基于輸入約束一致性算法的多無(wú)人機(jī)編隊(duì)控制

熊 濤，曹科才，2，柴 運(yùn)，徐培娟

1.南京郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，南京 210023

2.南京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，南京 210016

1 引言

近年來(lái)，由于多無(wú)人機(jī)系統(tǒng)的魯棒性、靈活性、可擴(kuò)展性及經(jīng)濟(jì)性等因素，多無(wú)人機(jī)系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制得到了越來(lái)越多的關(guān)注[1-3]。作為多無(wú)人機(jī)協(xié)調(diào)控制最基本的一種控制方法，多無(wú)人機(jī)的一致性控制問(wèn)題一直以來(lái)都是控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[4-6]。一致性控制是指無(wú)人機(jī)利用自身配置的傳感器來(lái)感知周圍無(wú)人機(jī)的信息，從而實(shí)現(xiàn)無(wú)人機(jī)之間信息的交互與共享。關(guān)于多無(wú)人機(jī)系統(tǒng)的一致性控制問(wèn)題，目前已取得了一些成果。文獻(xiàn)[7-8]將多無(wú)人機(jī)系統(tǒng)簡(jiǎn)化成一階動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，在基于文獻(xiàn)[9]提出的多智能體一致性算法的基礎(chǔ)上，提出了一種基于一致性反饋線性方法解決了沒(méi)有明確領(lǐng)航無(wú)人機(jī)的多無(wú)人機(jī)編隊(duì)控制問(wèn)題。文獻(xiàn)[5]將多無(wú)人機(jī)模型反饋線性化成了二階動(dòng)態(tài)模型，研究了帶有虛擬領(lǐng)航無(wú)人機(jī)的多無(wú)人機(jī)系統(tǒng)的分布式編隊(duì)控制問(wèn)題。文獻(xiàn)[10]利用經(jīng)典控制理論與逆動(dòng)力學(xué)理論，研究了基于虛擬結(jié)構(gòu)方法的無(wú)人機(jī)的編隊(duì)飛行，并通過(guò)非線性六自由度的仿真驗(yàn)證了方法的有效性。文獻(xiàn)[11-12]考慮了存在時(shí)延情況下的多無(wú)人機(jī)的一致性控制及編隊(duì)控制，通過(guò)對(duì)定常時(shí)延以及時(shí)變時(shí)延兩種情況設(shè)計(jì)一致性控制算法研究了多無(wú)人機(jī)的編隊(duì)控制。文獻(xiàn)[13]考慮無(wú)人機(jī)編隊(duì)時(shí)無(wú)明確領(lǐng)航者，每一個(gè)無(wú)人機(jī)都是基于鄰居狀態(tài)信息，研究了非均勻時(shí)延以及共連通拓?fù)浼s束下的無(wú)人機(jī)在三維空間中編隊(duì)控制。文獻(xiàn)[14]用線性矩陣不等式方法研究了切換通信拓?fù)湎戮哂卸A積分特性的多無(wú)人機(jī)群的編隊(duì)控制問(wèn)題。注意到，現(xiàn)有文獻(xiàn)中利用輸入約束的一致性控制算法對(duì)多無(wú)人機(jī)系統(tǒng)一致性控制研究較少，且現(xiàn)有文獻(xiàn)中存在將無(wú)人機(jī)模型直接化簡(jiǎn)成一階或者二階動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，忽略了很多無(wú)人機(jī)的非線性因素。另外現(xiàn)有文獻(xiàn)主要考慮了多無(wú)人機(jī)系統(tǒng)的平面一致性控制，而缺少空間編隊(duì)控制的研究。

級(jí)聯(lián)系統(tǒng)，顧名思義，是由多個(gè)子系統(tǒng)通過(guò)子系統(tǒng)之間狀態(tài)的相互關(guān)聯(lián)而組成。利用級(jí)聯(lián)系統(tǒng)理論將復(fù)雜的模型簡(jiǎn)化成若干個(gè)子系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)形式來(lái)研究非線性系統(tǒng)的控制問(wèn)題是一種有效的方法。將復(fù)雜的系統(tǒng)模型化簡(jiǎn)成級(jí)聯(lián)形式，避免了直接忽略多項(xiàng)非線性因素將系統(tǒng)模型化簡(jiǎn)成簡(jiǎn)單的低階或者高階系統(tǒng)所帶來(lái)的模型不準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[15]給出了非自治級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。文獻(xiàn)[16]利用文獻(xiàn)[15]中的非自治級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法，通過(guò)將非完整鏈?zhǔn)街悄荏w系統(tǒng)化成級(jí)聯(lián)形式研究了其編隊(duì)跟蹤控制問(wèn)題。

2 系統(tǒng)模型及問(wèn)題描述

文獻(xiàn)[17]根據(jù)牛頓-歐拉方法得到了垂直起降無(wú)人機(jī)系統(tǒng)模型，系統(tǒng)方程表示如下：

其中，m表示無(wú)人機(jī)的質(zhì)量，I表示無(wú)人機(jī)的慣性矩陣；T表示無(wú)人機(jī)的推力，產(chǎn)生沿機(jī)體坐標(biāo)系k方向上的運(yùn)動(dòng)；?！蔙3表示轉(zhuǎn)矩矢量，控制無(wú)人機(jī)姿態(tài)；ξ=(ξ1,ξ2,ξ3)T∈R3表示的是無(wú)人機(jī)的質(zhì)點(diǎn)在慣性坐標(biāo)系中的位置；R∈SO(3)表示機(jī)體坐標(biāo)系相對(duì)慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣；d(t)表示無(wú)人機(jī)的外部擾動(dòng)；ω=(ω1,ω2,ω3)T∈R3是無(wú)人機(jī)在機(jī)體坐標(biāo)系中的角速度矢量；Fe表示作用于無(wú)人機(jī)上的全部外力；ΣR為常數(shù)耦合矩陣；e3=(0,0,1)T表示機(jī)體坐標(biāo)系中k方向的單位向量；S(??)是斜對(duì)稱矩陣，式（1）中 S(ω)可寫(xiě)為：

考慮N個(gè)機(jī)械結(jié)構(gòu)都相同的垂直起降無(wú)人機(jī)模型組成的系統(tǒng)，系統(tǒng)方程可以表示為：

其中，i=1,2,…,N 。

基于級(jí)聯(lián)系統(tǒng)理論，可令 xi1=miξi，xi2=miξi，且假設(shè)作用于無(wú)人機(jī)的外部力矩減小到與無(wú)人機(jī)重量相同，即Fe=mge3。根據(jù)模型（3）可得：

其中，xi3=-TiRie3+mge3,ui1=RiΣRΓi。對(duì) xi3求導(dǎo)為：

根據(jù)矩陣 S(ω)的定義（2），令 xi3=xi4，且由于T 僅表示無(wú)人機(jī)機(jī)體k方向的推力，所以式（4）可化簡(jiǎn)為：

其中，δ=(Tiωi2,-Tiωi1,Ti)T。對(duì)xi4求導(dǎo)可得：

將式（3）代入式（6），整理可得：

聯(lián)立式（4）～（7），模型（3）可轉(zhuǎn)化為以下級(jí)聯(lián)形式：

其中

通過(guò)以上化簡(jiǎn)可以看出，本文基于原始的無(wú)人機(jī)系統(tǒng)模型，將其化簡(jiǎn)成級(jí)聯(lián)形式，避免了忽略無(wú)人機(jī)所收到的外力而造成不能對(duì)模型準(zhǔn)確描述。相對(duì)的，文獻(xiàn)[7]考慮了無(wú)人機(jī)在二維平面的編隊(duì)控制問(wèn)題，其中，作者將無(wú)人機(jī)系統(tǒng)簡(jiǎn)化成以下一階模型：

其中，ri∈R2表示第i個(gè)無(wú)人機(jī)的位置，ui∈R2表示第i個(gè)無(wú)人機(jī)的控制輸入。系統(tǒng)式（9）從廣義上說(shuō)可以代表任意的多智能體系統(tǒng)，并不能特指多無(wú)人機(jī)系統(tǒng)。無(wú)人機(jī)系統(tǒng)是一個(gè)多輸入多輸出且具有多自由度的非線性系統(tǒng)，考慮理想情況下并忽略一些外力因素，將模型線性化可以達(dá)到理論研究效果，但此類方法應(yīng)用到實(shí)際無(wú)人機(jī)系統(tǒng)中往往不能夠達(dá)到精確的控制目的。本文的主要貢獻(xiàn)在于基于原始的垂直起降無(wú)人機(jī)模型，利用級(jí)聯(lián)系統(tǒng)理論將復(fù)雜的無(wú)人機(jī)模型化簡(jiǎn)成級(jí)聯(lián)形式，而不是直接將無(wú)人機(jī)模型化簡(jiǎn)成簡(jiǎn)單的一階動(dòng)態(tài)模型。在控制器設(shè)計(jì)時(shí)利用雙曲正切函數(shù)的有界性質(zhì)研究了基于輸入約束下的一致性算法的多無(wú)人機(jī)編隊(duì)控制問(wèn)題。為了更能夠說(shuō)明本文所提控制方法的有效性，本文還對(duì)無(wú)人機(jī)在三維情況下的編隊(duì)情況進(jìn)行了仿真研究。

多無(wú)人機(jī)系統(tǒng)一致性控制問(wèn)題描述如下：對(duì)于多無(wú)人機(jī)系統(tǒng)模型（3），通過(guò)感知周圍鄰居無(wú)人機(jī)的信息，使得系統(tǒng)中的所有無(wú)人機(jī)在所設(shè)計(jì)的控制器作用下最終能夠達(dá)到一致?tīng)顟B(tài)。即對(duì)于級(jí)聯(lián)后的系統(tǒng)模型（8），構(gòu)造一致性算法，使得：

其中，i=1,2,…,N 。

3 控制律設(shè)計(jì)

在前人工作的基礎(chǔ)上，針對(duì)多無(wú)人機(jī)系統(tǒng)一致性控制問(wèn)題，利用雙曲正切函數(shù)的有界性質(zhì)，通過(guò)在控制器設(shè)計(jì)時(shí)引入雙曲正切函數(shù)使得系統(tǒng)（8）中的所有狀態(tài)達(dá)到全局一致性。首先設(shè)計(jì)控制律ui1如下：

其中，k1>0，k2>0是正常數(shù)，Ni表示與第i個(gè)無(wú)人機(jī)能夠通信的鄰居無(wú)人機(jī)的集合。

tanh(x)=(ex-e-x)/(ex+e-x)是有界函數(shù)，并且有tanh(x)=sinh(x)/cosh(x),sinh(x)=(ex-e-x)/2，cosh(x)=(ex+e-x)/2。因?yàn)閠anh(x)是有界的，故ui1也是有界的。假設(shè)由N個(gè)智能體組成的系統(tǒng)其通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可以由圖G=( )

V,E 來(lái)表示，圖G表示由若干個(gè)節(jié)點(diǎn)以及組成這些節(jié)點(diǎn)的邊組成的圖形，V表示頂點(diǎn)的集合，其包括圖中所有的節(jié)點(diǎn)，E表示邊的集合，其包括所有組成節(jié)點(diǎn)的邊。aij是鄰接矩陣A=[eij]∈?n×n中的元素，其可當(dāng)(j ,i)∈E時(shí)，aij=1；當(dāng)(j ,i)?E時(shí)，aij=0。aij=1表示第i個(gè)無(wú)人機(jī)可以接受第 j個(gè)無(wú)人機(jī)的狀態(tài)信息。aij=0則表示第i個(gè)無(wú)人機(jī)不能接受第 j個(gè)無(wú)人機(jī)的狀態(tài)信息。圖G的度矩陣為 D=[dij]∈?n×n，當(dāng)i=j時(shí)，L=[lij]∈ ?n×n表示圖G的Laplacian矩陣，當(dāng)i=j時(shí)，當(dāng)i≠j時(shí)，lij=-aij。

對(duì)控制輸入ui2設(shè)計(jì)如下形式：

其中，k3>0，k4>0為正常數(shù)。

4 主要結(jié)果

為了后續(xù)理論證明，首先定義矩陣 Z1=[x11,x21,…,xN1]T,Z2=[x12,x22,…,xN2]T,Z3=[x13,x23,…,xN3]T,Z4=[x14,x24,…,xN4]T。在給出本文主要結(jié)果之前，首先給出以下引理。

引理1[14]考慮一個(gè)時(shí)變級(jí)聯(lián)系統(tǒng)z=f( )t,z，可以將其寫(xiě)成：

其中，z1∈?n,z2∈?m。函數(shù) f1(t ,z1)在(t ,z1)處是連續(xù)可微的，f2(t ,z2)和g(t ,z1,z2)是局部Lipschitz的。系統(tǒng)式（12）可以看成是系統(tǒng)：

受到系統(tǒng)Σ2的輸出擾動(dòng)。

引理2[14]如果滿足以下條件，那么，級(jí)聯(lián)時(shí)變系統(tǒng)（12）將達(dá)到全局一致穩(wěn)定：

（1）子系統(tǒng)（13）是全局一致穩(wěn)定的；

（2）級(jí)聯(lián)函數(shù)g(t ,z1,z2)對(duì)所有t≥t0滿足以下條件：

其中，θ1:?+→?+,θ2:?+→?+是連續(xù)函數(shù)；

（3）子系統(tǒng)Σ2是全局一致漸近穩(wěn)定的。

根據(jù)以上引理，給出本文主要結(jié)果，如下：

定理1假設(shè)系統(tǒng)通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為固定無(wú)向連通圖，如果k1>0和k2>0是常數(shù)，且 L∈?n×n是系統(tǒng)無(wú)向連通圖的Laplacian矩陣，那么系統(tǒng)

將達(dá)到全局一致穩(wěn)定。

證明 選擇Lyapunov函數(shù)為：

因?yàn)閏osh(x )≥1，ln[c osh(xi-xj) ]≥0，aij≥0，故式（15）為正定的，對(duì)其求導(dǎo)得：

根據(jù)式（8）、式（17）進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得：

進(jìn)一步可得：

且對(duì)于無(wú)向連通圖有aij=aji，則以上可寫(xiě)成：

因此，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論可知，系統(tǒng)式（15）是全局一致穩(wěn)定的。

定理2假設(shè)系統(tǒng)通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是固定無(wú)向連通圖，則系統(tǒng)式（8）在控制律式（10）和式（11）作用下能夠達(dá)到全局一致穩(wěn)定。

證明 在控制律式（10）和式（11）的作用下，系統(tǒng)式（8）可以寫(xiě)成如下形式：

根據(jù)級(jí)聯(lián)系統(tǒng)原理，系統(tǒng)式（19）可以被看成是系統(tǒng)式（15）被以下系統(tǒng)：

級(jí)聯(lián)，級(jí)聯(lián)項(xiàng)為Z3。

（1）根據(jù)定理1，如果系統(tǒng)的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是固定無(wú)向連通的，則子系統(tǒng)式（15）是全局一致穩(wěn)定的；當(dāng)V1=0時(shí)，從式（19）可得，Z2=0，則從公式（15）易得 Z1=0，根據(jù)不變集理論，子系統(tǒng)式（21）根據(jù)定理1可證明是全局一致漸近穩(wěn)定的。

（2）級(jí)聯(lián)項(xiàng) Z3滿足式（14）條件。

基于以上兩個(gè)條件，再根據(jù)引理2可知，系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為固定無(wú)向連通情況下，系統(tǒng)式（8）在控制律式（10）和式（11）的作用下能夠達(dá)到全局一致穩(wěn)定，證畢。

定理3假設(shè)系統(tǒng)通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是固定無(wú)向連通圖，則系統(tǒng)式（8）在以下編隊(duì)控制算法作用下能夠收斂到給定值，即形成固定的隊(duì)形。

其中，都為正常數(shù)分別表示各狀態(tài)之間的編隊(duì)距離。定理3的證明過(guò)程與定理1、定理2類似，此處不再重述。

5 仿真驗(yàn)證

本章基于Matlab仿真平臺(tái)直接對(duì)級(jí)聯(lián)后的模型式（8）進(jìn)行數(shù)值仿真研究，進(jìn)一步闡述所提控制方法的有效性?；谒嵋恢滦运惴ǖ目刂扑枷雽?duì)多無(wú)人機(jī)系統(tǒng)一致性控制及編隊(duì)控制進(jìn)行仿真研究。為了驗(yàn)證所提控制方法的有效性，本文對(duì)比了無(wú)人機(jī)輸入不受約束情況下無(wú)人機(jī)的運(yùn)動(dòng)情況。

5.1 一致性仿真

假設(shè)系統(tǒng)是由6架具有相同機(jī)械結(jié)構(gòu)的無(wú)人機(jī)組成的多無(wú)人機(jī)系統(tǒng)，每一個(gè)無(wú)人機(jī)只能夠和其鄰居無(wú)人機(jī)相互通信，系統(tǒng)通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。

根據(jù)圖論相關(guān)知識(shí)，多無(wú)人機(jī)通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖的信息可由以下矩陣表示，其中矩陣為D度矩陣，矩陣L是Laplacian矩陣，其定義見(jiàn)第3章：

圖1 6架無(wú)人機(jī)的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

對(duì)輸入約束下多無(wú)人機(jī)一致性控制問(wèn)題研究時(shí)對(duì)比研究了輸入不受約束情況下無(wú)人機(jī)系統(tǒng)各狀態(tài)的變化情況。假設(shè)兩組實(shí)驗(yàn)仿真數(shù)據(jù)一致，各狀態(tài)初始值為下：6架無(wú)人機(jī)狀態(tài) xi1初始值為{-30,-10,0,2,10,50}；6架無(wú)人機(jī)狀態(tài)xi2初始值為{10,0.1,2.5,0,-5.5,-10}；6架無(wú)人機(jī)狀態(tài) xi3初始值為{0.15,0.3,-0.2,0.5,-0.1,0.4}；6架無(wú)人機(jī)狀態(tài) xi4初始值為{0.5,0.1,0.12,0.4,0.12,0.18}。

圖2～圖5為輸入不受約束下無(wú)人機(jī)級(jí)聯(lián)系統(tǒng)各狀態(tài)的變化情況，圖6～圖9表示了輸入約束下無(wú)人機(jī)級(jí)聯(lián)系統(tǒng)各狀態(tài)的變化情況。

當(dāng)無(wú)人機(jī)控制輸入不受約束時(shí)，狀態(tài)xi3和狀態(tài)xi4能夠達(dá)到一致，但是由于控制輸入過(guò)大，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生飽和作用，所以狀態(tài)xi1和狀態(tài)xi2無(wú)法達(dá)到一致。

圖2 輸入不受約束下xi1的一致性

圖3 輸入不受約束下xi2的一致性

圖4 輸入不受約束下xi3的一致性

圖5 輸入不受約束下xi4的一致性

圖6 輸入約束下xi1的一致性

圖7 輸入約束下xi2的一致性

圖8 輸入約束下xi3的一致性

圖9 輸入約束下xi4的一致性

從圖6～圖9可以看出，在所設(shè)計(jì)輸入約束一致性算法作用下，無(wú)人機(jī)級(jí)聯(lián)系統(tǒng)4個(gè)狀態(tài)都能夠趨于一致。為了更好地說(shuō)明方法的有效性，通過(guò)對(duì)每個(gè)狀態(tài)建立3組元素作為無(wú)人機(jī)在空間中3個(gè)坐標(biāo)軸的數(shù)據(jù)，選擇6架無(wú)人機(jī)初始位置為[30,-30,-30]、[90,-10,70]、[40,0,30]、[0,2,-40]、[10,10,-20]、[-50,50,-100]，無(wú)人機(jī)在空間中運(yùn)動(dòng)軌跡如圖10所示，從圖10可以看出，無(wú)人機(jī)在空間中最終能夠趨于一致的狀態(tài)。

圖10 無(wú)人機(jī)在空間中的一致性

5.2 編隊(duì)仿真

編隊(duì)控制可以看成是一致性控制的延伸，本節(jié)將基于編隊(duì)控制算法式（21）和式（22）對(duì)系統(tǒng)模型式（8）進(jìn)行編隊(duì)控制仿真研究?？紤]3個(gè)無(wú)人機(jī)的直線編隊(duì)，且系統(tǒng)通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為無(wú)向連通圖，如圖11所示。

圖11 三架無(wú)人機(jī)的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

根據(jù)圖論相關(guān)知識(shí)，多無(wú)人機(jī)通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖的信息可由以下度矩陣和Laplacian矩陣表示：

基于所設(shè)計(jì)的一致性控制算法，3架無(wú)人機(jī)在空間中初始位置為[10,1,-3]、[-6,3,7]、[7,-5,3]。無(wú)人機(jī)在空間中編隊(duì)控制的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖12所示，從圖中可以看到，系統(tǒng)中3架無(wú)人機(jī)在所涉及的編隊(duì)控制算法下最終能夠保持直線隊(duì)形運(yùn)動(dòng)。

圖12 無(wú)人機(jī)在空間中的編隊(duì)

6 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)復(fù)雜的多無(wú)人機(jī)系統(tǒng)模型，通過(guò)利用級(jí)聯(lián)系統(tǒng)理論處理復(fù)雜非線性模型的優(yōu)點(diǎn)，將一般性的多無(wú)人機(jī)模型簡(jiǎn)化為級(jí)聯(lián)形式，然后針對(duì)級(jí)聯(lián)后的系統(tǒng)模型，基于輸入約束一致性控制算法對(duì)多無(wú)人機(jī)編隊(duì)控制問(wèn)題進(jìn)行了研究。利用雙曲正切函數(shù)的有界性質(zhì)，通過(guò)在控制器設(shè)計(jì)時(shí)引入雙曲正切函數(shù)研究了在輸入約束一致性算法下系統(tǒng)的一致性控制問(wèn)題。最后，將輸入約束一致性算法思想應(yīng)用到編隊(duì)控制算法的設(shè)計(jì)中，研究了多無(wú)人機(jī)的編隊(duì)控制問(wèn)題?；贛atlab仿真平臺(tái)對(duì)所提出的控制算法驗(yàn)證其有效性，仿真結(jié)果表明，在所提出的一致性控制算法的作用下，級(jí)聯(lián)后系統(tǒng)所有狀態(tài)最終都能夠得到收斂到一致。在基于輸入約束一致性控制算法思想設(shè)計(jì)的編隊(duì)控制算法下，多無(wú)人機(jī)能夠形成固定的隊(duì)形，表明了所提控制方法的有效性。本文假設(shè)系統(tǒng)通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為固定無(wú)向的通信拓?fù)?，后續(xù)考慮具有約束情況下具有切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的多無(wú)人機(jī)一致性控制問(wèn)題值得去研究。

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