支撐共振法測(cè)量液體密度的研究

韓立立, 曹 旭, 王 岍, 王 杰, 齊 凱, 李書光

(1. 中國石油大學(xué)(華東), 山東 青島 266580; 2. 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué), 安徽 合肥 230029)

1 引 言

在工業(yè)生產(chǎn)和社會(huì)生活的眾多領(lǐng)域,液體密度的測(cè)量有著重要的意義。根據(jù)測(cè)量原理的不同,密度測(cè)量主要可以分為2類[1,2]:一類是基于密度基本公式的直接測(cè)量,如密度瓶法、密度計(jì)法、液體靜力天平法;一類是利用密度量與某些物理量關(guān)系進(jìn)行間接測(cè)量,如振動(dòng)法、射線法和聲學(xué)法。振動(dòng)法主要是通過測(cè)定液體流過振動(dòng)管時(shí)的共振頻率進(jìn)而求出待測(cè)液體的密度,現(xiàn)有的測(cè)量裝置往往需要和電磁線圈或者編程電路等相結(jié)合,測(cè)量結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜,成本較高,而且易受環(huán)境影響[3]。

本文借鑒實(shí)心棒狀材料楊氏模量橫振動(dòng)方程的求解方法,對(duì)內(nèi)部含流體管狀材料橫振動(dòng)方程進(jìn)行近似求解,得到密封管內(nèi)液體密度的測(cè)量公式,實(shí)驗(yàn)操作簡單,測(cè)量成本低,受氣壓、濕度等環(huán)境影響較小,而且有較高的精度。實(shí)驗(yàn)選取蒸餾水和質(zhì)量濃度分別為0.1、0.3、0.4 g/mL的蔗糖溶液進(jìn)行測(cè)量,測(cè)量得到的液體密度值與理論值之間的相對(duì)誤差在3%以內(nèi),并分析了實(shí)驗(yàn)誤差的來源以及減小誤差的措施。

2 測(cè)量原理

2.1 液體密度測(cè)量原理

對(duì)于內(nèi)部含有流體的管狀材料,其做微小橫振動(dòng)時(shí)滿足橫振動(dòng)Housner方程[4]:

(1)

式中:EI為管道橫截面的抗彎剛度;ρ為液體密度;A為管道的橫截面積;v為液體流速;m為空管子的單位長度質(zhì)量;y為管材距端面距離為x處的橫截面y方向的位移;t為時(shí)間。

如果控制液體的流速為0,即v=0,則:

(2)

對(duì)式(2)用分離變量法[5]求解,得到管狀材料內(nèi)部液體密度為:

(3)

式中:E為管狀材料的楊氏模量;D為管道外直徑;d為管道內(nèi)直徑;f為含液體試樣的基頻;L為管長。因此,液體密度測(cè)量的關(guān)鍵是對(duì)基頻的測(cè)量。

2.2 基頻測(cè)量裝置及原理

在支撐共振法測(cè)量材料的共振頻率的過程中,功率函數(shù)信號(hào)發(fā)生器發(fā)出500～2 000 Hz的正弦信號(hào)到發(fā)射換能器,將電信號(hào)轉(zhuǎn)換為機(jī)械振動(dòng)并激發(fā)試樣棒受迫振動(dòng),另一端的接收換能器再將沿試樣傳過來的機(jī)械振動(dòng)轉(zhuǎn)換為電信號(hào),經(jīng)過處理放大后在示波器上顯示出來[6],當(dāng)發(fā)生共振時(shí),振動(dòng)波形的幅度最大。測(cè)量裝置示意圖如圖1所示。

圖1 含液體管基頻測(cè)量裝置示意圖

對(duì)式(2)進(jìn)行數(shù)值求解可以得到試樣在做基頻振動(dòng)時(shí)存在2個(gè)節(jié)點(diǎn),節(jié)點(diǎn)位置分別距端面0.224L和0.776L[6]。但由于節(jié)點(diǎn)處的試樣很難被激振和拾振,振動(dòng)振幅接近零,無法直接測(cè)量基頻。而且考慮到支撐架對(duì)試樣還有阻尼作用,為了消除這一系統(tǒng)誤差,一般都是采用在節(jié)點(diǎn)兩側(cè)選取不同的點(diǎn)對(duì)稱支撐,測(cè)量出節(jié)點(diǎn)附近點(diǎn)的共振頻率后,擬合出相應(yīng)的共振頻率曲線方程,進(jìn)而求出試樣的固有頻率。

3 測(cè)量材料及方法

3.1 材料與儀器

實(shí)驗(yàn)材料主要為:黃銅管、蒸餾水、蔗糖(AR 分析純,國藥集團(tuán)化學(xué)試劑有限公司生產(chǎn))。

實(shí)驗(yàn)儀器:DCY-3D型功率函數(shù)信號(hào)發(fā)生器、動(dòng)態(tài)楊氏模量測(cè)定儀(主要包括底座、激發(fā)和接收換能器)、TDS1001型示波器、高精度光電天平(最小分度0.1 mg)。

3.2 方法與步驟

用光電天平稱量一定質(zhì)量的蔗糖,根據(jù)相應(yīng)濃度計(jì)算比例加入蒸餾水,溶解配置成濃度分別為0.1、0.3、0.4 g/mL的蔗糖溶液。測(cè)量黃銅試樣管的長度、內(nèi)外直徑及質(zhì)量,3次測(cè)量后取平均值。

將試樣管內(nèi)部裝滿蒸餾水,使用很小的一段熱縮管和塑料薄膜將端口密封,在將試樣管兩端對(duì)稱的平放于激發(fā)換能器與接收換能器上,支撐點(diǎn)距試樣管端口10 mm。

信號(hào)發(fā)生器發(fā)出正弦信號(hào)經(jīng)過激發(fā)換能器,電信號(hào)轉(zhuǎn)換為機(jī)械振動(dòng)并迫使試樣管發(fā)生振動(dòng),接收換能器接收振動(dòng)并轉(zhuǎn)換為電信號(hào),再傳輸?shù)绞静ㄆ魃巷@示出相應(yīng)波形。調(diào)節(jié)信號(hào)發(fā)生器輸出信號(hào)頻率,當(dāng)發(fā)生共振時(shí),示波器上的波形幅度最大,記錄此時(shí)正弦信號(hào)的頻率即為對(duì)應(yīng)支撐點(diǎn)的共振頻率。移動(dòng)換能器的位置,測(cè)量支撐點(diǎn)距試樣管端口分別為15,20,25,30,35,40,45,50,55,60 mm處試樣的共振頻率,記錄相應(yīng)數(shù)據(jù)。將蒸餾水換為不同濃度的蔗糖溶液,重復(fù)上述測(cè)量步驟。

4 測(cè)量數(shù)據(jù)及處理

4.1 測(cè)量數(shù)據(jù)

實(shí)驗(yàn)使用的黃銅試樣管參數(shù)如表1所示。

表1 黃銅管參數(shù)測(cè)量值

用支撐共振法測(cè)量內(nèi)部充滿不同溶液時(shí)黃銅試樣管的共振頻率如表2所示。

表2 黃銅試樣管充滿不同濃度溶液時(shí)的共振頻率 Hz

4.2 測(cè)量數(shù)據(jù)處理

利用Origin8數(shù)據(jù)處理軟件分別對(duì)4種振動(dòng)頻率數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘法多項(xiàng)式擬合[7,8]。經(jīng)過多次擬合發(fā)現(xiàn),當(dāng)擬合次數(shù)為3次時(shí),實(shí)驗(yàn)值與理論值最為接近,所以將擬合次數(shù)設(shè)為3次,得到的擬合圖像分別如圖2～圖5所示。

圖2 充滿蒸餾水黃銅管振動(dòng)位置頻率擬合曲線

圖3 充滿0.1 g/ml蔗糖黃銅管振動(dòng)位置頻率擬合曲線

將節(jié)點(diǎn)位置代入擬合多項(xiàng)式,求出節(jié)點(diǎn)處的共振頻率(基頻),具體結(jié)果如表3所示。

已知實(shí)驗(yàn)用黃銅管的楊氏模量為E=104 Gpa(生產(chǎn)廠家提供),將黃銅管的L、m、D、d、A、E以及f代入式(3)可以計(jì)算得到相應(yīng)液體密度如表4所示。

圖4 充滿0.3 g/ml蔗糖黃銅管振動(dòng)位置頻率擬合曲線

圖5 充滿0.4 g/ml蔗糖黃銅管振動(dòng)位置頻率擬合曲線

樣品種類節(jié)點(diǎn)位置/mm共振頻率/Hz蒸餾水40.54916.50.140.54910.7蔗糖溶液/g·mL-10.340.54901.40.440.54895.9

表4 液體密度測(cè)量結(jié)果及相對(duì)誤差

5 測(cè)量誤差分析

導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)結(jié)果誤差的原因主要從以下幾點(diǎn)考慮:1)由于試樣管不斷受迫振動(dòng),內(nèi)部流體流速很難保持零的狀態(tài),因此會(huì)產(chǎn)生一定的誤差;2)對(duì)管內(nèi)液體進(jìn)行密封時(shí),由于封口材料具有一定的質(zhì)量,導(dǎo)致試樣管單位質(zhì)量的測(cè)量計(jì)算出現(xiàn)誤差,因此,用支撐共振法測(cè)量液體密度應(yīng)該還有一項(xiàng)修正項(xiàng)[7],但由于受實(shí)驗(yàn)次數(shù)限制,修正項(xiàng)需要大量的測(cè)量才能得出,這對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生較大的誤差;3)最終結(jié)果也會(huì)受到測(cè)量過程中的各種因素的影響[8～11]。

在黃銅棒的相關(guān)參數(shù)測(cè)量的過程中,內(nèi)外徑d、D的及長度L的測(cè)量引起的誤差較大,下面分別對(duì)這幾個(gè)參數(shù)測(cè)量的不確定度進(jìn)行分析和計(jì)算。首先計(jì)算直接測(cè)量的內(nèi)外徑及長度的不確定度,直接測(cè)量量k的標(biāo)準(zhǔn)不確定度A類分量用算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差估算公式計(jì)算(置信概率p為0.683),即:

(4)

其中:n為在相同條件下測(cè)量的次數(shù),tp為與測(cè)量的次數(shù)有關(guān)的比例系數(shù)[9], 當(dāng)n=6時(shí),tp取1.11[10]。

合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度計(jì)算方法為:

(5)

而間接測(cè)量物理量密度的不確定度由內(nèi)外徑以及長度的不確定度決定。由統(tǒng)計(jì)理論可推出:

(6)

表5 相關(guān)參數(shù)多次測(cè)量數(shù)據(jù) mm

將表5中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)代入式(4)～式(6)中,聯(lián)立求解得到相關(guān)物理量及最終結(jié)果密度的不確定度如表6所示(以0.3 g/ml的蔗糖溶液為例)。

表6 銅管參數(shù)及液體密度的不確定度

液體密度的最終測(cè)量結(jié)果為:

ρ=(1285.1±24.6) kg/m3,p=68.3%

相對(duì)合成不確定度為:

6 結(jié) 論

通過對(duì)流體管道Housner方程的近似求解,得出密封管內(nèi)液體密度與管壁的基振頻率之間的關(guān)系式,進(jìn)而通過測(cè)量基振頻率求得液體密度,這是一種合理可行的測(cè)量方法。與傳統(tǒng)振動(dòng)法測(cè)量液體密度相比,該實(shí)驗(yàn)方法成本低、操作簡單、受環(huán)境影響小,有一定的推廣應(yīng)用價(jià)值。另外,本文對(duì)不同液體進(jìn)行了多次測(cè)量,并且對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行了誤差分析和不確定度處理,有利于進(jìn)一步在實(shí)驗(yàn)上對(duì)共振法測(cè)量液體密度進(jìn)行研究。

[參考文獻(xiàn)]

[1] 李興華. 密度計(jì)量[M]. 北京:中國計(jì)量出版社, 2002.

[2] 陳智軍，韓超，陳濤, 等. 基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的樂甫波液體密度粘度并行檢測(cè)研究[J]. 計(jì)量學(xué)報(bào), 2017, 38(6): 721-724.

[3] 魏新華, 龔家偉, 喻谷源, 等. 振動(dòng)管式液體密度傳感器機(jī)理的研究[J]. 農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào), 2011,32(5):89-93.

[4] 張悉德, 杜濤, 張文, 等. 輸送流體管道Housner方程的修正[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)與力學(xué), 1993, 14(2):147-149.

[5] 王龍, 李東霞. 動(dòng)態(tài)法測(cè)量楊氏模量的理論分析與Matlab輔助研究[J]. 大學(xué)物理, 2015, 34(10):39-42.

[6] 韓立立, 王岍. 支撐共振法測(cè)量固體材料楊氏模量[J]. 計(jì)量技術(shù), 2013, (11):20-22.

[7] 李偉明. 有限元模型修正方法及自由度匹配迭代技術(shù)研究[D]. 上海交通大學(xué), 2011:2-13.

[8] 顧英姿, 陳朝暉, 許常紅, 等. 液體靜力稱量法液體密度測(cè)量及其不確定度評(píng)定[J].計(jì)量技術(shù), 2006, (6):8-11.

[9] 虞仲博, 屠全良. 牛頓環(huán)實(shí)驗(yàn)等精度測(cè)量及其不確定度的評(píng)定與表示[J]. 物理實(shí)驗(yàn), 2000, 20(5):17-19.

[10] 劉才明. 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中測(cè)量不確定度的評(píng)定與表示[J]. 大學(xué)物理, 1997, 16(8):21-23.

[11] 余學(xué)鋒, 于杰, 王柯, 等. 基于證據(jù)理論的測(cè)量不確定度評(píng)定與分析[J]. 計(jì)量學(xué)報(bào), 2017, 38(2): 252-256.