單向纖維增強(qiáng)復(fù)合材料板I型裂紋尖端應(yīng)力場的有限元分析

任 雷 盛冬發(fā)

(西南林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，云南 昆明 650224)

纖維增強(qiáng)復(fù)合材料是一種新興材料，廣泛地應(yīng)用于航天航空、軍工、汽車工業(yè)和建筑等重要領(lǐng)域。材料在服役期間，經(jīng)常發(fā)生源于斷裂或者終結(jié)于裂紋擴(kuò)展的災(zāi)難性破壞事故，這些事故對人民的生命和財(cái)產(chǎn)造成重大損失。因此，對其斷裂力學(xué)性能的研究具有重要的理論意義和應(yīng)用前景，引起材料科學(xué)和力學(xué)界研究者的廣泛興趣。1965年，Shi等[1]已經(jīng)給出了各向異性材料裂紋尖端應(yīng)力場的解析解，應(yīng)力強(qiáng)度因子 (K) 和裂紋與材料主方向的夾角決定了各向異性材料裂尖應(yīng)力場的強(qiáng)度。各向異性與各向同性的不同在于裂紋不一定沿其初始方向自相似擴(kuò)展。國內(nèi)學(xué)者邵卓平[2]在2012年研究了木材的裂尖應(yīng)力場，預(yù)測木材的裂紋將沿著順紋方向擴(kuò)展。Gregory等[3]研究了各向異性和雙軸向遠(yuǎn)場載荷對單向離軸復(fù)合材料裂紋擴(kuò)展方向的影響，分別采用正應(yīng)力比理論、應(yīng)力多項(xiàng)式理論和應(yīng)變能密度理論分析了裂紋尖端應(yīng)力場和裂紋擴(kuò)展方向，理論上預(yù)測裂紋擴(kuò)展方向與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，得出正應(yīng)力比準(zhǔn)則能正確預(yù)測裂紋擴(kuò)展方向。張少琴等[4-5]對含裂紋碳纖維增強(qiáng)的復(fù)合材料層合板進(jìn)行了裂紋擴(kuò)展方向預(yù)測理論的研究，介紹了一種新的復(fù)合材料Z斷裂理論，并對含I型裂紋正交異性功能梯度材料板的應(yīng)力場和位移場進(jìn)行理論分析，得到了正交異性功能梯度材料板裂紋尖端應(yīng)力場、位移場和梯度應(yīng)力強(qiáng)度因子的理論計(jì)算公式。本研究在理論分析的基礎(chǔ)上，應(yīng)用ABAQUS有限元軟件分析了單向纖維增強(qiáng)復(fù)合材料板I型裂紋尖端附近的應(yīng)力場，預(yù)測了裂紋的擴(kuò)展方向并對影響裂紋擴(kuò)展的因素進(jìn)行討論。

1 研究方法

含一條裂紋長為2a的無限大正交各向異性板見圖1，受對稱荷載σ的作用。參考文獻(xiàn) [6]，由應(yīng)變應(yīng)力關(guān)系，在理論上分析裂紋尖端附近應(yīng)力場。

圖1正交各向異性I型裂紋板
Fig.1 Mode I crack of orthotropic plate

1.1 坐標(biāo)軸平行于彈性主方向時(shí)裂尖應(yīng)力場

當(dāng)圖1所示的坐標(biāo)軸平行于彈性主方向時(shí)，板的應(yīng)變應(yīng)力關(guān)系為

(1)

式 (1) 中柔度矩陣 [b] 中的柔度系數(shù)為：

利用式 (1)，可得I型裂紋尖端附近應(yīng)力場公式為：

(2)

式中：s1，s2為板關(guān)于彈性主方向坐標(biāo)系X-Y的特征根，且滿足：

b11s4+(2b12+b66)s2+b22=0

(3)

1.2 坐標(biāo)軸不平行于彈性主方向時(shí)裂尖應(yīng)力場

當(dāng)坐標(biāo)軸不平行于彈性主方向時(shí)，板的應(yīng)變應(yīng)力關(guān)系為

(4)

式 (1) 中的柔度矩陣 [b] 與式 (4) 中的柔度矩陣 [a] 之間滿足：

(5)

式中：[T]ε為變換矩陣，且：

式中：β為X軸與材料第一彈性主方向夾角。

利用式 (4)，可得I型裂紋尖端附近應(yīng)力場公式為：

(7)

式中：μ1，μ2為板關(guān)于非彈性主方向坐標(biāo)系X-Y的特征根，且滿足：

a11μ4-2a16μ3+(2a12+a66)μ2-2a26μ+a22=0

(8)

1.3 I型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子

根據(jù)有限大矩形平板I型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子可表示為[7-8]：

(9)

式中：C為修正系數(shù)，可取C為：

(10)

2 有限元分析

在理論分析的基礎(chǔ)上，建立二維有限元模型，應(yīng)用ABAQUS軟件計(jì)算與材料纖維方向成不同夾角的裂紋裂尖應(yīng)力場，并利用裂尖附近應(yīng)力值對裂紋擴(kuò)展方向進(jìn)行預(yù)測。有限元模型選用含中心裂紋的單位厚度平板拉伸試件 (圖2)，結(jié)合模型的尺寸與受力情況，可將其簡化為平面應(yīng)力問題，均選取裂紋上尖端進(jìn)行分析。

2.1 裂紋尖端應(yīng)力場

材料參數(shù)為：E1=12 GPa、E2=1.2 GPa、ν12=0.4、G12=G13=495 MPa、G23=85 MPa。纖維方向抗拉強(qiáng)度σ1=95.54 MPa，垂直纖維方向抗拉強(qiáng)度σ2=3.8 MPa。試件尺寸L=100 mm、2W=50 mm、2a=10 mm，左端固定，右端施加水平向右均布荷載為2 MPa，裂紋位于中間，纖維方向與裂紋方向夾角β分別為0°、30°、60°、90°。有限元分析所用單元類型為八節(jié)點(diǎn)雙二次平面應(yīng)力四邊形單元，裂尖處采用退化的1/4奇異等參元，奇異單元半徑為0.012 5 mm。

Mises應(yīng)力是綜合了3個(gè)主應(yīng)力的一種等效應(yīng)力，當(dāng)受力物體內(nèi)一點(diǎn)的Mises應(yīng)力達(dá)到某一定值時(shí)，材料就進(jìn)入塑性變形。應(yīng)用ABAQUS有限元分析軟件得出的4種裂紋試件的裂尖Mises應(yīng)力場云圖見圖3，裂尖附近的Mises應(yīng)力均在纖維方向達(dá)到最大。

圖2 有限元分析模型Fig.2 Finite element analysis model

圖3 4種裂紋試件裂尖附近的Mises應(yīng)力云圖Fig.3 The Mises stress nephogram around crack tip of 4 species

為了更直觀的反映裂紋尖端附近的應(yīng)力分布情況，裂紋尖端正前方與裂紋面垂直的應(yīng)力σY和平行于裂紋面的應(yīng)力σX的分布圖見圖4。

由圖4可知，距離裂尖較近的范圍內(nèi)應(yīng)力集中很明顯，應(yīng)力隨著裂尖距離增大迅速減小。

圖4裂尖正前方的σX和σY分布(θ=0°)
Fig.4 The distribution ofσXandσYfrom crack tip to up (θ=0°)

2.2 開裂方向預(yù)測

Buczek等[9]在預(yù)測復(fù)合材料裂紋擴(kuò)展方向的研究中發(fā)現(xiàn)，裂紋將沿著裂尖附近以裂尖為心圓周上 “切向比正應(yīng)力” 最大的方向擴(kuò)展，被稱為 “切向比正應(yīng)力準(zhǔn)則”。裂尖附近任一角度θ處沿著圓周切線方向的材料強(qiáng)度為：

Tθ=Asin2(β-θ)+Bcos(β-θ)

(11)

切向正應(yīng)力為：

(12)

式中：A，B分別為材料1，2主方向上材料的抗拉強(qiáng)度；β為纖維方向與裂紋方向的夾角 (圖5)。

圖5 切向正應(yīng)力示意圖Fig.5 Illustration of tangential normal stress

“切向比正應(yīng)力” 定義為：

(13)

3 影響裂紋擴(kuò)展的因素

3.1 裂紋方向與纖維方向之間夾角β對裂紋擴(kuò)展的影響

3.2 縫高比對裂紋擴(kuò)展的影響

4 結(jié) 論

本研究建立二維有限元模型，分析了與材料纖維方向成不同夾角的裂紋裂尖應(yīng)力場和切向比正應(yīng)力，并對裂紋方向與纖維方向夾角和縫高比對裂紋擴(kuò)展的影響進(jìn)行了討論。計(jì)算結(jié)果和實(shí)際情況吻合較好，得出如下結(jié)論：

1) 裂尖附近Mises應(yīng)力在材料纖維方向達(dá)到最大。

2) 裂尖附近應(yīng)力集中現(xiàn)象明顯，應(yīng)力隨著裂尖距離增大迅速減小。

4) 纖維方向與裂紋方向夾角越小，裂紋越容易擴(kuò)展。

5) 縫高比越大，裂紋容易擴(kuò)展。

[1] Sih G C, Paris P C, Irwin G R. On cracks in rectilinearly anisotropic bodies[J]. International Journal of Fracture Mechanics, 1965, 1(3): 189-203.

[2] 邵卓平. 植物材料 (木、竹) 斷裂力學(xué)[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2012.

[3] Gregory M A, Herakovich C T. Predicting crack growth direction in unidirectional composites[J]. Journal of Composite Materials, 1986, 20(1): 67-85.

[4] 張少琴, 楊維陽. 碳纖維增強(qiáng)復(fù)合材料板中I型裂紋擴(kuò)展方向預(yù)測理論研究[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2004,25(6): 653-660.

[5] 張少琴, 楊維陽, 張克維. 功能梯度材料板I型裂紋的斷裂力學(xué)研究[J]. 太原理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2005, 36(4): 470-473.

[6] 楊維陽, 李俊林, 張雪霞. 復(fù)合材料斷裂復(fù)變方法[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2005.

[7] Horstman R, Peters K A, Meltzer R L, et al. A summary of fracture mechanics concepts[J]. Journal of Testing & Evaluation, 1983, 11(1): 56-65.

[8] 中國航空研究院. 應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 1981.

[9] Buczek M B, Herakovich C T. Direction of crack growth in fibrous composites[J]. Mechanics of Composite Materials, 1983: 75-82.