考慮井壁摩擦隨機(jī)性的鉆柱動(dòng)力學(xué)模型

田家林， 楊應(yīng)林， 楊 琳, 吳志鑫， 申 彤， 李 蕾(.西南石油大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，成都 60500；2.西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，成都 6003)

隨著傳統(tǒng)油氣資源日趨枯竭，新型油氣資源開采力度逐漸增大，如頁巖氣、煤層氣等，使鉆井工程面臨更為復(fù)雜的地層工作環(huán)境。在現(xiàn)有鉆井技術(shù)基礎(chǔ)上，大位移定向井、水平井、分支井技術(shù)迅速發(fā)展與應(yīng)用。以頁巖氣開采中的大位移水平井為例，隨著靶徑的增加，井壁摩擦作用對(duì)鉆柱動(dòng)力學(xué)特性的影響所占比重越來越大，運(yùn)用現(xiàn)有研究方法與結(jié)論已不能滿足實(shí)際需求[1-3]。因此進(jìn)行井壁摩擦隨機(jī)性分析及其對(duì)鉆柱動(dòng)力學(xué)特性影響研究，對(duì)于發(fā)展新型油氣資源開采能力，提高復(fù)雜井身鉆井水平，具有重要的實(shí)際意義。

鉆井過程中，井下工況非常復(fù)雜，鉆頭破巖導(dǎo)致鉆柱振動(dòng)，而過于強(qiáng)烈的振動(dòng)容易導(dǎo)致液壓及電控系統(tǒng)出現(xiàn)過載或損壞等現(xiàn)象，給安全生產(chǎn)帶來一定隱患[4]。隨著各種新工藝不斷應(yīng)用，鉆進(jìn)時(shí)井壁摩擦影響因素眾多，使井下工具安全評(píng)價(jià)、提速增效研究面臨新挑戰(zhàn)。越來越多的學(xué)者與研究機(jī)構(gòu)也認(rèn)識(shí)到此問題的重要性，但是研究結(jié)論與實(shí)際情況仍然存在較大差異，對(duì)于井壁摩擦行為的描述方法有待進(jìn)一步完善[5-7]。實(shí)際上，忽略鉆柱與井壁摩擦的隨機(jī)性，或者不能準(zhǔn)確描述摩擦因數(shù)隨機(jī)場(chǎng)，都不能真實(shí)深入地反映鉆柱動(dòng)力學(xué)特性[8]。

基于此，本文在前期研究的基礎(chǔ)上，結(jié)合井下實(shí)際工況，進(jìn)行井壁摩擦隨機(jī)性以及其對(duì)鉆柱動(dòng)力學(xué)的影響研究。首先進(jìn)行井壁摩擦行為的分析，給出建立井壁摩擦隨機(jī)場(chǎng)的步驟，得到井壁摩擦隨機(jī)行為的描述方法。然后結(jié)合頁巖氣開采的工程背景，進(jìn)行水平井鉆柱動(dòng)力學(xué)模型分析，建立動(dòng)力學(xué)模型，給出各力的求解方法?？紤]鉆桿各點(diǎn)的接觸情況，給出動(dòng)力學(xué)模型的離散方法。為驗(yàn)證理論模型的準(zhǔn)確性，進(jìn)行試驗(yàn)測(cè)試和算例分析，根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)試確定基本輸入?yún)?shù)，將得到的振動(dòng)速度，與試驗(yàn)測(cè)試、定摩擦方法得到的結(jié)果以及關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行對(duì)比分析。

文章研究成果可為新型油氣資源開采條件下的鉆柱動(dòng)力學(xué)研究提供參考，同時(shí)，由于鉆柱動(dòng)力學(xué)結(jié)果是進(jìn)行井下工具動(dòng)載荷失效、巖石破碎效率評(píng)價(jià)的前提與依據(jù)，所以，研究成果也可為井下安全生產(chǎn)、提速增效方法與工具研究提供理論依據(jù)，對(duì)指導(dǎo)現(xiàn)場(chǎng)生產(chǎn)具有實(shí)際意義。

1 井壁摩擦隨機(jī)性研究

結(jié)合水平井工況條件，首先進(jìn)行鉆柱受力分析并建立分析模型,如圖1所示。其中，左邊界為分析段的坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)sta為分析段左邊界等效作用力，F(xiàn)fric為井壁對(duì)鉆柱的摩擦力，G為分析段鉆柱重力，m為分析段質(zhì)量，g為重力加速度，F(xiàn)har為鉆井液對(duì)鉆柱的作用力，F(xiàn)bit為巖石對(duì)鉆頭的作用力，且Fbit的大小與鉆壓WOB(weight on bit)相等。

圖1 鉆柱受力分析Fig.1 The forces analysis of drill string

井壁對(duì)鉆柱的摩擦力的重要特點(diǎn)在于其隨機(jī)性，體現(xiàn)在接觸副的產(chǎn)生位置、摩擦因數(shù)大小發(fā)生隨機(jī)改變。數(shù)學(xué)方法描述的準(zhǔn)確性對(duì)于計(jì)算結(jié)果的精度具有決定作用?？紤]井壁對(duì)鉆柱摩擦作用的特點(diǎn)，為了研究摩擦副產(chǎn)生位置的隨機(jī)性，引入與位移x對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量ξ。對(duì)于摩擦因數(shù)，通過統(tǒng)計(jì)分析井壁對(duì)鉆柱摩擦作用的隨機(jī)數(shù)據(jù)，隨機(jī)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出的分布規(guī)律可用高斯分布近似描述，建立相應(yīng)的分析方法。建立井壁對(duì)鉆柱隨機(jī)摩擦力分析模型為

(1)

f(x,ξ)的概率密度計(jì)算公式為

(2)

(3)

式中:{λi}與{φi(x)}分別為特征值與特征函數(shù);Zi(ξ)為互不相關(guān)的隨機(jī)變量。式(3)展開的優(yōu)勢(shì)在于在高斯平穩(wěn)場(chǎng)中一定是收斂的，相對(duì)于其他類型展開，在展開相同有限項(xiàng)時(shí)具有最小的均方誤差。根據(jù)鉆井過程井下工況，定義x為空間點(diǎn)坐標(biāo)，則有x=(x1,y1)，可進(jìn)行二維隨機(jī)場(chǎng)研究。同理，基于二維隨機(jī)場(chǎng)的構(gòu)建方法，可得到一維隨機(jī)結(jié)果。

Zi(ξ)對(duì)應(yīng)的矩陣形式每行組成一次實(shí)現(xiàn)中的隨機(jī)變量向量，每列為同一隨機(jī)變量在不同實(shí)現(xiàn)中的取值，各列相互獨(dú)立并且滿足正態(tài)分布。對(duì)于高斯隨機(jī)場(chǎng)，其中的獨(dú)立隨機(jī)變量Zi(ξ)仍為高斯模型，并且其數(shù)學(xué)期望滿足條件

(4)

在二維區(qū)域，特征函數(shù){φi(x)}滿足以下條件

(5)

式中:Ω為二維閉合區(qū)域；x和y為二維區(qū)域坐標(biāo)；δij為K-delta函數(shù)。

展開式(3)中特征值{λi}的解析解為[10]

(6)

計(jì)算過程中，對(duì)于特征值{λi}與特征函數(shù){φi(x)}，可通過求解第二類Fredholm方程得到[11]

(7)

式中:C(x1,y1;x2,y2)為二維隨機(jī)場(chǎng)協(xié)方差函數(shù)，其表達(dá)式為

(8)

其中|x1-x2|與|y1-y2|為二維隨機(jī)場(chǎng)樣本點(diǎn)距離。當(dāng)式(3)成立時(shí)，可將協(xié)方差函數(shù)用以下譜展開形式表示

(9)

同時(shí)，實(shí)際計(jì)算中可取M階截?cái)?，用模擬值近似表達(dá)理論協(xié)方差函數(shù)的結(jié)果為

(10)

在所述處理的基礎(chǔ)上，對(duì)于多維隨機(jī)變量的協(xié)方差函數(shù)可建立其對(duì)應(yīng)的矩陣關(guān)系，其表達(dá)式為

(11)

在利用以上建立的方法進(jìn)行求解后，為進(jìn)行誤差分析，可利用不同展開階數(shù)分析特征值λi(i=1,2,…,L)的變化趨勢(shì)，分析階數(shù)在整個(gè)K-L展開中的權(quán)重。也可利用協(xié)方差計(jì)算結(jié)果進(jìn)行誤差分析，當(dāng)式(10)成立時(shí)，將M階展開的協(xié)方差計(jì)算結(jié)果與理論協(xié)方差函數(shù)式(8)的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，可得到協(xié)方差、相關(guān)長(zhǎng)度、展開階數(shù)的相互關(guān)系。

(12)

2 鉆柱動(dòng)力學(xué)模型

在完成井壁摩擦隨機(jī)性研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)行鉆柱動(dòng)力學(xué)分析，根據(jù)圖1所示的受力分析模型，建立基于井壁隨機(jī)摩擦的水平鉆柱振動(dòng)分析模型[12]

(13)

要進(jìn)行振動(dòng)方程的求解，首先需要確定各個(gè)力的表示方法。前面已給出摩擦力的描述與處理方法，此處確定其他相關(guān)各力求解方法與表達(dá)式。

對(duì)于Fsta(x,t)，其求解表達(dá)式為

Fsta(x,t)=Fstaδ(x)

(14)

式中:Fsta為Fsta(x,t)的振幅；δ(x)為對(duì)應(yīng)于分析點(diǎn)位移的狄拉克δ函數(shù)。

對(duì)于Fhar(x,t)，其對(duì)應(yīng)的求解公式為

Fhar(x,t)=F0sin(ωft)δ(x-L)

(15)

式中:F0為Fhar(x,t)的諧振力振幅；ωf為轉(zhuǎn)動(dòng)角速度；Fhar(x,t)的振動(dòng)平衡位置對(duì)應(yīng)為x=L，以及由此定義的狄拉克函數(shù)δ(x-L)。

(16)

式中:C1為針對(duì)機(jī)械鉆速ROP確定的系數(shù)；C2為描述巖石與鉆頭非線性特性的系數(shù)。

對(duì)于牙輪鉆頭，根據(jù)鉆頭與巖石接觸處的邊界條件，確定其計(jì)算公式為[14]

(17)

(18)

在完成各力的描述以及確定其求解方法的基礎(chǔ)上，為進(jìn)行鉆柱動(dòng)力學(xué)模型求解，進(jìn)行模型離散求解方法研究。考慮鉆柱在井下的工況條件，建立離散分析模型，將鉆柱離散為n個(gè)單元，每個(gè)單元長(zhǎng)度為l，對(duì)應(yīng)的質(zhì)量分別為m1，m2，…mn-1，mn,其結(jié)果如圖2所示。對(duì)應(yīng)于式(13)中的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣與剛度矩陣，可分別得到其離散結(jié)果。其中，質(zhì)量矩陣的表達(dá)式為

(19)

剛度矩陣的表達(dá)式為

(20)

阻尼矩陣的表達(dá)式為[15]

[C]=α[M]+β[K]

(21)

其中α，β為比例系數(shù)，可利用實(shí)驗(yàn)測(cè)試與仿真進(jìn)行確定。

圖2 動(dòng)力學(xué)求解離散方法與模型Fig.2 The discrete method and model of dynamics solving

3 試驗(yàn)測(cè)試與基本參數(shù)

為驗(yàn)證理論模型的準(zhǔn)確性及進(jìn)行關(guān)鍵參數(shù)的影響分析，進(jìn)行試驗(yàn)測(cè)試與算例分析。與試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?duì)應(yīng)，確定進(jìn)行算例分析的相關(guān)輸入?yún)?shù)，對(duì)比分析測(cè)試結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果。并且在此基礎(chǔ)上，進(jìn)行關(guān)鍵參數(shù)對(duì)鉆柱動(dòng)力學(xué)特性的結(jié)果影響分析。鉆井綜合試驗(yàn)平臺(tái)，如圖3所示。將臺(tái)架放置最大傾斜位置，選取造斜后的水平鉆進(jìn)段進(jìn)行測(cè)試。在鉆頭位置布置測(cè)試點(diǎn)1，在距離鉆頭60 m處布置測(cè)試點(diǎn)2，其對(duì)應(yīng)的井下工況,如圖4所示。

圖3 鉆井綜合試驗(yàn)平臺(tái)實(shí)驗(yàn)測(cè)試Fig.3 Experimental test of drilling comprehensive platform

圖4 與試驗(yàn)測(cè)試對(duì)應(yīng)的模型Fig.4 The analysis model corresponding to experimental test

4 算例分析

試驗(yàn)測(cè)試中，由于井身結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，不能測(cè)試井壁摩擦因數(shù)，同時(shí)也不方便得到穩(wěn)定的振動(dòng)位移值。同時(shí)，為了對(duì)比分析相同條件下的試驗(yàn)測(cè)試與算例結(jié)果，借助前面的基本參數(shù)為輸入?yún)?shù)，進(jìn)行算例求解與分析。首先，利用建立的理論模型，進(jìn)行井壁摩擦隨機(jī)場(chǎng)分析，得到井壁摩擦因數(shù)的模擬結(jié)果，如圖5(a)所示。然后利用建立的鉆柱動(dòng)力學(xué)模型與求解方法，求解算例模型的鉆柱動(dòng)力學(xué)結(jié)果，得到鉆柱在測(cè)試點(diǎn)1處的振動(dòng)位移結(jié)果,如圖5(b)所示。由圖5可得，鉆進(jìn)過程中，井壁摩擦因數(shù)與測(cè)試點(diǎn)處的位移均呈現(xiàn)出明顯的隨機(jī)特性，而且算例中的振動(dòng)位移，相對(duì)于鉆進(jìn)的進(jìn)尺而言比值較小。

(a) 隨機(jī)摩擦因數(shù)模擬

(b) 鉆頭縱向位移圖5 摩擦力場(chǎng)與振動(dòng)位移Fig.5 The friction force and vibration displacement

由于測(cè)試點(diǎn)位移與進(jìn)尺的比例關(guān)系，進(jìn)行振動(dòng)位移對(duì)比效果不明顯。為對(duì)比不同方法的結(jié)果，對(duì)測(cè)試點(diǎn)處的振動(dòng)速度進(jìn)行分析，包括實(shí)際測(cè)試、井壁摩擦隨機(jī)、井壁定摩擦的振動(dòng)速度結(jié)果，如圖6所示。由圖6可知，測(cè)試得到的振動(dòng)速度均值都在1.3 mm/s附近，考慮摩擦隨機(jī)性的振動(dòng)速度值與實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果相似，變化范圍大致為1～1.8 mm/s，而且呈現(xiàn)出明顯的隨機(jī)性特性，而定摩擦結(jié)果變化范圍為1.27～1.33 mm/s，振動(dòng)速度具有周期性變化特點(diǎn)。算例結(jié)果中，利用隨機(jī)摩擦模型得到振動(dòng)速度特性更接近測(cè)試結(jié)果，更能反映測(cè)試點(diǎn)處真實(shí)運(yùn)動(dòng)特性，驗(yàn)證了理論分析的準(zhǔn)確性。同時(shí)也說明，在深井、超深井的水平鉆進(jìn)，或者靶徑值較大的新型油氣資源開采中，更需要關(guān)注井壁摩隨機(jī)性對(duì)鉆柱動(dòng)力學(xué)特性的影響。

(a) 隨機(jī)摩擦的振動(dòng)速度

(b) 定摩擦的振動(dòng)速度

(c) 實(shí)驗(yàn)測(cè)試的振動(dòng)速度圖6 測(cè)試點(diǎn)1處的振動(dòng)速度Fig.6 The vibration velocity of point No.1

通過以上的測(cè)試與計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，驗(yàn)證了計(jì)算方法的準(zhǔn)確性與可靠性，因此根據(jù)建立的理論模型進(jìn)行算例分析。首先，進(jìn)行前面計(jì)算得到的振動(dòng)速度頻譜分析，根據(jù)試驗(yàn)測(cè)試條件與算例參數(shù)，取對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)速為100 r/min的速度值進(jìn)行分析結(jié)果,如圖7所示。由圖7可知，頻譜分析結(jié)果中，由于井壁摩擦力的隨機(jī)性，其對(duì)鉆柱振動(dòng)速度的頻譜結(jié)果有一定的影響。但整體而言，算例中鉆井平臺(tái)的動(dòng)力輸入轉(zhuǎn)速對(duì)振動(dòng)速度的影響最大，此處表現(xiàn)為100 r/min以及其整數(shù)倍。

圖7 鉆柱振動(dòng)速度的頻譜分析結(jié)果Fig.7 The spectrum analysis result of drill string vibration velocity

為了分析鉆進(jìn)過程中的功耗與效率，定義效率公式為

(22)

求得效率結(jié)果,如圖8所示，鉆進(jìn)過程中鉆柱振動(dòng)導(dǎo)致對(duì)應(yīng)的力、速度發(fā)生變化，井壁摩擦隨機(jī)性導(dǎo)致效率結(jié)果也呈現(xiàn)出一定的隨機(jī)波動(dòng)，其平均值約為0.25。

圖8 鉆進(jìn)效率Fig.8 The drilling efficiency

對(duì)于油氣井生產(chǎn)過程，鉆井效率具有重要的實(shí)際意義，為進(jìn)一步確定效率的分析結(jié)果，進(jìn)行效率的均方值分析，其求解方法如式(23)所示。代入前面求解得到的效率值，設(shè)置不同的求解次數(shù)nη的結(jié)果,如圖9所示。由圖9可知，雖然效率變動(dòng)值范圍較大，但是隨著求解次數(shù)的增加，平均功率值迅速穩(wěn)定集中在某值。以算例結(jié)果為例，其迭代次數(shù)>200時(shí)，其迅速集中在約0.057。

(23)

對(duì)于其他關(guān)鍵參數(shù)對(duì)鉆柱動(dòng)力特性的影響，結(jié)合油氣生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際情況，影響振動(dòng)特性的關(guān)鍵參數(shù)包括鉆柱長(zhǎng)度、井壁摩擦圓長(zhǎng)徑、機(jī)械轉(zhuǎn)速等，可以利用以上求解方法與步驟，變換相關(guān)參數(shù)，得到相關(guān)結(jié)果并完成相關(guān)分析。

圖9 鉆進(jìn)效率的均方值Fig.9 The mean-square value of drilling efficiency

5 結(jié) 論

(1)針對(duì)現(xiàn)有新型油氣資源的開采條件，特別是頁巖氣、煤層氣、大位移水平井等，井壁摩擦對(duì)鉆柱動(dòng)力學(xué)的影響具有越來越重要的影響。只有考慮鉆柱井壁摩擦隨機(jī)性，才能準(zhǔn)確評(píng)價(jià)鉆柱動(dòng)力學(xué)特性。對(duì)于新層位、新地質(zhì)構(gòu)造、新井身結(jié)構(gòu)的油氣資源鉆井條件，需要綜合大量的現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)測(cè)試，才能準(zhǔn)確描述井壁摩擦隨機(jī)性，保證基礎(chǔ)輸入?yún)?shù)與求解結(jié)果的可靠性。

(2)文章結(jié)合實(shí)際井下工況，描述井壁摩擦隨機(jī)性，以及給出構(gòu)建井壁隨機(jī)場(chǎng)的步驟與方法，以此為基礎(chǔ)，建立水平鉆柱動(dòng)力學(xué)求解模型。根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)試確定基本輸入?yún)?shù)，進(jìn)行算例分析，得到振動(dòng)求解和效率分析結(jié)果。建立的研究方法，可為基于井壁摩擦隨機(jī)性的鉆柱動(dòng)力學(xué)分析，以及關(guān)鍵參數(shù)對(duì)鉆柱動(dòng)力學(xué)的影響定量評(píng)價(jià)提供參考。

(3)鉆柱動(dòng)力學(xué)是油氣資源生產(chǎn)過程井下工具安全生產(chǎn)、提高破巖效率的理論基礎(chǔ)。同時(shí)，通過工具失效、破巖等結(jié)果參數(shù)，可以反推對(duì)應(yīng)的鉆柱動(dòng)力學(xué)計(jì)算方法是否合理。只有與工具失效、破巖等結(jié)果參數(shù)反推的鉆柱動(dòng)力學(xué)結(jié)果相吻合，才能滿足實(shí)際需要，有效促進(jìn)相關(guān)領(lǐng)域技術(shù)發(fā)展。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] XUE Q, WANG R, LIU B, et al. Dynamic measurement of spatial attitude at bottom rotating drillstring: simulation, experimental, and field test[J]. Journal of Energy Resources Technology, 2016,138(2):022903.

[2] GHASEMLOONIA A, RIDEOUT D G, BUTT S D. A review of drillstring vibration modeling and suppression methods[J]. Journal of Petroleum Science and Engineering,2015, 131: 150-164.

[3] KAPITANIAK M, HAMANEH V V, CHAVEZ J P, et al. Unveiling complexity of drill-string vibrations: experiments and modelling[J]. International Journal of Mechanical Sciences,2015,101: 324-337.

[4] 趙麗娟, 田震. 薄煤層采煤機(jī)振動(dòng)特性研究[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2015, 34(1):195-199.

ZHAO Lijuan,TIAN Zhen. Vibration characteristics of thin coal seam shearer[J]. Journal of Vibration and Shock,2015,34(1):195-199.

[5] YANG M, LI X, DENG J, et al. Prediction of wellbore and formation temperatures during circulation and shut-in stages under kick conditions[J]. Energy, 2015,91: 1018-1029.

[6] ALBDIRY M T, ALMENSORY M F. Failure analysis of drillstring in petroleum industry: a review[J]. Engineering Failure Analysis, 2016,65: 74-85.

[7] MONGKOLCHEEP K, RUIMI A, PALAZZOLO A. Modal reduction technique for predicting the onset of chaotic behavior due to lateral vibrations in drillstrings[J]. Journal of Vibration and Acoustics, 2015,37(2): 021003.

[8] 靳紅玲, 陳建軍, 趙寬,等. 含隨機(jī)參數(shù)的空間柔性梁動(dòng)力學(xué)模型[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2014,33(14):6-10.

JIN Hongling, CHEN Jianjun, ZHAO Kuan, et al. Uncertainty dynamic modeling of spatial flexible beam with probabilistic parameters[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014,33(14):6-10.

[9] 張佳文, 郭文華, 項(xiàng)超群. 基于協(xié)方差本征變換與諧波合成法的隨機(jī)風(fēng)場(chǎng)模擬[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2013, 32(21):197-203.

ZHANG Jiawen, GUO Wenhua, XIANG Chaoqun. Simulation of stochastic wind field based on covariance proper transformation and weighted amplitude wave superposition[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013,32(21):197-203.

[10] YANG Jinzhong, ZHANG Dongxiao, LU Zhiming. Stochastic analysis of saturated-unsaturated flow in heterogeneous media by combining Karhunen-Loeve expansion and perturbation method[J]. Journal of Hydrology, 2004,294(1): 18-38.

[11] 劉穎, 楊綠峰, 莫遠(yuǎn)昌. 基于隨機(jī)響應(yīng)面法的結(jié)構(gòu)可靠度研究[J]. 廣西大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008,33(4): 366-369.

LIU Ying, YANG Lüfeng, MO Yuanchang. The structural reliability research based on the stochastic response surface method[J].Journal of Guangxi University(Natural Science Version), 2008,33(4): 366-369.

[12] RITTO T G, ESCALANTE M R, SAMPAIO R, et al. Drill-string horizontal dynamics with uncertainty on the frictional force[J]. Journal of Sound and Vibration, 2013,332(1): 145-153.

[13] DEPOUHON A, DETOURNAY E. Instability regimes and self-excited vibrations in deep drilling systems[J]. Journal of Sound and Vibration, 2014,333(7): 2019-2039.

[14] FRANCA L F P. Drilling action of roller-cone bits: modeling and experimental validation[J]. Journal of Energy Resources Technology, 2010,132(4): 043101.

[15] RITTO T G, SAMPAIO R, ROCHINHA F A. Model uncertainties of flexible structures vibrations induced by internal flows[J]. Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering, 2011,33(3): 373-380.