旋轉(zhuǎn)對(duì)數(shù)曲面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)受力性能及其穩(wěn)定性分析

謝思路，鹿曉陽

（1.山東建筑大學(xué) 土木工程學(xué)院，山東 濟(jì)南250101；2.山東建筑大學(xué) 工程力學(xué)研究所，山東 濟(jì)南250101）

0 引言

網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)以其造型新穎美觀、力流均勻、受力合理，在空間結(jié)構(gòu)領(lǐng)域越來越受到人們的青睞，其應(yīng)用范圍已經(jīng)擴(kuò)展到大型體育場(chǎng)館、會(huì)展中心、候機(jī)大廳、影劇院、大型商場(chǎng)等標(biāo)志性大空間建筑結(jié)構(gòu)。對(duì)于球面網(wǎng)殼、圓柱面網(wǎng)殼、拋物面網(wǎng)殼等傳統(tǒng)網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)形式，其受力性能研究已經(jīng)比較成熟，有關(guān)分析策略、思路及實(shí)施方法，很多學(xué)者均進(jìn)行了深入研究和探討［1-3］。隨著網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)在國(guó)內(nèi)外的迅速發(fā)展、計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步和人們審美水平的提高，對(duì)其結(jié)構(gòu)形式提出了更高的要求，多種新型網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)形式不斷涌現(xiàn)。賀擁軍等將倒懸鏈結(jié)構(gòu)應(yīng)用于叉筒網(wǎng)殼和圓柱面網(wǎng)殼，提出一種新的結(jié)構(gòu)形式—旋轉(zhuǎn)正弦曲面單層網(wǎng)殼，并對(duì)其進(jìn)行了靜力分析［4-6］。

函數(shù)曲面網(wǎng)殼的發(fā)展使得網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)更具有空間想象力［6］，且對(duì)于一些新型旋轉(zhuǎn)網(wǎng)殼的研究還不夠系統(tǒng)全面，其研究與發(fā)展具有較大的潛力。文章提出一種新的結(jié)構(gòu)形式—旋轉(zhuǎn)對(duì)數(shù)曲面網(wǎng)殼，即以對(duì)數(shù)曲線為母線繞以定軸旋轉(zhuǎn)形成，應(yīng)用參數(shù)化設(shè)計(jì)語言 APDL（Ansys Parametric Design Language），編制了4種基本形式旋轉(zhuǎn)對(duì)數(shù)網(wǎng)殼的參數(shù)化設(shè)計(jì)宏程序，從而提高了結(jié)構(gòu)建模和受力性能分析的效率，并應(yīng)用Ansys軟件對(duì)不同矢跨比的網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行受力性能和穩(wěn)定性分析。

1 旋轉(zhuǎn)對(duì)數(shù)曲面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)參數(shù)化建模

網(wǎng)球結(jié)構(gòu)由于其優(yōu)秀的受力性能和富有想象力的造型得到廣泛接受，其代表建筑有北京國(guó)家大劇院（圖1（a））和南寧國(guó)際會(huì)展中心（圖 1（b））。其中，南寧國(guó)際會(huì)展中心是旋轉(zhuǎn)雙曲面網(wǎng)殼應(yīng)用于實(shí)際工程中的典型結(jié)構(gòu)［7］。根據(jù)球面網(wǎng)殼的網(wǎng)格劃分形式，旋轉(zhuǎn)對(duì)數(shù)曲面網(wǎng)殼分為肋環(huán)型、聯(lián)方型、施威德勒型、凱威特型4種類型，其宏觀幾何參數(shù)有：結(jié)構(gòu)跨度S、矢高f、環(huán)向重復(fù)區(qū)域份數(shù)Kn和徑向節(jié)點(diǎn)圈數(shù)。

借鑒球面、旋轉(zhuǎn)拋物面網(wǎng)殼參數(shù)化設(shè)計(jì)方法［9-13］，研制了4種網(wǎng)格劃分的參數(shù)化設(shè)計(jì)宏程序，限于篇幅僅以凱威特型旋轉(zhuǎn)對(duì)數(shù)曲面網(wǎng)殼為例進(jìn)行分析。

圖1 網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)工程實(shí)例圖

（1）計(jì)算凱威特型結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，定義結(jié)點(diǎn)號(hào)

在直角坐標(biāo)系下將曲面分成Kn個(gè)扇區(qū)，令最頂點(diǎn)為1號(hào)節(jié)點(diǎn)，其坐標(biāo)為（0，0，f）。先按等比例劃分矢高f，再根據(jù)空間笛卡爾直角坐標(biāo)系下對(duì)數(shù)曲面方程，其中a＝（S／2＋1）＾（1／f），環(huán)形區(qū)域分?jǐn)?shù) Kn和徑向節(jié)點(diǎn)圈 Nx，確定每一環(huán)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y，z），其中z＝f-f×i／Nx，x＝（c×z-S／2-1）×cos［360×（j-1）／（Kn×i）］，y＝（c×z-S／2-1）×sin［360×（j-1）／（Kn×i）］，其中 c＝（S／2＋1）（1／f）。

采用APDL循環(huán)語句，對(duì)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行節(jié)點(diǎn)編號(hào)。依次對(duì)第i圈、第j號(hào)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行節(jié)點(diǎn)編號(hào)，其編號(hào)為1＋Kn×（i-1）×i／2＋j（1≤i≤Nx，1≤j≤i＋1）。

（2）利用APDL循環(huán)語句，根據(jù)節(jié)點(diǎn)分布規(guī)律依次進(jìn)行環(huán)向桿件和徑向桿件的連接

① 連接環(huán)向桿，即連接節(jié)點(diǎn)編號(hào)1＋Kn×（i-1）×i／2＋j、1＋Kn×（i-1）×i／2＋j＋1（i＝1，2，…，Nx；j＝1，2，…，Kn×i-1）。第 Kn對(duì)稱區(qū)的環(huán)向桿連接方式連接節(jié)點(diǎn)編號(hào)為1＋Kn×（i-1）×i／2＋1和1＋Kn×（i-1）×i／2＋Kn×i，（i＝1，2，…，Nx）。

②徑向桿的連接，K表示當(dāng)前節(jié)點(diǎn)所在份數(shù)。第一圈的徑向桿的連接：連接節(jié)點(diǎn)編號(hào)1、1＋j（1≤j≤Kn），第1～Kn-1份第i圈最后一根徑向桿是將節(jié)點(diǎn)編號(hào)1＋Kn×（j-1）×j／2＋（K-1）×j＋i，1＋Kn×（j＋1）×j／2＋（K-1）×（j＋1）＋i連接，第Kn份中第i圈的最后一根徑向桿是將節(jié)點(diǎn)編號(hào)1＋Kn×（j-1）×j／2＋1、1＋Kn×（j＋1）×j／2＋（K-1）×（j＋1）＋i連接。對(duì)稱區(qū)（即第1～Kn×i對(duì)稱區(qū)）內(nèi)桿件的連接，一般正向連桿方式為連接節(jié)點(diǎn)編號(hào)1＋Kn×（j-1）×j／2＋（K-1）×j＋i、1＋Kn×（j＋1）×j／2＋（K-1）×（j＋1）＋i；一般負(fù)向連桿方式為連接節(jié)點(diǎn)編號(hào)1＋Kn×（j-1）×j／2＋（K-1）×j＋i、1＋Kn×（j＋1）×j／2＋（K-1）×（j＋1）＋i＋1（j＝1，2，…，Nx-1；K＝1，2，…，Kn；i＝1，2，…Nx）。

（3）施加結(jié)構(gòu)約束和荷載

旋轉(zhuǎn)對(duì)數(shù)曲面網(wǎng)殼最外一圈Kn×Nx節(jié)點(diǎn)支承施加鉸約束（即只限制x、y、z方向的線位移，而不限制轉(zhuǎn)動(dòng)位移），屋面節(jié)點(diǎn)施加均布荷載為2.35 kN／m2［14］，考慮結(jié)構(gòu)（桿件和節(jié)點(diǎn)）自重。

肋環(huán)型、聯(lián)方型、施威德勒型、凱威特型4種類型結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)單層旋轉(zhuǎn)對(duì)數(shù)曲面網(wǎng)殼的結(jié)構(gòu)模型如圖2所示。

圖2 4種旋轉(zhuǎn)對(duì)數(shù)曲面網(wǎng)殼建模實(shí)例圖（S＝60 m，f＝30 m，Kn＝14，Nx＝10）

2 旋轉(zhuǎn)對(duì)數(shù)曲面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)受力性能分析

結(jié)構(gòu)選用φ219×6的Q235熱軋無縫圓鋼管，鋼材密度ρ、彈性模量E、泊松比v分別為7850 kN／m3、2.06×105MPa、0.3，節(jié)點(diǎn)為理想剛節(jié)點(diǎn)。支座節(jié)點(diǎn)采用鉸支座約束。結(jié)構(gòu)許用位移為跨度的1／400［15］，許用應(yīng)力［σ］為215MPa。結(jié)構(gòu)材料本構(gòu)關(guān)系σ-ε采用理想彈塑性材料模型，不考慮材料的強(qiáng)化和屈服強(qiáng)度。

在上述工況下，分別對(duì)4種網(wǎng)殼類型、不同矢跨比等影響因素，研究了單層旋轉(zhuǎn)對(duì)數(shù)曲面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的受力性能。

2.1 不同網(wǎng)殼類型的結(jié)構(gòu)性能分析

選取跨度S、矢高f分別為50、20 m，對(duì)于4種網(wǎng)殼類型的徑向區(qū)域份數(shù)Nx為8，前3種網(wǎng)殼類型的環(huán)向節(jié)點(diǎn)圈數(shù)Kn取12，凱威特型網(wǎng)殼環(huán)向區(qū)域份數(shù)Kn為6，對(duì)4種旋轉(zhuǎn)對(duì)數(shù)曲面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行結(jié)構(gòu)受力性能分析，結(jié)果見表1。

由表1可知，4種旋轉(zhuǎn)對(duì)數(shù)曲面網(wǎng)殼類型均滿足結(jié)構(gòu)剛度要求（最大位移均 ＜150 mm），其中凱威特型最大位移較小，聯(lián)方型最大位移最大，但都小于結(jié)構(gòu)的許用位移；4種網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)均滿足結(jié)構(gòu)強(qiáng)度要求，且結(jié)構(gòu)以承受壓應(yīng)力為主。肋環(huán)形和施威德勒型的最大位移和最不利應(yīng)力很接近，聯(lián)方型網(wǎng)殼的位移較大，是肋環(huán)和施威德勒的5倍，應(yīng)力約為其2倍；凱威特型最大位移為3.7 mm，約是結(jié)構(gòu)許用位移的3%，其最大應(yīng)力為31.6 MPa，約為許用位移的15%，均比其他類型小，受力性能好很多。結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，可以優(yōu)先選擇凱威特型網(wǎng)殼。

表1 4種旋轉(zhuǎn)對(duì)數(shù)曲面網(wǎng)殼最大位移和最大應(yīng)力表

2.2 不同矢跨比的網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)受力性能分析

以凱威特型旋轉(zhuǎn)對(duì)數(shù)曲面網(wǎng)殼為例研究矢跨比對(duì)網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)靜力性能的影響。選取宏觀幾何參數(shù)：跨度S為50m，矢高分別取8、10、15、20、25、30、35、40m，環(huán)向區(qū)域份數(shù)Kn為6，徑向節(jié)點(diǎn)圈數(shù)Nx為8，得到相應(yīng)網(wǎng)殼的最不利位移值和最不利應(yīng)力值，見表2。

表2 不同矢跨比旋轉(zhuǎn)對(duì)數(shù)曲面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)靜力分析表

由表2可知，不同矢跨比的凱威特型旋轉(zhuǎn)對(duì)數(shù)曲面網(wǎng)殼桿件單元均以承受壓應(yīng)力為主，均滿足要求，且最大壓應(yīng)力均發(fā)生在最外圈和次外圈的徑向桿處，所以可通過增強(qiáng)響應(yīng)徑向桿強(qiáng)度來改善整個(gè)結(jié)構(gòu)的受力情況。網(wǎng)殼的最大位移均發(fā)生在中間位置，且其最大位移值為0.0131 m，比結(jié)構(gòu)的許用位移少了約一個(gè)單位級(jí)；隨著矢跨比的不斷增大，旋轉(zhuǎn)對(duì)數(shù)曲網(wǎng)殼的最不利位移和最不利應(yīng)力都呈現(xiàn)減小的趨勢(shì)，最大位移減小比率分別為30.53%、43.96%、27.45%、18.92%、6.67%、5.71% 和 0.76%；最不利應(yīng)力減小比率分別為 16.89%、31.36%、26.34%、21.84%、16.60%、8.74% 和 4.79%，且最不利位移隨矢高增大而減小40 m跨度時(shí)，幾乎不變小，而最不利應(yīng)力減小程度較為明顯。由此可見，增大矢跨比并不能很好的提高網(wǎng)殼剛度，但對(duì)改善網(wǎng)殼的強(qiáng)度卻有一定的效果。這是因?yàn)槭缚绫忍?，網(wǎng)殼的曲面越接近一個(gè)平面，其變形和強(qiáng)度雖然變差，但是隨著矢跨比的增大，網(wǎng)殼越趨向一個(gè)完整的弧面，從而使網(wǎng)殼形成的內(nèi)力自封閉系統(tǒng)更為完整，使得桿件之間互相抵消內(nèi)力的能力逐漸增強(qiáng)，提高網(wǎng)殼強(qiáng)度。因此，在工程實(shí)踐中，對(duì)于此類型的網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)優(yōu)先選擇大矢跨比結(jié)構(gòu)，以保證結(jié)構(gòu)安全可靠。

3 旋轉(zhuǎn)對(duì)數(shù)曲面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析

旋轉(zhuǎn)對(duì)數(shù)曲面結(jié)構(gòu)采用beam4梁?jiǎn)卧Y(jié)構(gòu)桿件選用Φ219×6的Q235鋼管，其屈服強(qiáng)度、鋼材密度、泊松比、彈性模量和等效均布荷載分別為214 MPa、7850 kg／m3、0.3、206 GPa、1.0 kN／m2。因?yàn)閯P威特型結(jié)構(gòu)的受力性能最好，所以，僅對(duì)凱威特型結(jié)構(gòu)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。

3.1 結(jié)構(gòu)線性屈曲分析

凱威特型網(wǎng)殼 結(jié)構(gòu)選取 S、f、Kn、Nx分別為50 m、20 m、6、8，矢跨比為1／7～1／5。表3給出前六階屈曲特征值。

根據(jù)文獻(xiàn)［16-18］可知，特征值不變或增加很小時(shí)，表明結(jié)構(gòu)是有對(duì)稱性的。由表3可以看出，隨著特征值階數(shù)增加，對(duì)應(yīng)特征值也在增加。結(jié)構(gòu)在二階和三階特征值相同，說明結(jié)構(gòu)對(duì)稱且都對(duì)應(yīng)二階振型彎曲。凱威特型旋轉(zhuǎn)對(duì)數(shù)曲面網(wǎng)殼特征值隨矢跨比增大而增大，以第一特征值階數(shù)為例，矢跨比從1／7到1／2，其對(duì)應(yīng)特征值分別增加了31.09%、24.92%、23.44%、27.78%、33.37%，且矢跨比隨結(jié)構(gòu)線性屈曲極限荷載增大而增大，即矢跨比越大結(jié)構(gòu)線性穩(wěn)定性越好。因此，建議在實(shí)際工程中選取大矢跨比結(jié)構(gòu)，這樣其穩(wěn)定性較好。

表3 各矢跨比下網(wǎng)殼前六階線性屈曲特征值表

3.2 結(jié)構(gòu)幾何非線性屈曲分析

采用“一致缺陷模態(tài)法”對(duì)凱威特型旋轉(zhuǎn)對(duì)數(shù)曲面網(wǎng)殼進(jìn)行幾何非線性屈曲分析。取表3中一階線性屈曲特征值為理想臨界荷載，分別考慮缺陷值為跨度的 1／300（0.167）、1／500（0.1），配合結(jié)構(gòu)矢跨比變化，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行幾何非線性屈曲分析。選取網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)跨度 S、f、Kn、Nx分別為50 m、20 m、6、8，矢跨比為1／7～1／5，且考慮初始缺陷是極限荷載，與理想狀態(tài)下臨界荷載對(duì)比，見表4。

表4 考慮缺陷條件下極限荷載與理想狀態(tài)下的臨界荷載對(duì)比表／kN

矢跨比從1／2到1／7時(shí)，考慮跨度為1／300的初始缺陷時(shí)的極限荷載與理想狀態(tài)下臨界荷載相比，分別減小了 30.8%、24.55%、21.46%、16.69%、19.86%和 18.88%；考慮跨度為 1／500的初始缺陷時(shí)的極限荷載跟理想狀態(tài)下臨界荷載相比分別減小了28.98%、23.19%、20.91%、13.91%、18.80%。考慮初始缺陷的極限荷載明顯較小，表明考慮初始缺陷時(shí)的極限荷載比臨界荷載變小，且缺陷值越大，臨界荷載越小，因此，初始缺陷對(duì)結(jié)構(gòu)極限承載力有很大影響，實(shí)際工程應(yīng)重視，減小初始缺陷提高結(jié)構(gòu)穩(wěn)定；隨著矢跨比減小，考慮初始缺陷的極限荷載逐漸減小，說明矢跨比越大，網(wǎng)殼承載力逐漸增大。這是由于網(wǎng)殼趨近于完整弧面時(shí)，結(jié)構(gòu)自封閉性好，桿件間互相抵消內(nèi)力能力增強(qiáng)?？梢姡趯?shí)際工程中，提高矢跨比可以提高網(wǎng)殼強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性。

4 結(jié)論

通過上述研究表明：

（1）在4種類型的單層旋轉(zhuǎn)對(duì)數(shù)曲面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)中，凱威特結(jié)構(gòu)最大位移為3.7 mm，約為結(jié)構(gòu)許用位移的3%，其最大應(yīng)力為31.6 MPa，約為許用位移的15%，結(jié)構(gòu)形式和受力性能最合理。在實(shí)際工程設(shè)計(jì)時(shí)，可以優(yōu)先選用；聯(lián)方型結(jié)構(gòu)最大位移和最不利應(yīng)力始終為4種結(jié)構(gòu)中最不理想的，結(jié)構(gòu)最不利應(yīng)力接近結(jié)構(gòu)許用應(yīng)力值；肋環(huán)型和施威德勒型受力性能和最大位移接近，其最不利應(yīng)力遠(yuǎn)超凱威特型的最不利應(yīng)力和最大位移值，但是仍然可以滿足結(jié)構(gòu)強(qiáng)度要求。

（2）隨著矢高增大，旋轉(zhuǎn)對(duì)數(shù)曲網(wǎng)殼的最不利位移和最不利應(yīng)力都呈現(xiàn)減小的趨勢(shì)，其中跨度達(dá)到40 m時(shí)，最不利位移和最不利應(yīng)力減小率分別為0.76%和4.79%，故大矢高下的旋轉(zhuǎn)對(duì)數(shù)網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)剛度變化不大，強(qiáng)度增加較大。

（3）隨著矢跨比增大其特征值增大，而且特征值增長(zhǎng)量越大。當(dāng)矢跨比為1／2時(shí)，特征值增長(zhǎng)量達(dá)到最大為33.37%?？梢?，矢跨比增大時(shí)，旋轉(zhuǎn)對(duì)數(shù)曲面網(wǎng)殼強(qiáng)度也增大，矢跨比為1／2時(shí)，網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)強(qiáng)度最大。

（4）隨著矢跨比增大其對(duì)應(yīng)極限荷載也增大，初始缺陷跨度為1／300、矢跨比為1／2時(shí)，其極限荷載最大為12.938，穩(wěn)定性最好；發(fā)現(xiàn)初始缺陷越大對(duì)應(yīng)極限荷載越小，跨度為1／300和1／500時(shí)，極限荷載分別為 12.938和 12.952，后者穩(wěn)定性越好。實(shí)際工程盡量考慮大矢跨比的結(jié)構(gòu)，減小初始缺陷。

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