雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副摩擦力矩與接觸剛度波動(dòng)關(guān)系研究

汪遠(yuǎn)遠(yuǎn)， 祖 莉， 黃金寶， 周長(zhǎng)光， 歐 屹， 馮虎田(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 南京 210094)

滾珠絲杠副廣泛應(yīng)用于數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)[1-3],進(jìn)給系統(tǒng)是各種數(shù)控設(shè)備的核心組成部分[4-5]。滾珠絲杠副剛性對(duì)數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定、振動(dòng)幅度有重要影響[6-7]。隨著滾珠絲杠副速度和載荷的不斷提高，其振動(dòng)問題愈加突出，嚴(yán)重影響數(shù)控機(jī)床的定位精度，滾珠絲杠副剛度不足問題已成為數(shù)控機(jī)床向高速化、高精度發(fā)展的主要障礙[8]。

目前對(duì)滾珠絲杠副剛性的研究大多集中在滾珠絲杠副靜剛度的建模上，采用理論計(jì)算分析靜剛度的影響因素或使用有限元仿真對(duì)所建模型的正確性進(jìn)行驗(yàn)證，而通過剛性試驗(yàn)驗(yàn)證靜剛度數(shù)學(xué)模型正確性的研究卻很少。Takafuji等[9]以雙螺母滾珠絲杠副為研究對(duì)象，考慮了絲杠軸、螺母、絲杠螺紋的彈性變形，建立新型滾珠絲杠副靜剛度數(shù)學(xué)模型，并將靜剛度數(shù)學(xué)模型計(jì)算值與試驗(yàn)值比較分析。陳勇將等[10-11]分析滾珠絲杠副剛度影響因素，考慮接觸角的變化及接觸變形影響，建立聯(lián)合載荷下滾珠絲杠副剛度數(shù)學(xué)模型，并通過試驗(yàn)驗(yàn)證理論模型的可靠性。胡建忠等[12]考慮滾珠、螺母和絲杠滾道的幾何參數(shù)，建立滾珠絲杠副接觸角模型，發(fā)現(xiàn)預(yù)緊力對(duì)螺旋升角影響非常小, Wei等[13]以單螺母滾珠絲杠副為研究對(duì)象，在軸向載荷加載的過程中，接觸角的變化很小，因此，在測(cè)量剛度的時(shí)候，螺旋升角和接觸角對(duì)剛度的影響非常的小。另外目前在所有滾珠絲杠副的剛性試驗(yàn)研究過程中，僅僅只是針對(duì)滾珠絲杠副某一位置處檢測(cè)其靜剛度，并未考慮滾珠絲杠副不同位置處剛度值波動(dòng)的情況。如果滾珠絲杠副在其有效行程內(nèi)的剛度波動(dòng)范圍過大，那么必將對(duì)整個(gè)數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定以及定位精度產(chǎn)生嚴(yán)重影響。因此，在研究滾珠絲杠副剛度時(shí)，必須考慮其不同位置處的剛度波動(dòng)情況。

目前，境內(nèi)外同一廠家不同規(guī)格、不同廠家同一規(guī)格的滾珠絲杠副螺母外形尺寸(螺母外徑、法蘭孔徑、法蘭孔距等)均不相同，因此在剛性測(cè)量過程中必須加工不同的工裝，這就導(dǎo)致了大量資源浪費(fèi)。另外，滾珠絲杠副剛性的一次測(cè)量只能測(cè)得一個(gè)位置的剛度值，如果要獲得有效行程內(nèi)的剛度波動(dòng)情況，就必須進(jìn)行多次測(cè)量，每次測(cè)量都要拆卸工裝、調(diào)整傳感器等一系列工作，這無疑大大增加了工作量。而滾珠絲杠副摩擦力矩的一次測(cè)量就可得到有效行程內(nèi)摩擦力矩連續(xù)波動(dòng)情況，更換絲杠時(shí)只需松開尾座、選擇相應(yīng)的連桿即可。由于滾珠絲杠副摩擦力矩測(cè)量是空載扭矩，在整個(gè)測(cè)量行程中，螺旋升角和接觸角是基本沒有什么變化，同時(shí)在剛性測(cè)量中，軸向載荷的加載對(duì)螺旋升角和接觸角的影響非常小，可得雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副摩擦力矩與剛度波動(dòng)之間的關(guān)系，利用簡(jiǎn)單、易測(cè)的摩擦力矩變化趨勢(shì)來表征滾珠絲杠副的剛度波動(dòng)情況，評(píng)價(jià)滾珠絲杠副在有效行程內(nèi)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定特性，本文首先對(duì)雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副的滾珠進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，建立預(yù)緊力與接觸剛度的關(guān)系式，結(jié)合滾珠絲杠副預(yù)緊力與摩擦力矩平衡方程，建立關(guān)于摩擦力矩的接觸剛度數(shù)學(xué)模型，最終通過試驗(yàn)驗(yàn)證理論分析的正確性。

1 雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副接觸剛度分析

雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副僅受預(yù)緊力作用時(shí)，預(yù)緊力對(duì)稱地施加在兩螺母上，且同一滾道上所有滾珠受力情況相同[14]。為了便于分析，在兩螺母上各取一個(gè)滾珠，建立滾珠絲杠副剛度模型，如圖1所示。O，O′分別為兩滾珠的球心，(X,Y,Z)為固定坐標(biāo)系，Z軸與絲杠軸線所在的方向一致，A,C點(diǎn)為滾珠與螺母的接觸點(diǎn)，B,D點(diǎn)為滾珠與絲杠的接觸點(diǎn),A′,B′,C′,D′分別為點(diǎn)A,B,C,D在YOZ平面上的投影。在O,O′處建立Frenet坐標(biāo)系(tnb)，t軸方向與螺旋線在O,O′點(diǎn)處的切線方向重合，n軸方向與絲杠在O,O′點(diǎn)徑向方向重合。α表示滾珠與絲杠、螺母的接觸角，β表示滾珠絲杠副的螺旋角。由圖1中絲杠軸線方向受力平衡關(guān)系可得

(1)

式中：Q為接觸點(diǎn)處滾珠受到的法向力；Fp為絲杠螺母的預(yù)緊力；i為滾珠絲杠副滾珠圈數(shù)；Z1為每圈滾珠中有效承載滾珠數(shù)；α為接觸角；β為螺旋角。

圖1 雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副在預(yù)緊力作用下的受力分析Fig.1 Mechanical analysis under preload of the double- nut preloaded ball screw mechanism

滾珠與絲杠滾道、螺母滾道間的法向接觸變形，如圖2所示。δs、δn分別為螺母1滾珠與絲杠滾道、滾珠與螺母滾道間的法向接觸變形量。

圖2 滾珠與絲杠滾道、螺母滾道間的接觸變形Fig.2 Normal contact deformation between the ball and the screw or the nut

在預(yù)緊力Fp的作用下，滾珠與絲杠滾道、滾珠與螺母滾道間產(chǎn)生的法向接觸變形可由赫茲接觸理論得

(2)

在預(yù)緊力Fp作用下，單螺母相對(duì)絲杠的軸向變形為δFp，滾珠與絲杠、滾珠與螺母間法向接觸變形分別為δs、δn，由圖2幾何關(guān)系得

(3)

聯(lián)立式(1)～式(3)可得單螺母相對(duì)絲杠的軸向變形為

(4)

式中：

Yj=1.282[-0.154(sinφ)1/4+1.348(sinφ)1/2-

0.194sinφ]

cosφj=

(5)

滾珠絲杠副預(yù)緊力與摩擦力矩之間的關(guān)系式為[16]

(6)

式中：μ為摩擦因數(shù)；rm為絲杠半徑；rb為滾珠半徑；Mtest為實(shí)際檢測(cè)的摩擦力矩。

聯(lián)立式(5)、式(6)得:

(7)

式中：λ=2μ·sinα·(rm+rb·cosα)·(cosβ)2。

圖3 雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副在軸向負(fù)載下的軸向變形Fig.3 Axial deformation of the double-nut preloaded ball screw mechanism under the axial load

2 試驗(yàn)

本次試驗(yàn)選取境內(nèi)外相同規(guī)格(境內(nèi)廠家絲杠型號(hào)為DGD4010;境外廠家型號(hào)為R40-10k4-FDC)的雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副各一根，具體參數(shù)，如表1所示。

2.1 滾珠絲杠副摩擦力矩測(cè)量原理

摩擦力矩測(cè)量原理，如圖4所示。絲杠一端與伺服電機(jī)相連，另一端固定在尾座中心。螺母的圓周運(yùn)動(dòng)受到連桿①與懸臂②的約束，且工作臺(tái)上設(shè)有支撐單元，支撐單元與絲杠滾道相接觸，可以相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，沒有頂死在絲杠滾道上，同時(shí)添加一定量潤(rùn)滑脂，作用只是當(dāng)絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，螺母和工作臺(tái)可同時(shí)沿絲杠軸線方向往返運(yùn)動(dòng)，因此，可忽略其摩擦。滾珠與滾道間的摩擦力通過連桿傳遞給懸臂，懸臂下方的壓力傳感器③采集到的力值乘以力臂即為滾珠絲杠副摩擦力矩。試驗(yàn)前，使用100號(hào)潤(rùn)滑油[17]讓絲杠跑合5 min，確保滾珠絲杠副充分潤(rùn)滑;試驗(yàn)過程中，絲杠以100 r/min的轉(zhuǎn)速進(jìn)行摩擦力矩測(cè)量。

表1 滾珠絲杠副參數(shù)表Tab.1 The ball screws parameters

1-連桿; 2-懸臂; 3-壓力傳感器圖4 摩擦力矩測(cè)量原理Fig.4 The measuring principle of friction torque

2.2 滾珠絲杠副靜剛度測(cè)量原理

目前滾珠絲杠副靜剛度測(cè)量有很多不足之處，如測(cè)量過程中絲杠發(fā)生旋轉(zhuǎn)，位移傳感器與絲杠軸線間距離不固定，每次測(cè)量中絲杠被測(cè)長(zhǎng)度不確定，傳感器不方便調(diào)節(jié)等[18]。針對(duì)上述滾珠絲杠副靜剛度測(cè)量不足之處，為了減小間接測(cè)量帶來的誤差，對(duì)滾珠絲杠副靜剛度測(cè)量系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化，如圖5所示。該測(cè)量系統(tǒng)主要由移動(dòng)橫梁、壓力傳感器、絲杠防轉(zhuǎn)裝置、剛度測(cè)量裝置組成。

圖5 滾珠絲杠副靜剛度測(cè)量系統(tǒng)Fig.5 The static stiffness measuring system of the ball screws

針對(duì)滾珠絲杠副靜剛度測(cè)量過程中絲杠發(fā)生旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象，本文設(shè)計(jì)了絲杠防轉(zhuǎn)裝置結(jié)構(gòu)，如圖6所示。上壓盤1與連桿4通過螺釘連接，連桿4與下壓盤2中對(duì)應(yīng)的孔相配合，絲杠5與下壓盤2之間通過平鍵6連接，鋼球3起到軸向負(fù)載Fa的傳遞作用。因此，當(dāng)移動(dòng)橫梁緩慢加載時(shí)，通過連桿4與平鍵6的作用，可以防止絲杠發(fā)生旋轉(zhuǎn)。

1-上壓盤； 2-下壓盤； 3-鋼球； 4-連桿； 5-絲杠； 6-平鍵圖6 滾珠絲杠副防轉(zhuǎn)裝置Fig.6 The anti-rotation device of the ball screws

針對(duì)目前滾珠絲杠副測(cè)量過程中，位移傳感器與絲杠軸線間距離不固定，每次測(cè)量中絲杠被測(cè)長(zhǎng)度不確定，傳感器調(diào)節(jié)不方便等問題，根據(jù)滾珠絲杠副剛性測(cè)量原理，設(shè)計(jì)新型剛度測(cè)量裝置，測(cè)量裝置，如圖7所示。該裝置主要由彈性錐套2、絲杠測(cè)量基準(zhǔn)3、螺母測(cè)量裝置4、螺母固定裝置6、傳感器夾具7組成。接觸式位移傳感器8通過傳感器夾具7垂直固定，位移傳感器數(shù)量為3，120°均勻分布，且3個(gè)傳感器分布在以絲杠軸線為中心的同一分度圓上，確保每個(gè)傳感器距離絲杠軸線距離相等。彈性錐套2把絲杠測(cè)量基準(zhǔn)3固定于絲杠上，確保位移傳感器沿絲杠軸線方向不產(chǎn)生位移。螺母測(cè)量裝置4通過連接件5固定于螺母上，絲杠螺母通過螺釘與螺母固定裝置6連接，使螺母測(cè)量裝置4固定不動(dòng)。絲杠測(cè)量基準(zhǔn)3與螺母測(cè)量裝置4之間加等高塊，保證每次靜剛度試驗(yàn)中被檢測(cè)的絲杠長(zhǎng)度相等。

1-絲杠； 2-彈性錐套； 3-絲杠測(cè)量基準(zhǔn); 4-螺母測(cè)量裝置； 5-連接件； 6-螺母固定裝置； 7-傳感器夾具； 8-位移傳感器

圖7 滾珠絲杠副剛度測(cè)量裝置

Fig.7 The stiffness measuring device of ball screws

3 結(jié)果分析與討論

根據(jù)BSISO3408-4，在計(jì)算軸向靜剛度時(shí)，滾珠絲杠副是否有預(yù)載很重要，剛度計(jì)算公式適用于所有有預(yù)載的滾珠絲杠副。本次靜剛度試驗(yàn)測(cè)量的是雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副的綜合剛度，它包括絲杠軸剛度、接觸剛度及絲杠軸、螺母在外加負(fù)載徑向分量作用下的剛度，它們之間的關(guān)系為

(8)

式中：Rcd為雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副接觸剛度，Rtest為綜合剛度測(cè)量值，Rs為絲杠軸剛度，Rns為單螺母在外加負(fù)載徑向分量作用下的剛度，Rs、Rns可根據(jù)BSISO3408-4計(jì)算，本文使用的兩種型號(hào)滾珠絲杠副的Rs經(jīng)計(jì)算皆為6 932 N/μm，型號(hào)為DGD4010、R4010K4FDC的滾珠絲杠副Rns經(jīng)計(jì)算分別為17 800 N/μm、13 150 N/μm)，根據(jù)該關(guān)系式可求出接觸剛度測(cè)量值。

兩種型號(hào)的雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副摩擦力矩測(cè)量值，如圖8所示。從圖8可知，型號(hào)為DGD4010的滾珠絲杠副摩擦力矩值波動(dòng)范圍為1.42～2.16 N/m；型號(hào)為R4010K4FDC的滾珠絲杠副的摩擦力矩波動(dòng)范圍為1.08～1.33 N/m。圖9為式(7)所得的接觸剛度理論值與接觸剛度測(cè)量值對(duì)比。型號(hào)為DGD4010的滾珠絲杠副的理論接觸剛度波動(dòng)范圍為1 451～1 669 N/μm,實(shí)測(cè)接觸剛度波動(dòng)范圍為1 437～1 567 N/μm；型號(hào)為R4010K4FDC的滾珠絲杠副的理論接觸剛度波動(dòng)范圍為1 324～1 418 N/μm,實(shí)測(cè)接觸剛度波動(dòng)范圍為1 318～1 406 N/μm，滾珠絲杠副接觸剛度測(cè)量值曲線與理論值曲線基本吻合，充分驗(yàn)證了所建接觸剛度數(shù)學(xué)模型的正確性，因此可通過測(cè)量雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副的摩擦力矩來反映其有效行程內(nèi)的剛度波動(dòng)情況。

圖8 雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副摩擦力矩測(cè)量值Fig.8 Test values of friction torque of the double-nut preloaded ball screw mechanism

圖9 雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副接觸剛度理論值與測(cè)量值Fig.9 Calculated and measured values of contact stiffness of the double-nut preloaded ball screw mechanism

需要說明的是，型號(hào)為DGD4010的滾珠絲杠副的第1個(gè)測(cè)量點(diǎn)處接觸剛度測(cè)量值比第二個(gè)測(cè)量點(diǎn)處接觸剛度測(cè)量值低，而從理論曲線的變化趨勢(shì)來看，第一測(cè)量點(diǎn)處的接觸剛度理論值比第二測(cè)量點(diǎn)處的接觸剛度理論值高，如圖9所示。在接觸剛度測(cè)量中，型號(hào)為DGD4010的滾珠絲杠副的第1個(gè)測(cè)量點(diǎn)處5次測(cè)量值重復(fù)性好，且對(duì)5次測(cè)量值取均值，測(cè)量結(jié)果真實(shí)可靠?？赡苁怯捎谠撾p螺母預(yù)緊滾珠絲杠副(DGD4010)的第1個(gè)測(cè)量點(diǎn)處的導(dǎo)程誤差或材料等原因，導(dǎo)致此處的滾珠產(chǎn)生的軸向變形較大，使得螺母的整體軸向變形增大，最終使得該點(diǎn)的接觸剛度較低。

4 結(jié) 論

本文通過對(duì)雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副滾珠進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，建立預(yù)緊力與接觸剛度的關(guān)系式，結(jié)合滾珠絲杠副預(yù)緊力與摩擦力矩平衡方程，建立雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副關(guān)于摩擦力矩的接觸剛度模型，最終通過試驗(yàn)驗(yàn)證了接觸剛度數(shù)學(xué)模型的正確性。試驗(yàn)結(jié)果表明：

(1) 當(dāng)雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副的軸向外加載荷<23/2倍預(yù)緊力時(shí)，雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副的接觸剛度與摩擦力矩的三分之一次方成正比。

(2) 可通過測(cè)量雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副的摩擦力矩來反映其有效行程內(nèi)的剛度波動(dòng)情況。

(3) 可簡(jiǎn)單、快速的獲得雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副接觸剛度波動(dòng)情況，能夠快速的進(jìn)行雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副的初步篩選。

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