離散型隨機(jī)變量及其分布列高考熱點(diǎn)透視

■河南省許昌市許昌高級(jí)中學(xué) 胡銀偉

與實(shí)際生活密切相關(guān)的離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差問題,不但考查同學(xué)們的理解能力與數(shù)學(xué)計(jì)算能力,而且能夠不斷創(chuàng)新問題情境,突出考查同學(xué)們運(yùn)用概率、期望與方差解決實(shí)際問題的能力,因此是高考的熱點(diǎn)。從近幾年高考命題情況來看,離散型隨機(jī)變量及其分布列高考熱點(diǎn)主要有以下兩類。

熱點(diǎn)一：對(duì)離散型隨機(jī)變量分布列及期望的考查

例1 (2 0 1 7年全國Ⅲ卷)某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完。根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān)。如果最高氣溫不低于2 5,需求量為5 0 0瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[2 0,2 5),需求量為3 0 0瓶;如果最高氣溫低于2 0,需求量為2 0 0瓶。為了確定六月份的訂購計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:

?

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率。

(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列;

(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位:瓶)為多少時(shí),Y的期望達(dá)到最大值?

解析：(1)由題意知,X所有的可能取值

X2 0 0 3 0 0 5 0 0 P0.20.40.4

(2)由題意知,這種酸奶一天的需求量至多為5 0 0,至少為2 0 0,因此只需考慮2 0 0≤n≤5 0 0。

當(dāng)3 0 0≤n≤5 0 0時(shí):若最高氣溫不低于2 5,則Y=6n-4n=2n;

若最高氣溫位于區(qū)間[2 0,2 5),則Y=6×3 0 0+2(n-3 0 0)-4n=12 0 0-2n;

若最高氣溫低于2 0,則Y=6×2 0 0+2(n-2 0 0)-4n=8 0 0-2n。

此時(shí),E(Y)=2n×0.4+(12 0 0-2n)×0.4+(8 0 0-2n)×0.2=6 4 0-0.4n。

當(dāng)2 0 0≤n＜3 0 0時(shí):若最高氣溫不低于2 0,則Y=6n-4n=2n;

若最高氣溫低于2 0,則Y=6×2 0 0+2(n-2 0 0)-4n=8 0 0-2n;

此時(shí),E(Y)=2n×(0.4+0.4)+(8 0 0-2n)×0.2=1 6 0+1.2n。

所以當(dāng)n=3 0 0時(shí),Y的期望達(dá)到最大值,最大值為5 2 0元。

點(diǎn)評(píng):求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的關(guān)鍵是正確求出隨機(jī)變量的分布列,而求隨機(jī)變量及其分布列的一般步驟為:(1)明確隨機(jī)變量的所有可能取值以及取每個(gè)取值所表示的意義;(2)利用排列組合知識(shí)或互斥事件、獨(dú)立事件的概率公式求出隨機(jī)變量取每個(gè)可能值的概率;(3)按規(guī)范形式寫出隨機(jī)變量的分布列,并用分布列的性質(zhì)驗(yàn)證。

練習(xí)1：(2 0 1 7年天津卷)從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口,設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立,且在各路口遇到紅燈的概率分別為

(1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(2)若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地,求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率。

解析：(1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3。

所以隨機(jī)變量X的分布列為:

?

(2)設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù),Z表示第二輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù),則所求事件的概率為:

P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+所以這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率為

練習(xí)2：(2 0 1 7年山東卷)在心理學(xué)研究中,常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響,具體方法如下:將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用?，F(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示。

(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;

(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X)。

解析：(1)記“接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1”為事件為M,則

(2)由題意知X可取的值為:0,1,2,3,4,則:

因此,X的分布列為:

X 0 1 2 3 4 P1 4 2 5 51 2 1 1 0 2 12 14 2

熱點(diǎn)二：對(duì)離散型隨機(jī)變量期望與方差應(yīng)用的考查

例2 為回饋顧客,某商場擬通過摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)10 0 0位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)定:每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球,球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額。

(1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為5 0元,其余3個(gè)均為1 0元,求:

①顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為6 0元的概率;

②顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望。

(2)商場對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是6 00 0 0元,并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值1 0元和5 0元的兩種球組成,或標(biāo)有面值2 0元和4 0元的兩種球組成。為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡,請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì),并說明理由。

解析：(1)設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X。顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為6 0元的概率為。

②依題意,得X的所有可能取值為2 0,故X的分布列為:

X 2 0 6 0 P0.50.5

所以顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望為E(X)=2 0×0.5+6 0×0.5=4 0(元)。

(2)根據(jù)商場的預(yù)算,每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為6 0元,所以先尋找期望為6 0元的可能方案。

對(duì)于面值由1 0元和5 0元組成的情況,假設(shè)選擇(1 0,1 0,1 0,5 0)的方案,因?yàn)? 0元是面值之和的最大值,所以期望不可能為6 0元;假設(shè)選擇(5 0,5 0,5 0,1 0)的方案,因?yàn)? 0元是面值之和的最小值,所以期望也不可能為6 0元,因此可能的方案是(1 0,1 0,5 0,5 0),記為方案1。

對(duì)于面值由2 0元和4 0元組成的情況,同理可排除(2 0,2 0,2 0,4 0)和(4 0,4 0,4 0,2 0)的方案,所以可能的方案是(2 0,2 0,4 0,4 0),記為方案2。

以下是對(duì)兩個(gè)方案的分析:

對(duì)于方案1,即(1 0,1 0,5 0,5 0),設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X1,則X1的分布列為:

X12 0 6 0 1 0 0 P1 6 23 16

對(duì)于方案2,即(2 0,2 0,4 0,4 0),設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為,則的分布列為:

X24 0 6 0 8 0 P1 6 23 16

由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望都符合要求,但方案2獎(jiǎng)勵(lì)額的方差比方案1的小,所以最優(yōu)方案為方案2。

點(diǎn)評(píng):解決概率的實(shí)際應(yīng)用問題,要先根據(jù)題意確定概率模型,選擇概率公式;對(duì)于離散型隨機(jī)變量的分布列,要注意利用分布列的性質(zhì)進(jìn)行檢驗(yàn),特殊分布列的期望的計(jì)算可以直接利用公式,以簡化計(jì)算過程。

期望能夠反映隨機(jī)變量取值的“平均水平”,因此,當(dāng)期望不同時(shí),兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見分曉,由此可對(duì)實(shí)際問題作出決策判斷;在實(shí)際問題中,若兩個(gè)隨機(jī)變量ξ1,ξ2,有E(ξ1)=E(ξ2)或E(ξ1)與E(ξ2)較為接近時(shí),就需要用D(ξ1)與D(ξ2)來比較兩個(gè)隨機(jī)變量的穩(wěn)定程度。一般將期望最大(或最小)的方案作為最優(yōu)方案,若各方案的期望相同,則選擇方差最小(或最大)的方案作為最優(yōu)方案。

練習(xí)3:現(xiàn)有兩種投資方案,一年后投資盈虧的情況如下表:

投資股市:

投資結(jié)果 獲利4 0% 不賠不賺 虧損2 0%概率 1 2 18 38

購買基金:

投資結(jié)果 獲利2 0% 不賠不賺 虧損1 0%概率 p 1 3 q

(2)已知甲乙兩人分別選擇了“投資股市”和“購買基金”進(jìn)行投資,如果一年后他們中至少有一人獲利的概率大于,求p的取值范圍。

(3)丙要將家中閑置的1 0萬元錢進(jìn)行投資,決定在“投資股市”和“購買基金”這兩種方案中選擇一種,已知,那么丙選擇哪種投資方案,才能使得一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望較大?結(jié)合結(jié)果并說明理由。

解析：(1)因?yàn)椤百徺I基金”后,投資結(jié)果只有“獲利”“不賠不賺”“虧損”三種,且三種投資結(jié)果相互獨(dú)立,所

又因?yàn)閜=,所以q=。

(2)記事件A為“甲投資股市且盈利”,事件B為“乙購買基金且盈利”,事件C為“一年后甲乙兩人中至少有一人投資獲利”,則,且A,B相互獨(dú)立。

(3)假設(shè)丙選擇“投資股市”方案進(jìn)行投資,且記X為丙投資股市的獲利金額(單位:萬元),所以隨機(jī)變量X的分布列為:

X40-2 P1 2 18 38

假設(shè)丙選擇“購買基金”方案進(jìn)行投資,且記Y為丙購買基金的獲利金額(單位:萬元),所以隨機(jī)變量Y的分布列為:

Y20-1 P1 2 13 16

因?yàn)镋(X)＞E(Y),所以丙選擇“投資股市”才能使得一年后的投資收益的數(shù)學(xué)期望較大。