三次B樣條有限體積元法

秦丹丹， 馮 雪， 申延成， 黃文竹

(1.空軍航空大學(xué) 基礎(chǔ)部， 吉林 長春 130022；2.貴州醫(yī)科大學(xué) 生物與工程學(xué)院， 貴州 貴陽 550025)

0 引 言

由于B樣條函數(shù)是對(duì)稱單峰值函數(shù)，并且具有光滑性好、緊支集等特點(diǎn)，在插值逼近和微分方程求解問題中有廣泛應(yīng)用。B樣條函數(shù)的光滑性要優(yōu)于Lagrange和Hermite型樣條函數(shù)，并且以B樣條為基函數(shù)的有限元空間只有一組基函數(shù)，而Lagrange和Hermite型有限元空間都是兩組基函數(shù),因此，在微分方程的數(shù)值計(jì)算中，B樣條函數(shù)是值得研究的。以B樣條為基函數(shù)的有限體積元法生成的剛度矩陣是稀疏的，并且有對(duì)稱性和正定性，便于計(jì)算實(shí)現(xiàn)?？梢哉f，B樣條有限體積元法兼具差分法和有限元法的優(yōu)點(diǎn)?；谝陨峡紤]，文中構(gòu)造了三次B樣條有限體積元法。

1 B樣條的定義與性質(zhì)

B樣條函數(shù)有多種定義方法，文中介紹兩種。文中m和n都是正整數(shù)。

Mm(x)=Mm[xj,xj+1,…,xj+m;x]=

稱Mm(x)為關(guān)于節(jié)點(diǎn)xj，xj+1，…，xj+m的m階m-1次B樣條函數(shù)[1]。

文中用到的等距B樣條函數(shù)與定義1有所不同，按照下面的遞推關(guān)系式給出。

定義2m階B樣條的卷積定義式[1-2]：

m≥2,

其中

由定義1和定義2得知，兩種定義之間可以相互轉(zhuǎn)化。

由定義2能夠推出m階B樣條的相關(guān)性質(zhì)：

1)正定性與緊湊性，Sm(x)≥0，具有緊支集[0,m]；

2)分段光滑性，Sm(x)是一個(gè)分段m-1次多項(xiàng)式，Sm(x)∈Cm-2(-,)；

4)成立積分遞推式

及代數(shù)遞推式

其中，m=1,2,…。

B樣條還具有許多優(yōu)良性質(zhì)[2]。

根據(jù)定義2可以計(jì)算出三次B樣條的表達(dá)式：

2 基于B樣條的有限體積元法

考慮兩點(diǎn)邊值問題：

i=-3,-2,…,n-1。

為方便處理強(qiáng)加邊值條件，將前三個(gè)函數(shù)換成線性組合[3-5]：

6φ-3(x)，

φ-2(x)-4φ-3(x)，

同時(shí)將最后三個(gè)基函數(shù)也換成線性組合：

φn-2(x)-4φn-1(x)，

6φn-1(x)。

改換前后兩個(gè)空間是等價(jià)的。任一uh∈Uh可以表示成

其中，j=0,1,2,…,n。

a(uh,vh)=(f,vh),

?vh∈Vh。

a(u,v)是對(duì)稱正定的雙線性形式，變分形式有唯一解。

兩點(diǎn)邊值問題的積分守恒形式為:求uh∈Uh，使得

uh(xi)=ci-3φi-3(xi)+ci-2φi-2(xi)+

ci-1φi-1(xi)

需要指出，若用Hermite型三次元求解兩點(diǎn)邊值問題，剛度矩陣的帶寬為7，與三次B樣條有限元是一樣的。但Hermite型三次元在每個(gè)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)參數(shù)，B樣條有限元在每個(gè)節(jié)點(diǎn)只有一個(gè)參數(shù)(不計(jì)邊界以外的擴(kuò)充點(diǎn))，所以，若用相同的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，兩種方法的系數(shù)矩陣階數(shù)之比約為2∶1，而二者的收斂階卻相同。從這點(diǎn)來看，B樣條有限元法更有優(yōu)勢(shì)。

3 數(shù)值算例

取a=0，b=1，p=0，f(x)=4π2sin(2πx)，兩點(diǎn)邊值問題的精確解為u(x)=sin(2πx)。用MATLAB編程得到數(shù)據(jù)見表1。

表1 三次B樣條有限體積元法的誤差與收斂階

4 結(jié) 語

構(gòu)造了基于三次B樣條的有限體積元法，該方法有很好的收斂性。在H1半模和L2模下，三次B樣條有限元法分別具有3階和4階收斂精度，三次B樣條有限元法具有最佳L2收斂階。我們發(fā)現(xiàn)B樣條有限元法與傳統(tǒng)有限元法一樣有較高的收斂階，還具有一些優(yōu)于傳統(tǒng)有限元法的性質(zhì)。

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