基于兩種接觸模型的柔性體間多次微碰撞問題研究

王檢耀， 劉鑄永， 洪嘉振(上海交通大學(xué) 工程力學(xué)系，上海 200240)

工程中經(jīng)常會發(fā)生結(jié)構(gòu)間的多次碰撞，如航天器對接時(shí)導(dǎo)向板之間的接觸碰撞[1]；高速列車受電弓/接觸網(wǎng)間的碰撞振動[2]；連桿機(jī)構(gòu)的鉸間隙引起的反復(fù)沖撞[3]。多次碰撞會激發(fā)柔性體的高頻振動，影響機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)行精度，而且往復(fù)碰撞對結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的破壞甚至高于單次高強(qiáng)度的碰撞[4]。

多次碰撞不僅指肉眼或聽覺能分辨的往復(fù)的宏觀碰撞。在一次短暫的宏觀的碰撞過程中，由于結(jié)構(gòu)的彈性振動與碰撞發(fā)生相互作用，很有可能會發(fā)生多次間歇性“接觸-分離-再接觸”的微碰撞現(xiàn)象。Stoianovici等[5-6]在碰撞實(shí)驗(yàn)研究中捕捉到了一次宏觀碰撞中的多次微碰撞過程。在碰撞問題的理論研究中，剛體碰撞理論[7-8]忽略了彈性振動，因此無法表現(xiàn)出多次微碰撞現(xiàn)象；高玉華等[9-10]利用應(yīng)力波理論解析求解了柔性桿縱向碰撞問題，并解釋了多次微碰撞現(xiàn)象；對于柔性梁、板等結(jié)構(gòu)的碰撞問題，段玥晨等[11]用假設(shè)模態(tài)法求解了柔性梁的多次碰撞問題，劉錦陽等[12]用動態(tài)子結(jié)構(gòu)方法求解了太陽帆板鎖定時(shí)的撞擊問題，也有二次或多次微碰撞現(xiàn)象發(fā)生。對于復(fù)雜的三維結(jié)構(gòu)的碰撞問題，更通用的做法則是用有限元方法求解。在有限元方法中，處理接觸碰撞的方法有兩種：接觸力元方法[13-14]和接觸約束方法[15]。接觸力元方法將接觸作用視為彈簧阻尼器力元，根據(jù)物體間的嵌入量直接由相應(yīng)函數(shù)給出接觸力，又稱為罰函數(shù)法(Penalty Method，PM)。接觸約束方法將接觸作用視為接觸約束，接觸約束方程與帶Lagrange乘子的動力學(xué)方程聯(lián)立求得接觸力，又稱為Lagrange 乘子法或附加約束法(Lagrangian Method，LM)。

本文基于有限元法的三維實(shí)體單元模型，分別采用罰函數(shù)法和附加約束法對柔性結(jié)構(gòu)間一次碰撞產(chǎn)生的多次微碰撞過程進(jìn)行研究。利用點(diǎn)-面接觸對接觸域進(jìn)行離散，分別推導(dǎo)了罰函數(shù)法和附加約束法的動力學(xué)方程，對桿-梁多次微碰撞問題進(jìn)行仿真，研究了接觸剛度、網(wǎng)格尺寸等參數(shù)對多次微碰撞過程中碰撞次數(shù)、碰撞力峰值和碰撞時(shí)間的影響。

1 接觸域處理

在有限元方法中，為了精確描述接觸的作用，對接觸進(jìn)行細(xì)致的空間離散化，在離散后的接觸域上形成多個(gè)接觸對，而接觸力元或約束施加在各個(gè)接觸對上。碰撞過程中，接觸點(diǎn)對的形成與分離表現(xiàn)了接觸區(qū)域的時(shí)變過程。最廣泛使用的接觸域離散形式為點(diǎn)-面接觸對(node to segment)。如圖1所示，把撞擊物體稱為從物體(slave body)，被撞擊物體稱為主物體(master body)，從物體上的一點(diǎn)i與主物體單元表面si上的最近投影點(diǎn)i′構(gòu)成接觸對。接觸對間距矢量有如下形式

圖1 點(diǎn)-面接觸對Fig.1 A node-to-segment contact pair

gi=ri-ri′=ri0-ri′0+ui-ui′

(1)

式中：ri和ri′分別表示節(jié)點(diǎn)i和i′在慣性坐標(biāo)系下位置；ui和ui′分別表示表示節(jié)點(diǎn)i和i′的位移。接觸點(diǎn)間的法向距離可以寫為

gNi=ni·gi

(2)

式中:ni主物體表面si上點(diǎn)i′位置的法向矢量。當(dāng)gNi>0，表示沒有碰撞發(fā)生；當(dāng)gNi=0，表示碰撞剛剛開始；當(dāng)gNi<0，則表示接觸點(diǎn)對之間有互相穿透。

2 接觸作用的力學(xué)模型

系統(tǒng)中物體的相互作用有兩種力學(xué)模型：力元和約束。相應(yīng)地，目前處理接觸/碰撞過程的方法有兩種：接觸力元方法和接觸約束方法。接觸力元方法將接觸作用視為彈簧阻尼器力元，力元根據(jù)接觸點(diǎn)對嵌入量直接由相應(yīng)模型給出接觸力，又稱為罰函數(shù)法。接觸約束方法將接觸作用視為接觸約束，接觸約束方程與帶Lagrange乘子的動力學(xué)方程形成封閉的方程組，該方法又稱附加約束法。

2.1 罰函數(shù)方法

罰函數(shù)方法把碰撞力作為力元處理，檢測到接觸發(fā)生時(shí)，在接觸域內(nèi)的各接觸對間添加相應(yīng)的接觸力元，直至分離。當(dāng)碰撞發(fā)生時(shí)，從物體上的點(diǎn)i將嵌入主物體表面si，嵌入量δi=-gNi。罰函數(shù)法中給出嵌入與碰撞力的關(guān)系，從而通過嵌入量直接計(jì)算出碰撞力。罰函數(shù)法將接觸作用視為彈簧力元，接觸力大小表達(dá)為

Fi=kδi

(3)

式中:k為彈簧剛度，由主物體上si所在單元的體積模量Ki、單元體積Vi、接觸面面積Ai計(jì)算得到

(4)

式中:fs稱為罰因子，用于調(diào)節(jié)接觸剛度。

有限元中，接觸力需要分布到單元相關(guān)節(jié)點(diǎn)上。對于從物體接觸點(diǎn)i，節(jié)點(diǎn)力為Fi=kδini，對于主物體接觸單元表面，由節(jié)點(diǎn)j(j=1,2,3,4)組成，接觸作用的等效節(jié)點(diǎn)力表示為

(5)

式中:ξi′,ηi′是i′在表面si的局部坐標(biāo),Nj為插值函數(shù)，表示為

(6)

接觸對i-si的接觸力可以寫為

(7)

從而在碰撞期間，系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

(8)

式中:M為質(zhì)量陣;u為位移矢量陣;Fint和Fext分別為內(nèi)力陣和外力陣;Fc為所有接觸點(diǎn)對的接觸力的組集。

罰函數(shù)方法的優(yōu)點(diǎn)在于不需要求解約束方程，且動力學(xué)方程的維數(shù)固定，不隨接觸狀態(tài)改變。其不足之處在于，需要人為選取合適的罰因子，且沒有統(tǒng)一的選取準(zhǔn)則，需要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)多次試算才能獲得可靠結(jié)果。

2.2 附加約束方法

附加約束方法中，檢測到接觸發(fā)生時(shí)，根據(jù)互不穿透的約束條件，施加相應(yīng)的約束方程。接觸約束方程與帶Lagrange乘子的動力學(xué)方程聯(lián)立求解運(yùn)動學(xué)變量和接觸力。當(dāng)從物體節(jié)點(diǎn)i接觸到主物體表面si時(shí)，位置形式的約束方程可以寫為

Φi(u)=ni·gi=0

(9)

把式(1)和式(6)代入式(9)中，得到：

(10)

當(dāng)更多的節(jié)點(diǎn)進(jìn)入接觸時(shí)，所有的接觸約束方程可以組集為

(11)

式中:m為接觸點(diǎn)對數(shù)。那么系統(tǒng)的動力學(xué)方程可寫為

(12)

式中:Φu是接觸約束矩陣的雅可比矩陣;λ是相應(yīng)的Lagrange乘子。

為了求解式(11)，對其二階求到后，得到加速度形式的約束方程

(13)

(14)

不同于罰函數(shù)方法，附加約束方法的優(yōu)點(diǎn)在于不需要人為選取剛度等參數(shù)，并且互不嵌入的約束條件是嚴(yán)格滿足的。但是附加約束法中的約束方程增加了方程維數(shù)，并且隨接觸狀態(tài)改變，另外微分-代數(shù)方程的數(shù)值求解也更加困難。

3 算 例

如圖2所示，為一柔性球頭圓柱桿撞擊兩端固支方形截面橫梁的三維有限元模型。分別使用罰函數(shù)方法和附加約束方法對該碰撞過程進(jìn)行數(shù)值仿真。碰撞物體的幾何和材料參數(shù)列于表1中。

圖2 桿-梁撞擊的三維有限元模型Fig.2 FE model of the rod-beam impact case

表1 幾何與材料參數(shù)Tab.1 Geometrical and material parameters

3.1 罰因子的影響

罰函數(shù)方法中，罰因子的選取決定了接觸剛度的大小。為了研究罰因子的取值對碰撞結(jié)果的影響，分別對不同的罰因子進(jìn)行仿真。不同罰因子下的碰撞力隨時(shí)間的歷程如圖3所示。當(dāng)罰因子取值為0.01時(shí)，由于過小的接觸剛度導(dǎo)致碰撞時(shí)間明顯過長，并且碰撞力的峰值偏小。隨著罰因子值的增加，碰撞力和碰撞力時(shí)間逐漸收斂。罰因子取值0.5和1時(shí)，結(jié)果已經(jīng)幾乎一致，此時(shí)的罰因子是合適的，當(dāng)繼續(xù)增大罰因子時(shí)，有可能因?yàn)檫^大的接觸剛度發(fā)生數(shù)值不穩(wěn)定。另外可以看到，當(dāng)罰因子取值為0.01和0.1時(shí)，整個(gè)過程中碰撞力沒有過零，表示整個(gè)過程中接觸物體沒有分離；而當(dāng)罰因子取值為0.5和1時(shí)，則可以看到碰撞力有多次過零?？梢钥吹搅P因子的選取不僅影響碰撞力峰值及碰撞持續(xù)時(shí)間，還影響碰撞過程的碰撞次數(shù)。因此，罰函數(shù)方法必須通過試算獲得合適的罰因子。

圖3 不同罰因子的碰撞力結(jié)果Fig.3 Contact force with different penalty factors

3.2 網(wǎng)格尺寸的影響

在使用有限元方法的接觸碰撞問題中，空間離散的網(wǎng)格尺寸對于仿真結(jié)果有很大的影響。在遠(yuǎn)離碰撞局部的區(qū)域，網(wǎng)格尺寸應(yīng)該能夠保證彈性波的傳播特征；在碰撞局部區(qū)域，則應(yīng)使用更細(xì)密的網(wǎng)格來反映局部高應(yīng)力的分布以及接觸域隨時(shí)間的演化歷程。本節(jié)將研究碰撞局部的網(wǎng)格尺寸對罰函數(shù)法和附加約束法的影響。

對于罰函數(shù)方法，如圖2所示，對碰撞局部區(qū)域用4種不同尺寸網(wǎng)格離散，而對于每一種網(wǎng)格，類似于3.1中的步驟，均需要重新選取合適的罰因子，同時(shí)網(wǎng)格尺寸越小，積分的步長也越小。網(wǎng)格尺寸信息及每種網(wǎng)格下的罰因子及時(shí)間步長信息均列于表2中。在每種網(wǎng)格下罰函數(shù)法計(jì)算得到的碰撞力曲線如圖4所示，可以看出，罰函數(shù)法的結(jié)果非常依賴于碰撞局部的網(wǎng)格尺寸，隨著網(wǎng)格變細(xì)，其結(jié)果逐步收斂于“精確解”。而對于附加約束方法，我們計(jì)算其在網(wǎng)格1下的結(jié)果，同樣作于圖4中，將它與罰函數(shù)方法在4種網(wǎng)格下的結(jié)果進(jìn)行比較。我們發(fā)現(xiàn)附加約束法在網(wǎng)格1下的結(jié)果已經(jīng)與罰函數(shù)法在網(wǎng)格4下的“精確解”吻合。因此，可以認(rèn)為罰函數(shù)法的結(jié)果精度更依賴于網(wǎng)格尺寸。由于罰函數(shù)法比附加約束法需要更細(xì)密的網(wǎng)格，因此在數(shù)值仿真中，罰函數(shù)法帶來更龐大的自由度并且需要更多的積分步數(shù)。兩者在計(jì)算耗時(shí)上的對比如表3所示，附加約束法在計(jì)算效率上有一定優(yōu)勢?？偨Y(jié)來說，罰函數(shù)方法非常依賴于接觸局部的網(wǎng)格尺寸，只有當(dāng)網(wǎng)格尺寸充分小時(shí)，才能預(yù)測出正確的多次微碰撞過程，包括碰撞力峰值、碰撞時(shí)間和碰撞次數(shù)。而附加約束方法在較粗的網(wǎng)格下已經(jīng)能獲得比較理想的結(jié)果。

表2 罰函數(shù)法的參數(shù)Tab.2 Parameters of penalty method

(a)

(b)

(c)

(d)圖4 網(wǎng)格尺寸對仿真精度的影響Fig.4 Influence of mesh size on simulation accuracy

上述過程得到了碰撞力歷程的數(shù)值收斂解，圖4(d)顯示出碰撞過程中碰撞力有多次過零。為了更直觀地展示碰撞過程中接觸點(diǎn)對的“接觸-分離-再接觸”現(xiàn)象，將桿上圓頭的中心撞擊點(diǎn)和梁上相應(yīng)的被撞擊點(diǎn)的位置關(guān)系作于圖5中?？梢钥闯鲇捎趶椥哉駝优c碰撞的相互作用，使得桿和梁上的接觸點(diǎn)對發(fā)生了多次分離。另外聯(lián)系圖4(d)看出，接觸點(diǎn)對發(fā)生分離的時(shí)刻與碰撞力過零的時(shí)刻是一一對應(yīng)的，說明該例中桿與梁的一次宏觀碰撞的確產(chǎn)生了多次微碰撞過程。

表3 罰函數(shù)法與附加約束法的計(jì)算規(guī)模比較Tab.3 Computation scale of the two contact methods

圖5 碰撞過程中接觸點(diǎn)對的位置Fig.5 The position of contact pair during the impact process

4 結(jié) 論

柔性體間的多次微碰撞行為會激發(fā)柔性體的高頻振動，往往會對結(jié)構(gòu)造成各種形式的損害。傳統(tǒng)的方法多利用應(yīng)力波理論求解簡單結(jié)構(gòu)的多次微碰撞問題，為了能正確預(yù)測任意形狀柔性體間的多次微碰撞過程，本文基于有限元三維實(shí)體模型，分別用罰函數(shù)法和附加約束法對桿-梁碰撞問題進(jìn)行仿真。對于罰函數(shù)方法，要對多次微碰撞過程中的碰撞力峰值、碰撞時(shí)間及碰撞次數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測，不僅需要選擇合適的罰因子，還需要細(xì)密的網(wǎng)格單元支撐。對于附加約束方法，不需要人為選取剛度參數(shù)，并且即使在較粗糙的網(wǎng)格也能獲得可靠的結(jié)果。因此在對多次微碰撞問題的動力學(xué)仿真中附加約束方法有一定優(yōu)勢。數(shù)值仿真得到的收斂結(jié)果表明，由于彈性振動與碰撞的相互作用，一次宏觀碰撞中的確出現(xiàn)了多次“接觸-分離-再接觸”的微碰撞過程。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] KLISCH T. Contact mechanics in multibody systems[J]. Multibody System Dynamics, 1999, 2(4):179-188.

[3] FLORES P, KOSHY C, LANKARANI H, et al. Numerical and experimental investigation on multibody systems with revolute clearance joints[J]. Nonlinear Dynamics, 2011, 65(4):383-398.

[4] WYRICK D A, ADAMS D F. Residual strength of a carbon/epoxy composite material subjected to repeated impact[J]. Journal of Composite Materials, 1988, 22(8):749-765.

[5] STOIANOVICI D, HURMUZLU Y. A critical study of the applicability of rigid-body collision theory[J]. Journal of Applied Mechanics, 1996, 63(2):247-248.

[6] NARABAYASHI T, SHIBAIKE K, ISHIZAKA A, et al. Effects of key parameters on energy distribution and kinetic characteristics in collision of bar and beam[J]. Journal of Sound & Vibration, 2007, 308(3):548-562.

[7] 王琪, 莊方方, 郭易圓,等. 非光滑多體系統(tǒng)動力學(xué)數(shù)值算法的研究進(jìn)展[J]. 力學(xué)進(jìn)展, 2013, 43(1):101-111.

WANG Qi, ZHUANG Fangfang, GUO Yiyuan, et al. Advances in the research on numerical methods for non-smooth dynamics of multibody systems[J]. Advances in Mechanics, 2013, 43(1):101-111.

[8] WANG J, LIU C, ZHAO Z. Nonsmooth dynamics of a 3D rigid body on a vibrating plate[J]. Multibody System Dynamics, 2014, 32(2):217-239.

[9] 高玉華. 剛體撞塊撞擊彈性長桿的二次撞擊分析[J]. 力學(xué)季刊, 1996(4):334-338.

GAO Yuhua. A prediction analysis of the second impact for an elastic bar impacting on a rigid block[J].Chinese Quarterly of Mechanics, 1996(4):334-338.

[10] 田阿利, 尹曉春. 自由飛行桿撞擊過程中的二次撞擊區(qū)[J]. 振動與沖擊, 2008, 27(1):19-24.

TIAN Ali, YIN Xiaochun.Secondimpactzonefora free-flying rodtoimpactaclampedone[J].Journal of Vibration and Shock, 2008, 27(1):19-24.

[11] 段玥晨, 章定國. 基于彈塑性接觸的柔性多體系統(tǒng)碰撞動力學(xué)[J]. 南京理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2012, 36(2):189-194.

DUAN Yuechen, ZHANG Dingguo.Flexible multibody system impact dynamics based on elastic-plastic contact[J]. Journal of Nanjing University of Science and Technology, 2012, 36(2):189-194.

[12] 劉錦陽, 洪嘉振. 閉環(huán)柔性多體系統(tǒng)的多點(diǎn)撞擊問題[J]. 中國機(jī)械工程, 2000, 11(6):619-623.

LIU Jinyang, HONG Jiazhen.Impact with multiple contact points of flexible multibodysystem with closed loops[J]. China Mechanical Engineering, 2000, 11(6):619-623.

[13] SEIFRIED R, SCHIEHLEN W, EBERHARD P. The role of the coefficient of restitution on impact problems in multibody dynamics[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part K： Journal of Multi-body Dynamics, 2010, 1(K3):1-28.

[14] WEYLER R, OLIVER J, SAIN T, et al. On the contact domain method: a comparison of penalty and Lagrange multiplier implementations[J]. Computer Methods in Applied Mechanics & Engineering, 2012, 205(1):68-82.

[15] 王檢耀, 洪嘉振, 劉鑄永. 接觸碰撞動力學(xué)的多變量選取方法[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào), 2014, 46(2):318-322.

WANG Jianyao, HONG Jiazhen, LIU Zhuyong.Multi-variable selection method in contact/impact dynamics[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2014, 46(2):318-322.