具有完全形式的邊值問題解的存在唯一性

，

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 山東 青島 266590)

在材料力學(xué)中，具有完全形式的非線性(非線性項(xiàng)為連續(xù)函數(shù))四階兩點(diǎn)邊值問題描述了兩端簡(jiǎn)單支撐的彈性梁在受力狀態(tài)下的平衡方程。非線性項(xiàng)中未知函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)、未知函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)、未知函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)分別表示梁的隅角、彎矩和剪力，因此具有完全形式的非線性四階兩點(diǎn)邊值問題能全面、準(zhǔn)確地反映彈性梁的受力狀態(tài)。當(dāng)非線性項(xiàng)中含有未知函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，彈性梁?jiǎn)栴}的研究較為普遍[1-8]，所用的研究方法主要為先驗(yàn)估計(jì)和Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理。對(duì)于非線性項(xiàng)中含有未知函數(shù)的所有低階導(dǎo)數(shù)時(shí)，彈性梁?jiǎn)栴}的研究較少[9-15]，主要原因是未知函數(shù)三階導(dǎo)數(shù)的存在導(dǎo)致很難對(duì)具有完全形式的非線性四階兩點(diǎn)邊值問題給出解的先驗(yàn)估計(jì)，從而彈性梁?jiǎn)栴}的研究有一定的理論難度，不易解決。

本文中假設(shè)非線性項(xiàng)在局部滿足Lipschitz條件，利用降階方法，將具有完全形式的非線性四階兩點(diǎn)邊值問題轉(zhuǎn)化為算子的不動(dòng)點(diǎn)問題，利用壓縮映射原理得到具有完全形式的非線性四階兩點(diǎn)邊值問題解的存在唯一性結(jié)論。

1　預(yù)備知識(shí)

具有完全形式的非線性四階兩點(diǎn)邊值問題為

(1)

式中：u(t)為未知函數(shù)；t為自變量；f[t,u(t),u′(t),u″(t),u?(t)]為非線性項(xiàng)。

為了得到本文的主要結(jié)果，給出邊值問題(1)的Green函數(shù)G(t,s)(其中s為積分變量，s∈[0,1])及其相關(guān)的性質(zhì)和引理。

對(duì)于u(4)(t)=f[t,u(t),u′(t),u″(t),u?(t)]，令φ(t)=f[t,u(t),u′(t),u″(t),u?(t)]，邊值問題(1)可化為

(2)

由文獻(xiàn)[16]可知，邊值問題(2)轉(zhuǎn)為積分方程

(3)

其中

在積分方程(3)的兩邊求導(dǎo)可得

(4)

(5)

，

(6)

其中

令u″(t)=v(t)，則邊值問題(1)可轉(zhuǎn)化為以下2個(gè)邊值問題

(7)

和

(8)

價(jià)于如下算子方程解的存在性，即

φ=Aφ

，

(9)

其中算子A∶C[0,1]→C[0,1]定義為

f[t,uφ(t),yφ(t),vφ(t),zφ(t)],

(10)

2　主要結(jié)論

引理1假設(shè)存在常數(shù)K>0;d1,d1,d2,d3≥0,使得函數(shù)f(t,u,y,v,z)在集合BK上滿足

|f(t,u,y,v,z)|≤K

，

(11)

且對(duì)任意(t,u,y,v,z),(t,ui,yi,vi,zi)∈BK(i=1,2)有

|f(t,u1,y1,v1,z1)-f(t,u2,y2,v2,z2)|≤

d0|u2-u1|+d1|y2-y1|+d2|v2-v1|+d3|z2-z1|。

(12)

如果

(13)

則算子A是定義在集合B[O,K]上的壓縮算子。

證明：任取φ∈B[O,K]，則式(10)中的uφ(t)、yφ(t)、vφ(t)、zφ(t)滿足

從而當(dāng)φ∈B[O,K]，有

這說明算子A是定義在集合B[O,K]上的映射。再由式(11)可知，A為B[O,K]到其自身的映射。

根據(jù)式(10)、(12)有

|(Aφ2)(t)-(Aφ1)(t)|=

|f[t,u2(t),y2(t),v2(t),z2(t)]-

f[t,u1(t),y1(t),v1(t),z1(t)]|≤

d0|u2(t)-u1(t)|+d1|y2(t)-y1(t)|+

d2|v2(t)-v1(t)|+d3|z2(t)-z1(t)|。

由此可知，當(dāng)式(13)成立時(shí)，算子A是定義在B[O,K]上的壓縮算子。證畢。

定理1在引理1的假設(shè)下，邊值問題(1)存在滿足以下估計(jì)的唯一解，

(14)

證明:要證明邊值問題(1)有唯一解，只須說明邊值問題(7)、(8)有唯一解即可，而邊值問題(7)、(8)有唯一解只須算子A在集合B[O,K]中有唯一不動(dòng)點(diǎn)。由引理1可知，算子A為B[O,K]到其自身的壓縮算子，因此由壓縮映射原理可知，算子A在B[O,K]中有唯一不動(dòng)點(diǎn)，進(jìn)而邊值問題(1)存在滿足條件的唯一解。證畢。

在實(shí)際的彈性梁?jiǎn)栴}中，只有正解的存在性才有意義，下面考慮邊值問題(1)正解的存在唯一性。

令

0≤f(t,u,y,v,z)≤K

,

(15)

0≤(Aφ)(t)≤K，t∈[0,1]。

由壓縮原理可知，邊值問題(1)的解可由迭代得到。特別取φ0(t)=f(t,0,0,0,0)，作如下迭代:

φk+1=f[t,uφk(t),yφk(t),vφk(t),zφk(t)]，k=0,1,2,…。

(16)

其中φ0為算子方程(9)在B[O,K]上的唯一解，從

特別地，當(dāng)f不依賴于u′和u?時(shí)，迭代序列相對(duì)于初始函數(shù)是單調(diào)的，即當(dāng)邊值問題(1)退化為

(17)

時(shí)，可得定理3。

證明:根據(jù)式(7)、(8)有

其中

從而

t∈[0,1]，k=1,2,…，(18)

t∈[0,1]，k=1,2,…。(19)

注：定理3中的函數(shù)g在有界閉集DK上而非[0,1]×2上滿足一定的條件, 因而初始值函數(shù)可取

3　總結(jié)

本文中利用降階方法， 將具有完全形式的四階兩點(diǎn)邊值問題解的存在唯一性問題轉(zhuǎn)化為算子不動(dòng)點(diǎn)的存在唯一性問題。 非線性項(xiàng)在局部滿足Lipschitz條件下， 利用壓縮映像原理得到了四階兩點(diǎn)邊值問題解的存在唯一性。 在物理學(xué)、 力學(xué)等領(lǐng)域中， 本文中的結(jié)論具有重要的價(jià)值。在今后的研究工作中， 可以考慮應(yīng)用全局分歧理論研究解的存在性或者利用不動(dòng)點(diǎn)理論來研究非線性項(xiàng)滿足Nagumo條件下正解的存在性。