量子信息中的熵不等式

摘要：設(shè)ρ和σ是表示量子狀態(tài)的兩個(gè)密度算子（跡為1的半正定算子），定義ρ到σ的相對(duì)熵為S（ρ‖σ）=tr（ρlogρ）-tr（ρlogσ）。分別應(yīng)用密度算子的標(biāo)準(zhǔn)正交分解和凹函數(shù)的相關(guān)知識(shí)證明了S（ρ‖σ）≥0，同時(shí)把凹函數(shù)定義推廣到矩陣的跡形式。

關(guān)鍵詞：密度矩陣；量子的相對(duì)熵；跡

一、 引入

在經(jīng)典信息論中，設(shè)系統(tǒng)X={（xi，p（xi））}，i=1，…，n，隨機(jī)變量Shannon熵可以定義為隨機(jī)變量取不同值的一個(gè)函數(shù)，可以看作是概率分布的函數(shù)。

定義1設(shè)X={（xi，p（xi））}，i=1，…，n為一個(gè)系統(tǒng)，Shannon熵定義為H（X）=H（p1，…，pn）≡-∑ni=1（pxlogpx），本文中“l(fā)og”是以2為底的，“l(fā)n”是自然對(duì)數(shù)，因?yàn)閘og0沒有定義，從直觀上講，不發(fā)生事件對(duì)Shannon熵沒有貢獻(xiàn)，因此可規(guī)定0log0=0。

定義2設(shè)p（x）和q（x）是定義在同一指標(biāo)集上的概率分布，p（x）到q（x）的相對(duì)熵定義H（p（x）‖q（x））≡-∑xp（x）logq（x）p（x），定義當(dāng)p（x）>0時(shí)，-p（x）log0=+∞。

定理1設(shè)p（x）和q（x）是定義在同一指標(biāo)集上的概率分布，則p（x）到q（x）的相對(duì)熵是非負(fù)的，即H（q（x）‖p（x））≥0，當(dāng)且僅當(dāng)p（x）=q（x）時(shí)等號(hào)成立。

證明對(duì)所有的正整數(shù)x>0，logxln2=lnx≤x-1當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立。那么其可以變形為-logx≥1-xln2，H（q（x）‖p（x））≡-∑xp（x）logq（x）p（x）≥1ln2∑xp（x）1-q（x）p（x）=1ln2∑x（p（x）-q（x））=1ln2（1-1）=0。由上面的可知，當(dāng)且僅當(dāng)p（x）=q（x）對(duì)所有的x成立時(shí)取等號(hào)。

Shannon熵測(cè)量的不確定性與經(jīng)典概率的分布相關(guān)聯(lián)。描述量子狀態(tài)的方式是類似的，只是用密度算子代替概率分布，把Shannon熵推廣到量子狀態(tài)。以下把量子狀態(tài)下的相對(duì)熵的非負(fù)性證明做一些討論。

二、 內(nèi)容

定義3設(shè)pi是量子系統(tǒng)中一組狀態(tài)|ψi〉對(duì)應(yīng)的概率，稱ρ=∑ipi|ψi〉〈ψi|為一個(gè)純態(tài)系統(tǒng)的密度算子（或者成為密度矩陣）。

定理2密度算子ρ=∑ipi|ψi〉〈ψi|是一個(gè)跡為1的半正定算子。

證明因?yàn)棣?∑ipi|ψi〉〈ψi|，所以tr（ρ）=tr（∑iρi|ψi〉〈ψi|）=∑iρitr（|ψi〉〈ψi|）=∑iρi=1，且對(duì)于任意的一個(gè)表示狀態(tài)的向量|φ〉，〈φ|ρ|φ〉=〈φ|∑iρi|ψi〉〈ψi||φ〉=∑iρi〈φ，ψi〉〈ψi，φ〉=∑iρi〈ψi，φ〉2≥0

定理3一個(gè)跡為1的半正定算子ρ一定是一個(gè)密度算子。

證明因?yàn)棣咽且粋€(gè)半正定算子，所以ρ一定有譜分解。ρ=∑iλi|i〉〈i|，其中λi是半正定算子的非負(fù)特征值，向量組|i〉是正交的，又因?yàn)椤苅λi=1，所以以λi為一組狀態(tài)|i〉對(duì)應(yīng)的概率的量子系統(tǒng)存在密度算子。

定義4設(shè)ρ是表示量子狀態(tài)的密度算子，（即Von Neumann熵）定義量子狀態(tài)下的熵為S（ρ）=-tr（ρlogρ）。如果λx是ρ的特征值，那么定義可以寫成S（ρ）=-∑xλxlogλx

定義5設(shè)ρ和σ是表示量子狀態(tài)的兩個(gè)密度算子，那么ρ到σ的相對(duì)熵定義為S（ρ‖σ）=tr（ρlogρ）-tr（ρlogσ）

定理4設(shè)ρ和σ是密度算子，那么S（ρ‖σ）=tr（ρlogρ）-tr（ρlogσ）≥0，其中ρ=σ時(shí)等號(hào)成立。

證明令ρ=∑ipi|i〉〈i|和σ=∑jpj|j〉〈j|分別為ρ和σ的標(biāo)準(zhǔn)正交分解，那么有tr（ρlogρ）-tr（ρlogσ）=∑ipilogpi-∑〈i|ρlogσ|i〉，因?yàn)椤磇|ρ=pi〈i|，并且〈i|logσ|i〉=〈i|（∑jlog（qj）|j〉〈j|）|i〉=∑log（qj）pij，其中pij=〈i||j〉〈j||i≥0〉，由此可得S（ρ‖σ）=∑ipi（logpi-∑jpijlogqj），其中pij≥0，并且∑ipij=1，∑jpij=1。由于log（·）是嚴(yán)格的凹函數(shù)，所以∑jpijlogqj≤logri，其中ri=∑jpijqj，當(dāng)且僅當(dāng)存在某個(gè)j，使得pij=1時(shí)等號(hào)成立，于是S（ρ‖σ）≥∑ipilogpiri，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于每一個(gè)i都存在一個(gè)j使得pij=1時(shí)取等號(hào)。即當(dāng)且僅當(dāng)pij是置換陣，由經(jīng)典相對(duì)熵的非負(fù)性，即定理1可知S（ρ‖σ）≥0。

定理4的又一個(gè)證明要用到以下知識(shí)。

定義5設(shè)f（x）是關(guān)于實(shí)數(shù)變量x的可微實(shí)函數(shù)，如果對(duì)于所有的x和y，都有f（y）-f（x）≤（y-x）f′（x）成立，那么函數(shù)f（x）是凹的。

例如，設(shè)函數(shù)f（x）=-xlogx，當(dāng)x>0時(shí)就是凹的，因?yàn)閷⑺肷鲜街?，整理可得logxy≤xy-1，此式當(dāng)x>y>0時(shí)成立，因?yàn)閷?duì)x>0，有不等式log（1+x）

可將上面的定義推廣到矩陣求跡形式，可以得到以下定理。

定理5設(shè)ρ和σ是兩個(gè)n維矩陣，且不一定對(duì)易（如果ρσ=σρ，那么就稱n維矩陣ρ和σ是對(duì)易的），如果f（x）是一個(gè)凹函數(shù)，那么tr[f（σ）-f（ρ）]≤tr[（σ-ρ）f′（ρ）]。

證明設(shè)ρ和σ的特征值分別為α1，α2，…，αn和β1，β2，…，βn，將這兩組數(shù)按降冪排列，得到新的兩組數(shù)α′1，α′2，…，α′n和β′1，β′2，…，β′n，于是令定義2中的x和y分別取這里的α′i和β′i，利用函數(shù)的凹性，有

f（β′1）-f（α′1）≤（β′1-α′1）f（α′1）

…

f（β′n）-f（α′n）≤（β′n-α′n）f（α′n）

將這n個(gè)方程求和，注意有

∑ni=1f（α′i）=∑ni=1f（αi）=trf（ρ）

∑ni=1f（β′i）=∑ni=1f（βi）=trf（σ）

∑ni=1α′if′（α′i）=∑ni=1αif′（αi）=tr[ρf′（ρ）]

∑ni=1β′if′（α′i）=∑ni=1βif′（αi）=tr[σf′（ρ）]

因此可得tr[f（σ）-f（ρ）]≤tr[（σ-ρ）f′（ρ）]。

現(xiàn)在可以利用定理5給出定理4的另一種證明。

證明對(duì)于任意兩個(gè)表示量子狀態(tài)的密度算子ρ和σ，定義f（ρ）≡-ρlogρ和f（σ）≡-ρlogσ，利用定理3，有-S（ρ‖σ）=tr[-ρ（logρ-logσ）]=tr[f（ρ）-f（σ）+f（σ）+ρlogσ]≤tr[（ρ-σ）（-logσ-1）-（σ-ρ）logσ]=tr（σ-ρ）=0。

所以S（ρ‖σ）=tr（ρlogρ）-tr（ρlogσ）≥0。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：

劉波，講師，陜西省西安市，陜西學(xué)前師范學(xué)院理學(xué)。