考慮剪切效應(yīng)的復(fù)合材料層合板阻尼特性研究

王文博，漆文凱，沈 承

（南京航空航天大學(xué)江蘇省航空動力系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗室，南京210016）

0 引言

先進(jìn)的復(fù)合材料作為當(dāng)前最具研究前景的新型戰(zhàn)略材料被廣泛應(yīng)用于航空航天結(jié)構(gòu)件上。復(fù)合材料與傳統(tǒng)廣義上的混合材料的本質(zhì)區(qū)別在于采用復(fù)雜的復(fù)合工藝從微觀層次上將不同材料進(jìn)行搭配組合，使得各基礎(chǔ)材料性能的不足得以互相彌補(bǔ)。這種制造工藝決定了復(fù)合材料具有靈活的可設(shè)計性優(yōu)點(diǎn)，可以通過材料設(shè)計使各材料在性能上產(chǎn)生預(yù)期的相互協(xié)同效應(yīng)，從而獲得理想的抗疲勞、耐腐蝕、高強(qiáng)度質(zhì)量比的新型復(fù)合材料，滿足航空發(fā)動機(jī)復(fù)雜外部環(huán)境的需求。因此復(fù)合材料成為現(xiàn)階段航空發(fā)動機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計中最重要的先進(jìn)材料之一[1-4]，應(yīng)用于風(fēng)扇葉片、導(dǎo)流板、降噪蜂窩內(nèi)襯以及外涵機(jī)匣等航空發(fā)動機(jī)冷端部件。與傳統(tǒng)鈦合金相比，航空發(fā)動機(jī)結(jié)構(gòu)中應(yīng)用先進(jìn)復(fù)合材料的減質(zhì)效果明顯。據(jù)美國NASA統(tǒng)計，減質(zhì)比可達(dá)13.1%。然而在使用先進(jìn)復(fù)合材料進(jìn)行部件結(jié)構(gòu)設(shè)計時，材料的阻尼特性預(yù)測比傳統(tǒng)鈦合金復(fù)雜得多。有關(guān)復(fù)合材料層合板的研究顯示，復(fù)合層數(shù)、各層鋪設(shè)角度、各層厚度與其阻尼特性有著直接聯(lián)系，因此預(yù)測和分析在復(fù)雜的外部載荷下復(fù)合材料的阻尼特性是結(jié)構(gòu)設(shè)計師最關(guān)心的問題之一。國內(nèi)外學(xué)者[5-11]對此做了大量研究工作，總結(jié)了先進(jìn)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的阻尼表現(xiàn)機(jī)理，有纖維和基體固有的黏彈性阻尼、復(fù)合材料界面相阻尼、復(fù)合材料損傷的耗散阻尼等。

在工程應(yīng)用中，對于板殼結(jié)構(gòu)的處理方法有Kirchhoff假設(shè)和Hencky假設(shè)，后者相對于前者考慮了剪切變形的影響。上述研究工作中的復(fù)合材料模型大多基于Kirchhoff板殼假設(shè)，未考慮剪切應(yīng)力對有限元模型的影響。研究表明，剪切變形對復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)的阻尼特性影響顯著，而且影響效果隨著板的厚度增加而增強(qiáng)。本文引入Hencky[12-13]假設(shè)在剪切應(yīng)力的影響下，建立了復(fù)合材料層合板的有限元分析模型，該模型可廣泛適用于薄板和中厚板。本文利用Matlab軟件對上述模型理論進(jìn)行了計算，通過算例驗證了等效損耗因子預(yù)測模型，最后具體分析了矩形層合板結(jié)構(gòu)的長寬比對固有頻率和振型的影響規(guī)律。

1 有限元模型

有限元分析關(guān)鍵在于計算工程結(jié)構(gòu)的剛度矩陣[K]

式中：上標(biāo)e代表單元，V代表單元的體積；[B]為幾何矩陣，[D]為剛度系數(shù)矩陣，分別反映了單元內(nèi)部的應(yīng)變-位移關(guān)系和應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系。

1.1幾何矩陣

如圖1所示，基于Hencky假設(shè)下，板上任意1點(diǎn)的位移函數(shù)為

式中：θy（x,y）和θx（x,y,t）為中間層平面的轉(zhuǎn)動角度。

圖1 考慮剪切影響時轉(zhuǎn)角與位移關(guān)系

此時，應(yīng)變矩陣ε表示為

式中：{δ}e為單元的結(jié)點(diǎn)位移值；[B]為幾何矩陣，二者詳細(xì)表示如下

中面為平面曲邊四邊形的8結(jié)點(diǎn)板單元如圖2所示。其中面形狀和厚度描述為

圖2 8結(jié)點(diǎn)Hencky板單元

8結(jié)點(diǎn)Hencky板殼殼單元的形函數(shù)為

式中：Ni（ξ，η）為局部坐標(biāo)的插值函數(shù)。

而[B]矩陣要求對整體坐標(biāo)進(jìn)行求導(dǎo)，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換有

式中：[J]為雅可比矩陣，階次為2×2。

結(jié)合式（2）～（5），可寫出任意位置點(diǎn)i（ξ，η）的形函數(shù)Ni，根據(jù)式（6）計算形函數(shù)Ni對坐標(biāo)x，y的1階偏導(dǎo)數(shù)。

1.2 等效剛度矩陣

假設(shè)材料表現(xiàn)為正交各向異性，各層的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系為

式中：[Q]為剛度相關(guān)矩陣，各非零元素為

式中：E1、E2分別為材料在 0°、90°方向的楊氏模量；ν為材料的泊松比。

為了體現(xiàn)各層的鋪層方向，在微觀層次下統(tǒng)一復(fù)合材料纖維的坐標(biāo)系統(tǒng)，如圖3所示。此時單層結(jié)構(gòu)主軸方向1-2與x-y坐標(biāo)之間的夾角為θk（k=1，2，…，n）。引入坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式

圖3 局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)的幾何關(guān)系

其中l(wèi)=cosθ，m=sinθ。

于是，任意θ角方向剛度矩陣可以表示為

N層結(jié)構(gòu)的層合板總應(yīng)變能可寫成

式中：Ω為待積分平面；hk和hk-1為第k層板的上、下面的坐標(biāo)值。

將式（3）代入式（11）中，計算層合板剛度系數(shù)矩陣

1.3 特征方程

層合板系統(tǒng)內(nèi)部的總應(yīng)變能為

式中：{δ}為節(jié)點(diǎn)位移。

類似地，層合板總動能可表示為

式中：[M]為總質(zhì)量矩陣；ω為角頻率。

根據(jù)最小勢能原理

得到標(biāo)準(zhǔn)特征方程

通過式（16）可以求得各特征值ωr以及相對應(yīng)的各模態(tài)振型δr。

2 比阻尼容量

計算系統(tǒng)的耗散能量ΔU與系統(tǒng)的最大應(yīng)變能U的比值，將上述比值定義為1個周期內(nèi)的比阻尼容量φSDC，即

經(jīng)過調(diào)研，由于教師薪酬、院校辦學(xué)經(jīng)費(fèi)等原因，吉林省高職院校旅游管理專業(yè)的核心課程教學(xué)任務(wù)基本上都是由本校教師承擔(dān)，即使外聘教師，通常也對其學(xué)歷及職稱有要求，這就極大限制了旅游企業(yè)在一線實(shí)踐技能高超的人員走進(jìn)大學(xué)課堂。在師資引進(jìn)時，各院校對應(yīng)聘者學(xué)歷要求是首要考慮的因素，以旅游管理專業(yè)博士研究生為主、碩士研究生為輔。從教育規(guī)律來看，碩士、博士階段是以培養(yǎng)科研型人才為主，因此，進(jìn)入高職院校從事教學(xué)活動的教師通常具有極高的科研能力，但是大多沒有旅游企業(yè)實(shí)踐經(jīng)歷，其實(shí)踐技能相對匱乏，這就與高職院校培養(yǎng)高技能應(yīng)用型人才產(chǎn)生了矛盾。

在此基礎(chǔ)上，假設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中的耗散能量ΔU等于各方向應(yīng)力產(chǎn)生耗散能量之和

或者簡化成

式中：ψij為上述各向的損耗因子。

本文通過對三相橋聯(lián)模型[14]等效方法進(jìn)行改進(jìn)求得，式（18）可以整理為

求解等效阻尼剛度系數(shù)矩陣Dd與D類似，將式（12）中替換成如式（21）所示。

層合板系統(tǒng)的耗散能ΔU表示為

任意階模態(tài)振型δr可通過式（16）得到，最大應(yīng)變能U和耗散能量ΔU可以根據(jù)式（13）、（22）得到。將U和ΔU代入式（17）得到各階比阻尼容量φr。

3 模型驗證

本文基于Hencky理論假設(shè)，建立了8結(jié)點(diǎn)四邊形板殼單元模型，對其各階固有頻率進(jìn)行預(yù)測，并利用能量法求解各階模態(tài)比阻尼容量。約束條件為一端固支的情況。為了驗證有限元模型的有效性，首先將計算結(jié)果與文獻(xiàn)[15]中瑞利-里茲法的理論值和試驗結(jié)果進(jìn)行比較。

目標(biāo)復(fù)合材料913C-TS與913C-HTA的材料參數(shù)見表1。

表1 目標(biāo)復(fù)合材料屬性參數(shù)

目標(biāo)復(fù)合材料層合板材料參數(shù)詳見文獻(xiàn)[15]，對結(jié)果進(jìn)行比較見表2、3。

表2 層合板材料913C-TS參數(shù)

從表中可見，在2種材料和鋪層設(shè)置情況下，無論是固有頻率或者比阻尼容量，本文提出的改進(jìn)模型的預(yù)測結(jié)果與瑞利-里茲法解析以及文獻(xiàn)[15]中試驗結(jié)果吻合性良好，初步說明了改進(jìn)模型的有效性，在原有研究基礎(chǔ)上考慮了剪切效應(yīng)的影響，可進(jìn)一步用于試驗測試驗證及參數(shù)討論，對碳纖維復(fù)合材料層合板等效損耗因子的研究提供了新方法，在其阻尼特性研究上具有較高的參考價值。總的來說，固有頻率各結(jié)果之間的誤差基本小于比阻尼容量之間的誤差，側(cè)面反映了阻尼機(jī)理的復(fù)雜性以及難以預(yù)測性。

表3 層合板材料913C-HTA 參數(shù)

4 參數(shù)討論

根據(jù)本文建立的Hencky理論有限元模型詳細(xì)討論復(fù)合材料層合板的結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)（主要是邊長）對前6階固有頻率的影響，如圖4、5所示。

圖4 邊長a對固有頻率的影響（T300/BMP316）

圖5 邊長b對固有頻率的影響（T300/BMP316）

從圖4中可見，第1、3階固有頻率變化幅度微小，其振型分別表現(xiàn)為1階彎曲和2階彎曲，說明層合板彎曲變形受寬度a變化影響很小；第6階固有頻率在各階段的幅度變化程度不同，當(dāng)邊長比值在0.6附近時，第6階固有頻率幅度變化最為顯著，而比值達(dá)到0.7時，第6階固有頻率變化幅度趨于平緩；（3）第4、5階固有頻率均隨寬度a的增加呈近似線性降低，且各階頻率接近。

從圖5中可見，第1、2階固有頻率表現(xiàn)平緩，第3～5階固有頻率均隨長度減小呈一定比例線性提高，且第4、5階固有頻率變化十分接近，而第6階固有頻率受長度變化的影響同樣是最為顯著。

綜上所述，第1階固有頻率受層合板結(jié)構(gòu)的長寬比影響微小，第2～5階頻率軌跡大多呈近似線性變化，而第6階固有頻率受長寬比變化影響最大。從層合板結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)上詳細(xì)分析了長寬比對結(jié)構(gòu)各階模態(tài)特性的影響，對結(jié)構(gòu)部件抗振優(yōu)化設(shè)計有一定參考價值。

5 總結(jié)

本文應(yīng)用Hencky假設(shè)，考慮剪切效應(yīng)，建立了復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)的有限元模型，通過推導(dǎo)層合板總剛度、質(zhì)量、阻尼矩陣，引入了耗散能原理，求解了目標(biāo)算例復(fù)合材料層合板的前6階模態(tài)及相應(yīng)的比阻尼容量。將結(jié)果與現(xiàn)有文獻(xiàn)的理論解進(jìn)行對比，初步驗證了本文改進(jìn)模型的有效性，并結(jié)合試驗結(jié)果進(jìn)一步說明模型的準(zhǔn)確性。

研究表明：復(fù)合材料層合板在一端固支下，無論是長度還是寬度的變化，對第1階固有頻率的影響都很微弱，而第4、5階固有頻率表現(xiàn)出趨于同頻現(xiàn)象，振型也會產(chǎn)生類似變化趨勢。而在長度和寬度變化下，第6階模態(tài)結(jié)果則表現(xiàn)出相反的對數(shù)變化軌跡。

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