符號(hào)的線性不等式約束為

(7)

1.3 LDPC碼的碼字約束條件

當(dāng)受到噪聲影響時(shí)，均衡器輸出符號(hào)距離星座圖中的點(diǎn)足夠近，其歐式距離最小的譯碼結(jié)果存在不滿足LDPC碼字約束的情況。因此，文獻(xiàn)[7]引入了文獻(xiàn)[5]提出ALP譯碼算法。該譯碼算法通過(guò)迭代地添加不被滿足的奇偶校驗(yàn)不等式，以較少的有效約束就能達(dá)到與原LP譯碼算法[3-4]相同的性能，具體的算法流程和原理詳見(jiàn)文獻(xiàn)[5]。調(diào)制符號(hào)與碼字比特流對(duì)應(yīng)的線性關(guān)系式見(jiàn)(1)式，通過(guò)引入松弛的LDPC碼字不等式約束[5]，則針對(duì)高階QAM調(diào)制下的聯(lián)合檢測(cè)與譯碼引入的碼字約束不等式為

(8)

(8)式中：Nr是LDPC碼校驗(yàn)矩陣第r行為1的列下標(biāo)集合，F(xiàn)?Nr,且|F|是奇數(shù)。綜上所述，得到均衡器LP模型為

(9)

為了方便討論，定義該算法為聯(lián)合半盲均衡與譯碼(joint semi-blind equalization and decoding algorithm，JSBED)算法。設(shè)碼長(zhǎng)為L(zhǎng)，均衡器的系數(shù)引入的變量數(shù)目為4Le+2；由導(dǎo)頻符號(hào)的不等式約束(6)引入的變量數(shù)目為2Lp；數(shù)據(jù)符號(hào)的不等式約束(7)引入的變量數(shù)目為2；碼字約束不等式(8)引入的變量數(shù)目是L+2Ld+16Ld。綜上，該線性方程具有2Lp+2Ld+L+16Ld+4Le+4個(gè)變量。在該LP模型中，每一個(gè)導(dǎo)頻與數(shù)據(jù)符號(hào)對(duì)應(yīng)產(chǎn)生4個(gè)約束不等式，由于在該方案中自適應(yīng)添加碼字約束，則不計(jì)入自適應(yīng)添加的約束不等式(見(jiàn)(8)式中第4個(gè)不等式)的條件下，至少有4Lp+4Ld+9Ld+2L個(gè)約束不等式。

為提升系統(tǒng)整體性能，在均衡器輸出端再進(jìn)行一次基于和積算法(sum product algorithm，SPA )迭代譯碼處理。SPA基于LDPC碼字比特之間的奇偶校驗(yàn)關(guān)系，利用置信傳播迭代計(jì)算碼字比特錯(cuò)誤的概率，迭代更新因子圖中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)的概率信息。SPA譯碼算法需利用均衡器輸出符號(hào)的對(duì)數(shù)似然比，其計(jì)算式為

(10)

2 簡(jiǎn)化的半盲均衡算法

通過(guò)對(duì)算法JSBED的分析，自適應(yīng)添加的碼字約束由于引入了大量的輔助變量，極大地增加了約束方程與未知變量的數(shù)量。受文獻(xiàn)[7]的啟發(fā)，本節(jié)將對(duì)其代價(jià)函數(shù)與約束條件進(jìn)行優(yōu)化。由于JSBED先要對(duì)均衡器的輸出序列映射到對(duì)應(yīng)比特流，再通過(guò)碼字約束不等式檢驗(yàn)比特流的合法性。為簡(jiǎn)化該過(guò)程，我們嘗試去除譯碼約束得到新的半盲均衡算法，其LP數(shù)學(xué)模型為

(11)

定義優(yōu)化后的均衡算法為新半盲均衡(new semi-blind equalization，NSEB)算法。由于該算法僅包含導(dǎo)頻與數(shù)據(jù)符號(hào)的不等式約束，則優(yōu)化算法包含的總未知變量數(shù)量為2Lp+4Le+4，約束不等式的數(shù)量?jī)H為4(Lp+Ld)。新的代價(jià)函數(shù)在導(dǎo)頻符號(hào)與數(shù)據(jù)符號(hào)的不等式約束下，將具有較少的未知變量和約束方程，明顯降低了均衡復(fù)雜度，且均衡性能得到極大改善。仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比2種算法的結(jié)果將驗(yàn)證該方法的有效性。

優(yōu)化算法NSEB相對(duì)于現(xiàn)有算法JSBED，僅僅去除了LDPC碼的LP譯碼約束，但是其均衡性能并未損失，接下來(lái)主要分析造成這種現(xiàn)象的原因。對(duì)于高階QAM調(diào)制，需引入輔助變量將碼字比特線性映射到信號(hào)星座圖上。JSBED為了引入碼字約束，須將均衡器輸出序列映射為二進(jìn)制比特流，故線性規(guī)劃方程添加調(diào)制映射關(guān)系式(1)。那么該算法既可以直接根據(jù)最小歐式距離準(zhǔn)則對(duì)均衡器輸出序列進(jìn)行硬判決譯碼，又可以根據(jù)輔助變量與碼字比特的對(duì)應(yīng)關(guān)系譯碼。若算法JSBED設(shè)計(jì)的合理，以上2種譯碼方式結(jié)果應(yīng)該保持一致，即星座圖上距離均衡器輸出z最近的星座點(diǎn)與概率取值最大的星座點(diǎn)(對(duì)應(yīng)于均衡器輸出的輔助變量)相同。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，這2種譯碼方式會(huì)出現(xiàn)結(jié)果不一致的現(xiàn)象。例如：均衡器輸出為(-0.948 683,-0.464 375)，對(duì)應(yīng)輔助變量為 (0.744 747, 0, 0.255 253, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)。很明顯，星座圖中與均衡器的輸出z歐式距離最近的星座點(diǎn)為(-0.948 7,-0.316 2)(此為歸一化的星座點(diǎn))，而星座圖中輸出概率最大的星座點(diǎn)為(-0.948 7,-0.948 7)，前者譯碼結(jié)果為0001，后者譯碼結(jié)果為0000。

在JSBED算法中，線性調(diào)制關(guān)系式(1)引入了大量的未知變量，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了約束方程的個(gè)數(shù)。由于噪聲的干擾，均衡器輸出并非匹配星座圖中各點(diǎn)，那么在解調(diào)時(shí)滿足約束方程的解有多組，而對(duì)應(yīng)的調(diào)制關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的，這種不匹配會(huì)導(dǎo)致碼字約束出現(xiàn)誤碼。自適應(yīng)添加不被滿足的約束條件不僅僅只對(duì)碼字比特進(jìn)行奇偶校驗(yàn)，同時(shí)也對(duì)均衡器的抽頭系數(shù)進(jìn)行約束，使代價(jià)函數(shù)最小的解是兩者約束的協(xié)調(diào)，進(jìn)一步導(dǎo)致誤碼率增加。若添加的碼字約束能使均衡與譯碼相互約束和調(diào)整，還需研究新的高階線性調(diào)制關(guān)系式及LP譯碼算法。

3 仿真結(jié)果與結(jié)論

3.1 仿真參數(shù)說(shuō)明與結(jié)果

對(duì)比分析以上2種算法的性能，仿真參數(shù)說(shuō)明如下：仿真以碼率為1/2，碼長(zhǎng)分別為256和512比特的規(guī)則LDPC碼，信道的沖擊響應(yīng)為(0.812 4,0.000),(0.406 2,-0.243 7),(0.130,-0.243 7),(-0.008 1,0.160 9),(-0.052 3,-0.078),(-0.049 6,-0.023 3),(-0.031 8,0.003 2),(-0.014 9,0.011 1),(-0.004 1,0.010),(0.001,0.006 3),(0.002 4,0.002 8),(0.002,0.000 7),(0.001 2,-0.000 3),(0.000 5,-0.000 5),(0.000 1,-0.000 4),(-0.000 1,-0.000 2),(-0.000 1,-0.000 1),(-0.000 1,-0.0)導(dǎo)頻的長(zhǎng)度Lp=8，均衡器長(zhǎng)度2Le+1=5。

為有效觀察本文討論的算法的性能，作出誤碼率隨信噪比變化的曲線，如圖2所示，其復(fù)雜度分析如表1所示。其中，將JSBED算法與SPA算法結(jié)合，仿真結(jié)果定義為JSBED+SPA；將NSEB算法與SPA算法結(jié)合，仿真結(jié)果定義為NSEB+SPA。

圖2 碼長(zhǎng)分別為256，512碼率1/2，NSEB與JSBED算法的BER曲線Fig.2 BER performance of the NSEB and JSBED algorithms for the length 256 and 512，rate1/2

表1 算法NSEB+SPA與算法JSBED+SPA復(fù)雜度分析Tab.1 Complexity of the NSEB+SPA and JSBED+SPA

3.2 仿真結(jié)果分析與結(jié)論

由圖2可知，當(dāng)碼長(zhǎng)為256時(shí)，優(yōu)化算法的性能在小范圍內(nèi)略有改善；而當(dāng)碼長(zhǎng)為512時(shí)，信噪比在9～16 dB時(shí)，NSEB相對(duì)JSBED有3 dB以上增益，且前者在信噪比為16 dB時(shí)，誤比特率已達(dá)到10-5，而后者僅為10-3。根據(jù)表1提供的數(shù)據(jù)表明，在相同碼長(zhǎng)的條件下，使用同樣數(shù)目的導(dǎo)頻，優(yōu)化算法NSEB與JSBED算法相比，極大地減少了LP均衡算法的條件變量和約束不等式的數(shù)目，降低了運(yùn)算的復(fù)雜度。

針對(duì)文獻(xiàn)[7]中提出的聯(lián)合半盲均衡與譯碼算法，本文在分析其不足的基礎(chǔ)上提出了一種改進(jìn)算法，在改善性能的同時(shí)，減少了約束方程和未知變量的數(shù)量，從而極大地降低了聯(lián)合半盲均衡與譯碼算法的復(fù)雜度。這一算法思想還可以推廣到LDPC編碼的系統(tǒng)中。

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