油氣鉆井巖屑沉降阻力計算模型

孫曉峰 張克博 陳 燁 曲晶瑀 湯 捷 屈俊波

東北石油大學石油工程學院

0 引言

顆粒在介質(zhì)中沉降的阻力研究廣泛應用于選礦、煤炭、化工及石油工程等領域，石油天然氣工業(yè)領域典型的應用包括鉆井工程中巖屑和壓裂液中支撐劑的沉降。在鉆井工程中經(jīng)常會發(fā)生停泵工況，此時，為避免巖屑由于重力作用沉降在造斜段處下滑埋井眼等安全事故的發(fā)生，需要準確計算巖屑顆粒的沉降速度、預測井底巖屑床厚度。因此，深入研究巖屑顆粒在液體中的自由沉降規(guī)律，對于高效、安全地鉆井至關重要。

1687年，牛頓（Newton）給出了平板在流體中運動的阻力公式[1]；1851年Stokes[2]認為在顆粒雷諾數(shù)較低的情況下，可以忽略壓差阻力，并推導出了球體顆粒在液體中運動的黏性阻力公式；1867年，Rittinger[3]根據(jù)Newton提出的平板在流體中的阻力公式，推導出球體在流體中運動的阻力公式，后人稱之為Newton-Rittinger公式，最初的Newton-Rittinger公式與實驗值誤差較大，后來在不斷實踐與應用中進行了修正[4-6]。錢寧和萬兆惠[7]及Peden和Luo[8]認為Stokes公式應用于雷諾數(shù)小于0.1的情況，但是多數(shù)文獻[4-6,9-12]認為Stokes公式在雷諾數(shù)小于1時使用；Newton-Rittinger公式應用于湍流區(qū)，適用雷諾數(shù)范圍[4-5]在103～105；1980年，Kao和Hwang[13]用Allen公式計算顆粒沉降速度，該公式適用的雷諾數(shù)范圍[6,14]介于30～300；對于過渡區(qū)的始段與末段選礦工程[4-6,14]中也給出了相應的經(jīng)驗公式。

2007年Shah等[11]研究了多位學者[15-21]關于顆粒在非牛頓流體中的沉降實驗數(shù)據(jù)，認為顆粒沉降阻力公式中的系數(shù)是雷諾數(shù)與流性指數(shù)n的函數(shù)，其計算模型適用雷諾數(shù)介于0.001～1 000，Peden和Luo[8]也得出過同樣的結(jié)論，其模型適用的雷諾數(shù)范圍小于200；Shahi和Kuru[22-23]在2015年和2016年利用PIS（Particle Image Shadowgraph）技術分別研究了顆粒的沉降規(guī)律，得出了半經(jīng)驗公式，并對Shah等[11]的模型進行了修正，有效地提高了預測精度；2013年，Terfous等[24]利用球體顆粒的阿基米德數(shù)，求解顆粒雷諾數(shù)和阻力系數(shù)，該方法適用于雷諾數(shù)介于（0.1～5）×104的球體顆粒沉降；2012年和2016年，Elgaddaf i等[25-26]以聚陰離子纖維素（PAC）懸浮液、低毒礦物油以及Herschel-Bulkley流體作為基礎液，并在其中添加不同濃度的纖維，發(fā)現(xiàn)在基礎液中添加纖維能為顆粒增加額外的纖維阻力，有效降低了顆粒的沉降速度；2010年和2014年Bro?ek和Surowiak等[27-28]考慮了顆粒雷諾數(shù)大于500時的情況，建立了沉降末速度預測模型，所得沉降預測模型與Newton-Rittinger公式很接近。

雖然選礦工程中各流態(tài)都有相應的球形顆粒沉降末速度預測模型，但是在選擇計算模型之前必須判斷雷諾數(shù)，而顆粒雷諾數(shù)又與沉降末速度相關，盡管使用圖表法[4-6]可以不用判斷雷諾數(shù)，但是這會造成較大的誤差且使用起來不夠方便；而近些年對于沉降的研究多以球體或天然沙粒為實驗對象，討論顆粒在特定流體中的沉降規(guī)律，且不同的模型有不同的適用范圍。而在鉆井工程中，巖屑顆粒的形態(tài)與球體及天然沙粒有較大差別，因此，筆者以上返巖屑顆粒為實驗對象，具體研究其沉降規(guī)律，并試圖提出一種適用顆粒雷諾數(shù)范圍更廣的顆粒沉降阻力預測模型。

1 巖屑在牛頓流體中的沉降阻力模型

巖屑顆粒在沉降時受到的阻力除了與流體密度、沉降速度、顆粒尺寸及流體黏度有關外，還與巖屑的表面粗糙度和形狀系數(shù)相關。利用π定理求巖屑顆粒在液體中沉降時所受阻力，即：

這里，我們選取顆粒當量直徑、流體密度和沉降速度作為基本變量，則利用π定理，有則此時顆粒所受阻力的函數(shù)關系可表達為：

即：

由式（2）可知，顆粒沉降時所受阻力是多個變量的函數(shù)，需要進行一定的簡化。由于巖屑顆粒的形態(tài)千變?nèi)f化，為方便描述它的尺寸，一般將其用當量球體表示，則此時顆粒形狀系數(shù)為常量1；同時，顆粒雷諾數(shù)可以表示為 ；此外，由于巖屑顆粒形態(tài)的差異化，很難將表面粗糙度δ作為參變量來確定其對沉降阻力的影響，但是，通過量綱分析法可以確定自由沉降速度是粗糙度的函數(shù)，而自由沉降速度又與顆粒雷諾數(shù)相關，因此，式（2）可以化簡為：

式中Ff表示顆粒沉降所受阻力，N；ρf表示沉降液密度，kg/m3；μ表示沉降液黏度，Pa·s；dp表示顆粒當量直徑，m；v表示顆粒自由沉降末速度，m/s；δ表示絕對粗糙度，m；χ表示顆粒形狀系數(shù)，無量綱；表示顆粒沉降阻力系數(shù)，無量綱。

顆粒在液體中沉降時主要受到重力、浮力以及阻力，當顆粒達到沉降末速度時其受力處于平衡狀態(tài)，則此時有：

令式（3）等于式（4），得顆粒沉降阻力系數(shù)表達式：

式中V表示巖屑顆粒的體積，m3；ρs表示巖屑顆粒密度，kg/m3；g表示重力加速度，m/s2。

當把巖屑視為當量球體時，并且在顆粒雷諾數(shù)小于1的情況下，顆粒沉降所受到的壓差阻力可以忽略不計，主要考慮黏性阻力，基于此，1851年Stokes[2]推導得出球形顆粒沉降時的黏性阻力式：

將式（6）帶入式（4），并用球體顆粒的體積表達式代替巖屑體積，此時可得沉降末速度（vs）表達式為：

隨著顆粒沉降速度的增大，黏性阻力所占比重逐漸減小，壓差阻力不再忽略，當達到湍流時（一般認為是顆粒雷諾數(shù)大于1 000），黏性阻力對沉降影響較小，主要考慮壓差阻力，此時用修正后的Newton-Rittinger式為：

當在紊流繞流區(qū)間完全忽略黏性阻力時，壓差阻力等于浮重，此時式（8）中阻力系數(shù)取 ，將式（8）帶入式（4）中，湍流區(qū)顆粒沉降末速度（vN-R）表達式為：

在過渡區(qū)（即顆粒雷諾數(shù)大于1小于1 000時），顆粒沉降既受到黏性阻力，又有壓差阻力，任何一項都不可忽略，當受力平衡時，黏性阻力與壓差阻力之和等于有效浮重，表達式為：

隨著流態(tài)從層流到過渡區(qū)，再到紊流區(qū)，顆粒所受黏性阻力占比從最大逐漸減小到可以忽略，而壓差阻力的趨勢正好相反，但是總阻力依然等于浮重，得：

我們稱A和B分別為黏性阻力占比系數(shù)與壓差阻力占比系數(shù)。實際上，隨著顆粒雷諾數(shù)的變化，黏性阻力及壓差阻力不能簡單地用Stokes公式或Newton-Rittinger公式乘以一個常系數(shù)，由式（3）可知阻力系數(shù)為雷諾數(shù)的函數(shù)，對比式（10），認為阻力占比系數(shù)是顆粒雷諾數(shù)的函數(shù)，即A=g(Rep)，B=1 － g(Rep)。

2 巖屑在冪律流體中的沉降阻力模型

現(xiàn)場除少數(shù)鉆井液體系為牛頓流體外，多數(shù)鉆井液體系都符合冪律流型。對于冪律流體來說，阻力系數(shù)除了與顆粒雷諾數(shù)相關外，還與流性指數(shù)相關[8,11,20]，但當顆粒雷諾數(shù)小于10時，顆粒在冪律流體沉降的阻力系數(shù)接近于在牛頓流體中的值[8]，此時，Stokes定律依然適用。

對于冪律流體，其黏度表達式[16]為：

式中K表示稠度系數(shù)，Pa·sn；n表示流性指數(shù)，無量綱。

將上式帶入到式（7）中，則斯托克斯沉降速度式變?yōu)椋?/p>

當沉降處于紊流區(qū)時，顆粒只受壓差阻力，阻力系數(shù)為常量，與雷諾數(shù)及流性指數(shù)無關，所以冪律流體中顆粒沉降的壓差阻力式不變，沉降末速度vN-R也不變，此時顆粒沉降阻力預測模型式（10）變?yōu)椋?/p>

由于顆粒在牛頓流體中沉降時，阻力系數(shù)為雷諾數(shù)的函數(shù)，認為阻力占比系數(shù)也為雷諾數(shù)的函數(shù)，同樣地，由于冪律流體中顆粒沉降阻力系數(shù)是雷諾數(shù)和流性指數(shù)的函數(shù)[8,11,20]，則可以認為冪律流體中的顆粒沉降阻力占比系數(shù)A和B也為雷諾數(shù)和流性指數(shù)的函數(shù)，即冪律流體中，X、Y為無量綱參數(shù)，是流性指數(shù)n的函數(shù)。

3 巖屑顆粒在飽和鹽水與冪律流體中的沉降實驗結(jié)果及分析

3.1 沉降實驗

筆者實驗所用巖屑分別選取于鶴煤3井500～800 m井段的碳酸鹽巖和松遼盆地X 井400～700 m沉積巖井段，共計18組，用不同孔徑的標準篩充分篩選后，分別選取粒徑在0.112～3.000 mm與0.45～1.25 mm范圍內(nèi)的巖屑顆粒作為沉降實驗研究對象。實驗用透明有機玻璃管模擬井筒，其內(nèi)徑為100 mm，長度為2 m，沉降液為常溫下的飽和鹽水和不同濃度的聚丙烯酰胺（PAM）溶液（PAM溶液的流變參數(shù)如表1所示），巖屑顆粒密度范圍介于2.1～2.4 g/cm3。

表1 PAM溶液流變參數(shù)表

巖屑粒徑與圓筒內(nèi)徑的比值小于0.03，盡可能地減小了管壁附加的阻尼效應。通過測量巖屑經(jīng)過玻璃管上兩個標記處的時間差來計算顆粒的沉降末速度，初始計時點距離玻璃管頂端100 cm，而終了計時點距離頂端170 cm。為減小測量誤差，采用以下方法進行實驗：每組沉降實驗先測量10次，求這10次測量的平均值，再進行第11次測量，求得前11次實驗的平均值；如果這兩個平均值之間的誤差不超過1%，則結(jié)束本組測量，如果大于1%，繼續(xù)實驗，直至最后一次求得的值與前一次所求值誤差不超過1%時一組測量結(jié)束；更換實驗對象，繼續(xù)上述步驟，至實驗結(jié)束。

3.2 顆粒沉降實驗結(jié)果及分析

3.2.1 實驗結(jié)果

根據(jù)第3節(jié)的顆粒沉降實驗，巖屑在飽和鹽水溶液沉降實驗共獲得了91組數(shù)據(jù)，不同樣本與粒徑范圍的巖屑顆粒沉降末速度如表2所示。

根據(jù)表2的實驗結(jié)果，以飽和鹽水各密度范圍巖屑顆粒沉降末速度的平均值為依據(jù)，繪制出巖屑顆粒沉降末速度隨粒度變化的曲線（圖1）。

由圖1可知，顆粒沉降末速度隨著巖屑密度與巖屑粒徑的增加而增加，但這種變化并不是線性的，而是呈對數(shù)曲線變化的趨勢（底數(shù)大于1的對數(shù)函數(shù)），即巖屑沉降末速度的增速隨著粒徑的增大而減緩，雖然巖屑顆粒的外觀呈現(xiàn)出不同形態(tài)，但這種變化趨勢與球體顆粒在牛頓流體中的沉降規(guī)律是一致的[24]。

表2 飽和鹽水溶液中巖屑沉降末速度實驗值表

圖1 不同密度的飽和鹽水中巖屑沉降末速度變化曲線圖

根據(jù)理論分析及實驗數(shù)據(jù)，可以得出顆粒雷諾數(shù)Rep與黏性阻力占比系數(shù)A的函數(shù)關系式：

再聯(lián)立式（11），可得顆粒雷諾數(shù)Rep與壓差阻力占比系數(shù)B的函數(shù)關系式：

則此時將式（15a）和式（15b）帶入式（10），預測模型變?yōu)椋?/p>

巖屑在PAM溶液沉降實驗共獲得了70組數(shù)據(jù)，不同樣本與粒徑范圍的巖屑顆粒沉降末速度如表3所示。

根據(jù)表3的實驗結(jié)果，以不同粒徑范圍沉降末速度的平均值為依據(jù)，作巖屑顆粒在冪律流體中沉降末速度隨粒度的變化曲線（圖2）。

由圖2可知，顆粒沉降末速度隨著粒徑增加而增加的規(guī)律與前文巖屑在牛頓流體中的沉降規(guī)律并不相同。巖屑在牛頓流體中沉降時隨粒徑增大呈對數(shù)曲線變化的趨勢（底數(shù)大于1的對數(shù)函數(shù)），而巖屑在冪律流體中沉降時隨粒徑增大呈指數(shù)曲線變化的趨勢（底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)），即巖屑沉降末速度的增速隨著粒徑的增大而增大，雖然巖屑顆粒的外觀呈現(xiàn)出不同形態(tài)，但這種變化趨勢與球體顆粒在冪律流體中的沉降規(guī)律是一致的[24]。為了研究顆粒在冪律流體中沉降時阻力占比系數(shù)A和B的變化規(guī)律，結(jié)合本文實驗數(shù)據(jù)及相關研究數(shù)據(jù)，得到不同流性指數(shù)下無量綱參數(shù)X與Y的值如表4所示。

根據(jù)表4的數(shù)據(jù)，回歸得到無量綱參數(shù)X和Y關于流性指數(shù)n與稠度系數(shù)K乘積的函數(shù)關系：

此時，式（14）變?yōu)椋?/p>

3.2.2 顆粒沉降末速度求解步驟

步驟（1）：對于冪律流體，根據(jù)已知流變參數(shù)，求出無量綱參數(shù)X、Y的值。

表3 不同濃度PAM溶液中巖屑沉降末速度實驗值表

圖2 不同濃度PAM溶液中巖屑沉降末速度變化曲線圖

步驟（2）：根據(jù)巖屑顆粒的已知參數(shù)，利用式（7）、（9）可計算出牛頓流體中巖屑顆粒的vs和vN-R，而利用公式（13）、（9）則可求解冪律流體顆粒的和vN-R。

步驟（3）：對于牛頓流體，將步驟（2）所求得的vs和vN-R值帶入式（16），得到顆粒阻力表達式，對于冪律流體，將步驟（2）所求得的vs'和 vN-R帶入

式（18），得到顆粒阻力表達式。

步驟（4）：根據(jù)步驟（3）并聯(lián)立式（4）可以求出巖屑的顆粒雷諾數(shù)Rep。

根據(jù)步驟（4）求得的顆粒雷諾數(shù)及其定義，求得顆粒沉降末速度v。

3.2.3 結(jié)果分析

當顆粒處在斯托克斯區(qū)域時，可以忽略壓差阻力，此時A=1，B=0，由式（15a）可得此時Rep=1.11，即式（14）所適用的顆粒雷諾數(shù)范圍的下限為1.11。當顆粒雷諾數(shù)不斷增大時，有：

由式（19）可知，當時，系數(shù)A=0，B=1，此時顆粒沉降可以只考慮壓差阻力，即預測模型適用顆粒雷諾數(shù)范圍的上限是正無窮。然而由于式（8）的顆粒雷諾數(shù)適用范圍介于103～105。因此，預測模型適用的顆粒雷諾數(shù)范圍介于1.11～105。

在巖屑沉降時，隨著顆粒雷諾數(shù)的逐漸增大，巖屑的黏性阻力占比系數(shù)以較快的變化速度在不斷地減小，而壓差阻力占比系數(shù)的變化趨勢正好相反，當顆粒雷諾數(shù)達到2.557 2時，黏性與壓差阻力占比系數(shù)相等（圖3），顆粒雷諾數(shù)達到100時，變化趨勢趨于平緩，此后，壓差阻力占比系數(shù)無限趨向于1，而黏性阻力占比系數(shù)無限趨近于0。

表4 不同流性指數(shù)下無量綱參數(shù)X與Y值表

圖3 阻力占比系數(shù)隨顆粒雷諾數(shù)變化曲線圖

假設一定粒徑與密度的顆粒在靜止流體中沉降，保持液體的密度近似不變，僅適度改變沉降液的黏度，此時顆粒所受浮力不變，即阻力一定，研究顆粒受到的黏性阻力與壓差阻力隨顆粒雷諾數(shù)變化的趨勢（圖4）。雷諾數(shù)較小時顆粒沉降只受黏性阻力，當顆粒雷諾數(shù)逐漸增加時，黏性阻力以較快的速率減小，雷諾數(shù)為100時，黏性阻力占比為12%，雷諾數(shù)為500時，占比為10%，可見在顆粒雷諾數(shù)在達到100后下降趨勢減緩，而壓差阻力的變化趨勢正好與之相反。同時，由圖4可知，在顆粒雷諾數(shù)達到2.944 6時，顆粒受到的黏性阻力與壓差阻力大小相等，但此時的雷諾數(shù)值較圖3中占比系數(shù)相等時的值大，這主要是因為在計算時式（14）中的相關值取較小數(shù)π/20，即在湍流區(qū)使用Newton-Rittinger公式時并沒有完全忽略黏性阻力。

圖4 顆粒所受的黏性阻力和壓差阻力隨顆粒雷諾數(shù)變化曲線圖

對預測模型的阻力系數(shù)進行誤差分析，可以得出誤差主要控制介于±20%的范圍，在試驗采集的91組數(shù)據(jù)中，有86組數(shù)據(jù)的阻力系數(shù)誤差在這一范圍內(nèi)。對預測模型沉降末速度進行誤差分析，發(fā)現(xiàn)有超過81%的誤差控制在±8%以內(nèi)，其中，有54組數(shù)據(jù)的絕對誤差小于5%，33組數(shù)據(jù)絕對誤差介于5%～10%，3組數(shù)據(jù)絕對誤差介于10%～20%，只有1組數(shù)據(jù)的絕對誤差大于20%，達到22.56%，同時，該數(shù)據(jù)點所對應的阻力系數(shù)絕對誤差也較大，達到33.43%，分析數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，該數(shù)據(jù)點的實驗值與同性質(zhì)巖屑顆粒的沉降末速度實驗值相差較大，認為造成該點數(shù)值誤差較大的原因極有可能是實驗誤差所致。最終，預測模型所得的沉降末速度與實驗值的絕對平均誤差為5.02%。

對于顆粒在冪律流體中的沉降，由于X和Y是流性指數(shù)n的函數(shù)，需要根據(jù)流體的流變參數(shù)確定X和Y值，再令黏性阻力占比系數(shù)A=1，可以確定出不同流變參數(shù)下式（18）的適用下限。同時，對某一特定的冪律流體而言，X可以求得且大于0，Y小于0，則A、B的變化趨勢與顆粒在牛頓流體中沉降的變化趨勢相同。當Rep不變，流性指數(shù)n與稠度系數(shù)K的乘積變化時，A的變化規(guī)律如圖5所示。由圖5可知，不同顆粒雷諾數(shù)下黏性阻力占比系數(shù)A隨流性指數(shù)n與稠度系數(shù)K的乘積增大而減小。

圖5 黏性阻力占比系數(shù)A隨n與K乘積的變化曲線圖

因為式（17）中無量綱參數(shù)X與Y的求解是依據(jù)有限的數(shù)據(jù)擬合得到的，所以預測模型式（18）僅適用有限的流性指數(shù)范圍，根據(jù)表4的數(shù)據(jù)，可以確定式（18）適用于流性指數(shù)介于0.062 3到1之間的冪律流體，適用的顆粒雷諾數(shù)下限由冪律流體的流性指數(shù)n與稠度系數(shù)K的乘積決定，適用上限不受流變參數(shù)的影響，為Newton-Rittinger公式的適用范圍，最大可達到105。

當巖屑顆粒在牛頓流體中沉降時，使用式（16）求解出顆粒雷諾數(shù)，若顆粒雷諾數(shù)介于1.11～105時，根據(jù)顆粒雷諾數(shù)的定義由求解出的雷諾數(shù)值計算沉降末速度；若由式（16）所得的雷諾數(shù)小于1.11，則此時得出的顆粒雷諾數(shù)值與顆粒沉降的真實值有較大差距，不能由顆粒雷諾數(shù)的定義直接反求顆粒沉降末速度，但此時已經(jīng)判斷出雷諾數(shù)小于1.11，因而可以用Stokes定律，即式（7）直接求解沉降末速度。因此，根據(jù)筆者提出的牛頓阻力沉降公式，可以計算顆粒雷諾數(shù)介于0～105的巖屑在牛頓流體中的沉降。

同理，求解顆粒在冪律流體中的沉降末速度時，先由冪律流體的流變參數(shù)求得預測模型式（18）的適用下限，再由式（18）求得顆粒雷諾數(shù)，若其值在預測模型的適用范圍內(nèi)，可直接求解顆粒沉降末速度值；若所得值小于預測模型的適用下限，此時選用斯托克斯沉降公式的變形式（13）求解顆粒沉降末速度值。因此，根據(jù)本文提出的顆粒在冪律流體中的沉降模型，可以計算顆粒雷諾數(shù)介于0～105，流性指數(shù)介于0.062 3～1的顆粒沉降。

由于文中將巖屑顆粒視為球體，使用體積當量直徑所得顆粒當量直徑（dp）結(jié)果較為準確，求解式[4]為：

式中d1、d2表示相鄰篩孔尺寸，m；ψ表示篩分粒度與體積當量直徑比值，一般在1.15～1.30，無量綱。

4 結(jié)論

1）提出了一種顆粒沉降的阻力計算模型，當鉆井液為牛頓流體時，通過該模型可以預測顆粒雷諾數(shù)介于0～105的巖屑沉降末速度；當鉆井液為冪律流體時，可以預測顆粒雷諾數(shù)介于0～105、流性指數(shù)介于0.062 3～1的巖屑沉降末速度，這一范圍可以滿足鉆井工程中對巖屑沉降的預測需求。

2）當顆粒在牛頓流體中沉降時，隨著顆粒雷諾數(shù)的增大，巖屑沉降所受黏性阻力逐漸減小，壓差阻力逐漸增大；分析表明：顆粒雷諾數(shù)小于2.944 6時黏性阻力大于壓差阻力，顆粒雷諾數(shù)大于2.944 6時壓差阻力大于黏性阻力；顆粒雷諾數(shù)小于1.11時，巖屑沉降主要考慮黏性阻力，介于1.11～500時，巖屑沉降受到黏性阻力與壓差阻力的共同作用，大于500時，壓差阻力占比達到90%，在巖屑沉降中占主導作用。

3）顆粒在冪律流體中沉降時，所受到的黏性阻力和壓差阻力不僅與顆粒雷諾數(shù)相關，還與流性指數(shù)及稠度系數(shù)相關。

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