基于拉格朗日拋物線插值的 毛細(xì)管粘度儀液位檢測(cè)方法

溫冠華, 滕召勝, 林海軍, 唐 求, 任 建

( 1. 湖南大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院, 湖南 長(zhǎng)沙 410082; 2. 湖南師范大學(xué) 工學(xué)院, 湖南 長(zhǎng)沙 410081)

1 引 言

近年來,液體粘度測(cè)量的應(yīng)用領(lǐng)域日益廣泛。毛細(xì)管粘度儀憑借原理簡(jiǎn)單、測(cè)量精度高等特點(diǎn)成為最常用的粘度測(cè)量?jī)x器[1]。毛細(xì)管粘度儀基于相對(duì)測(cè)量原理,通過測(cè)量液體在重力作用下流經(jīng)計(jì)時(shí)起點(diǎn)刻度線和計(jì)時(shí)終點(diǎn)刻度線的時(shí)間差來確定液體粘度[2]。因此,在使用毛細(xì)管粘度儀進(jìn)行粘度測(cè)量時(shí)液位檢測(cè)起著關(guān)鍵作用,其檢測(cè)精度、速度對(duì)粘度測(cè)量結(jié)果具有重要影響[3]。早期的毛細(xì)管粘度儀測(cè)量過程中由操作人員肉眼觀察、判斷液面,確定計(jì)時(shí)起點(diǎn)與終點(diǎn)[4],過程繁瑣,誤差大。現(xiàn)有自動(dòng)粘度儀多采用光敏元件進(jìn)行液位檢測(cè)[5～8],凹形液面易對(duì)采樣時(shí)刻的確定造成誤差。為此,文獻(xiàn)[4]提出一種基于最小二乘擬合的自適應(yīng)液位檢測(cè)方法,一定程度上克服了凹形液面及采樣間隔對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響,但計(jì)算量較大,實(shí)時(shí)性受限,且當(dāng)采樣間隔不同時(shí),獲得的計(jì)時(shí)點(diǎn)差異較大。

本文提出一種基于拉格朗日拋物線插值的液位檢測(cè)方法,對(duì)采樣得到的液位檢測(cè)電壓信號(hào)進(jìn)行一階差分處理,搜索一階差分最小的采樣時(shí)刻,選取該采樣時(shí)刻與其前后兩個(gè)采樣時(shí)刻的電壓一階差分值作為插值點(diǎn)進(jìn)行插值,并將插值多項(xiàng)式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)確定液位檢測(cè)的計(jì)時(shí)點(diǎn),有效克服凹形液面和采樣間隔對(duì)液位檢測(cè)結(jié)果的影響,減少計(jì)算量,提高毛細(xì)管粘度儀液位檢測(cè)的準(zhǔn)確性與實(shí)時(shí)性。

2 毛細(xì)管粘度儀液位檢測(cè)原理

毛細(xì)管粘度儀的結(jié)構(gòu)如圖1所示。圖1中m1、m2分別為計(jì)時(shí)起點(diǎn)刻度線和計(jì)時(shí)終點(diǎn)刻度線;F1、F2為2組對(duì)射式光纖傳感器,分別安裝在計(jì)時(shí)起點(diǎn)刻度線和計(jì)時(shí)終點(diǎn)刻度線位置,用于液位檢測(cè)[9]。

圖1 毛細(xì)管粘度儀結(jié)構(gòu)圖

粘度測(cè)量過程中,F1檢測(cè)到液位降至m1位置時(shí)記錄時(shí)間ts;F2檢測(cè)到液位降至m2位置時(shí)記錄時(shí)間te。若儀器常數(shù)為C,則測(cè)得的液體運(yùn)動(dòng)粘度ν為:

ν=C(te-ts)

(1)

由式(1)可見,ν的準(zhǔn)確度由ts和te的準(zhǔn)確度決定,液位檢測(cè)時(shí)計(jì)時(shí)點(diǎn)的確定是確保粘度測(cè)量準(zhǔn)確度的關(guān)鍵。

被測(cè)液體在下降過程中受到吸附力和表面張力的作用,會(huì)在粘度儀測(cè)量管內(nèi)呈凹形液面。當(dāng)液位分別下降至m1和m2位置時(shí),對(duì)應(yīng)位置的光纖傳感器發(fā)射探頭發(fā)射的紅外光絕大部分被液面反射和折射,僅少部分被接收探頭接收,此時(shí)液位檢測(cè)電壓明顯變小直至趨于穩(wěn)定,該信號(hào)經(jīng)調(diào)理放大和A/D轉(zhuǎn)換后輸入MCU分析處理,獲得計(jì)時(shí)時(shí)刻。凹形液面具有一定的深度,底端和頂端分別到達(dá)刻度線位置有一定的時(shí)間差,由此會(huì)產(chǎn)生固定的引入誤差。為減小這種誤差,提高計(jì)時(shí)點(diǎn)的檢測(cè)準(zhǔn)確度,對(duì)m1和m2處計(jì)時(shí)點(diǎn)的選取需具一致性。

3 基于插值的液位檢測(cè)方法

為克服凹形液面對(duì)計(jì)時(shí)點(diǎn)選取的影響,計(jì)時(shí)起點(diǎn)和終點(diǎn)均選取液位檢測(cè)信號(hào)衰減最快的時(shí)刻,并采用插值方法克服采樣間隔引起的計(jì)時(shí)誤差。

3.1 液位數(shù)據(jù)預(yù)處理

(2)

式中:ui為濾波后第i個(gè)采樣時(shí)刻的液位檢測(cè)電壓。

3.2 插值點(diǎn)判定

對(duì)預(yù)處理后的液位檢測(cè)信號(hào)進(jìn)行一階差分處理,差分曲線如圖2所示。圖2中一階差分曲線存在最小值,即存在液位檢測(cè)信號(hào)衰減最快的時(shí)刻。

圖2 液位檢測(cè)信號(hào)的一階差分曲線

由于采樣間隔的存在,采用一階差分值最小的采樣時(shí)刻作為計(jì)時(shí)點(diǎn)存在一個(gè)最大為采樣間隔時(shí)間的計(jì)時(shí)誤差。權(quán)衡考慮插值精度與運(yùn)算代價(jià),本文采用拉格朗日拋物線插值方法確定計(jì)時(shí)點(diǎn)[10,11]。依據(jù)插值點(diǎn)附近具有較高插值精度的特點(diǎn),選取一階差分最小的采樣時(shí)刻及其前后兩個(gè)時(shí)刻的差分值為插值點(diǎn)。對(duì)液位檢測(cè)信號(hào)進(jìn)行一階差分處理:

Δui=ui-ui-1

(3)

式中:Δui為第i個(gè)采樣時(shí)刻的液位檢測(cè)信號(hào)的一階差分;ui為第i個(gè)采樣時(shí)刻的液位檢測(cè)信號(hào);ui-1為第i-1個(gè)采樣時(shí)刻的液位檢測(cè)信號(hào)。

采用改進(jìn)的3σ準(zhǔn)則判定一階差分最小采樣時(shí)刻。傳統(tǒng)的3σ準(zhǔn)則對(duì)每個(gè)時(shí)刻的判定過程中均需進(jìn)行一次均值計(jì)算和標(biāo)準(zhǔn)偏差計(jì)算。當(dāng)采樣時(shí)刻較多時(shí),判定過程計(jì)算量大。為簡(jiǎn)化判定過程,在確保判定結(jié)果可靠度的前提下對(duì)3σ準(zhǔn)則做出如下改進(jìn):

1) 將初始q+2p個(gè)采樣時(shí)刻的液位檢測(cè)信號(hào)一階差分Δu0,Δu1,…,Δuq+2p-1進(jìn)行排序,去掉首位各p個(gè)值,得到新序列Δw0,Δw1,…,Δwq-1;

2) 計(jì)算新序列的平均值v和標(biāo)準(zhǔn)偏差σ,用于后續(xù)所有判定過程,無需重新計(jì)算平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差,減少計(jì)算量。計(jì)算公式如下:

(4)

3) 當(dāng)前采樣時(shí)刻的液位檢測(cè)信號(hào)一階差分Δui代入式(5)進(jìn)行判定,若滿足式(5)則認(rèn)為當(dāng)前時(shí)刻滿足一階差分最小采樣時(shí)刻的一個(gè)條件。

|Δui-v|>3σ

(5)

為確定當(dāng)前時(shí)刻是否為一階差分最小采樣時(shí)刻,還需對(duì)后續(xù)M個(gè)時(shí)刻的液位檢測(cè)信號(hào)的一階差分進(jìn)行分析。滿足式(6)時(shí),當(dāng)前采樣時(shí)刻為一階差分最小采樣時(shí)刻,該時(shí)刻與其前后2個(gè)時(shí)刻的差分值即為插值點(diǎn)。

(6)

3.3 基于插值方法的計(jì)時(shí)點(diǎn)確定

若一階差分最小采樣點(diǎn)及其前后采樣點(diǎn)坐標(biāo)分別為(t1,Δu1),(t0,Δu0)和(t2,Δu2),則經(jīng)過這3個(gè)點(diǎn)的拉格朗日拋物線插值曲線如圖3所示。

圖3 拉格朗日插值拋物線

求解上述拉格朗日拋物線插值多項(xiàng)式為:

(7)

式中：Δu(t)為t時(shí)刻的液位檢測(cè)信號(hào)的一階差分。設(shè)定采樣間隔為Δt,其二次項(xiàng)系數(shù)a化簡(jiǎn)得:

(8)

而Δu0、Δu1、Δu2滿足:

(9)

所以有:

a>0

(10)

因此上述拉格朗日拋物線開口向上,存在最小值,對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)得:

(11)

式(11)導(dǎo)數(shù)為零時(shí),一階差分最小,此時(shí)t為克服了采樣間隔的計(jì)時(shí)點(diǎn)。求解t并化簡(jiǎn)得:

(12)

4 2種算法計(jì)算量對(duì)比

文獻(xiàn)[4]提出的基于最小二乘線性擬合的自適應(yīng)液位檢測(cè)方法是近年來應(yīng)用比較廣泛的毛細(xì)管粘度儀液位檢測(cè)方法。將本文方法與文獻(xiàn)[4]方法的計(jì)算量進(jìn)行分析比較。

4.1 文獻(xiàn)[4]的計(jì)算量

1) 擬合起點(diǎn)確定過程中,計(jì)算量主要集中在使用羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則進(jìn)行粗大誤差判定的過程。若均值濾波窗口長(zhǎng)度為L(zhǎng)1,則每判定一個(gè)點(diǎn),計(jì)算量近似為L(zhǎng)1次乘法運(yùn)算和2L1次加法運(yùn)算。若進(jìn)行N1次判定之后確定擬合起點(diǎn)則計(jì)算量約為N1L1次乘法運(yùn)算和2N1L1次加法運(yùn)算。

2) 線性擬合過程中,擬合點(diǎn)數(shù)為N2時(shí),計(jì)算量近似為2N2次乘法運(yùn)算和5N2次加法運(yùn)算。為確定計(jì)時(shí)點(diǎn)還需獲得非計(jì)時(shí)刻度線區(qū)域的液位檢測(cè)電壓,采用窗口長(zhǎng)度為L(zhǎng)2滑動(dòng)均值濾波,計(jì)算量約為L(zhǎng)2次加法。

故基于最小二乘線性擬合的方法總的計(jì)算量為Cf*次乘法運(yùn)算和Cf+次加法運(yùn)算。

(13)

4.2 本文算法的計(jì)算量

1) 最佳插值點(diǎn)的判定過程中,計(jì)算量主要集中改進(jìn)的3σ準(zhǔn)則判定過程,均值v和標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的計(jì)算量為常數(shù),當(dāng)判定的點(diǎn)較多時(shí)可忽略。判定過程的比較運(yùn)算可視為加法運(yùn)算,若進(jìn)行N3次判定之后確定插值點(diǎn)則計(jì)算量近似為2N3次加法運(yùn)算。

2) 計(jì)時(shí)點(diǎn)求解的過程中,由式(12)計(jì)算計(jì)時(shí)點(diǎn),僅需進(jìn)行4次乘法運(yùn)算和4次加法運(yùn)算。

故本文基于拉格朗日插值方法總的計(jì)算量為Ci*次乘法運(yùn)算和Ci+次加法運(yùn)算。

可見,采樣點(diǎn)數(shù)較多時(shí),本文方法計(jì)算量明顯小于文獻(xiàn)[4]的計(jì)算量,運(yùn)算代價(jià)低,實(shí)時(shí)性好。

5 實(shí)驗(yàn)分析

本文采用意法半導(dǎo)體的STM32F407VGT6作為信息處理核心,對(duì)射式光纖傳感器(光纖放大器FS-N11MN+光纖探頭FU-59U)作為液位檢測(cè)元件構(gòu)建液位檢測(cè)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。為驗(yàn)證本文液位檢測(cè)方法的優(yōu)越性,采用檢定合格的1834型烏氏粘度計(jì)管(內(nèi)徑1.03 mm,儀器常數(shù)0.101 8 mm2/s2),置于25±0.1 ℃恒溫水浴,對(duì)蜂蜜、食用調(diào)和油、柴油、等多種試樣進(jìn)行了液位檢測(cè)實(shí)驗(yàn)和粘度測(cè)量實(shí)驗(yàn)。

為研究2種方法受采樣間隔的影響程度,分別設(shè)置采樣間隔為0.1 s,0.2 s及0.3 s進(jìn)行比對(duì),每個(gè)采樣時(shí)段采樣200個(gè)液位數(shù)據(jù)。對(duì)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理后。分別使用基于最小二乘線性擬合方法(取滑動(dòng)均值濾波窗口長(zhǎng)度L1=10,L2=10;羅曼諾夫斯基檢驗(yàn)系數(shù)為2.62;擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)N2=8)和本文方法(取比較個(gè)數(shù)M=4)獲取計(jì)時(shí)點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

表1 2種方法在不同采樣間隔時(shí)間下的計(jì)時(shí)點(diǎn)比較 s

表1表明,當(dāng)采樣間隔時(shí)間不同時(shí),基于最小二乘線性擬合的方法確定的計(jì)時(shí)點(diǎn)差異較大;本文方法在不同的采樣間隔時(shí)間下確定的計(jì)時(shí)點(diǎn)較為穩(wěn)定。本文方法的檢測(cè)結(jié)果穩(wěn)定性明顯優(yōu)于基于最小二乘線性擬合方法。

在同一實(shí)驗(yàn)條件下,使用兩種方法對(duì)上述試樣進(jìn)行粘度測(cè)定實(shí)驗(yàn)(檢測(cè)計(jì)時(shí)起點(diǎn)時(shí)間ts和到計(jì)時(shí)終點(diǎn)時(shí)間te,并代入式(1)計(jì)算試樣的運(yùn)動(dòng)粘度ν)。表2、表3分別為食用調(diào)和油、百花蜂蜜水的粘度測(cè)量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。表2、表3中重復(fù)性定義為同組兩次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之差與平均值的比值?？梢?本文方法運(yùn)動(dòng)粘度測(cè)量的重復(fù)性優(yōu)于0.1%,滿足國(guó)標(biāo)GB10247-88規(guī)定的優(yōu)于0.35%的要求,標(biāo)準(zhǔn)差小于基于最小二乘線性擬合方法粘度測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差。

表2 食用調(diào)和油運(yùn)動(dòng)粘度測(cè)量數(shù)據(jù)比較

表3 百花蜂蜜水運(yùn)動(dòng)粘度測(cè)量數(shù)據(jù)比較

6 結(jié) 論

提出了一種基于拉格朗日拋物線插值的毛細(xì)管粘度儀液位檢測(cè)方法,使用光纖傳感器作為液位檢測(cè)元件,對(duì)液位檢測(cè)信號(hào)進(jìn)行差分處理,選取插值點(diǎn)進(jìn)行拉格朗日拋物線插值,并將插值多項(xiàng)式對(duì)時(shí)間t求導(dǎo),獲得液位檢測(cè)計(jì)時(shí)點(diǎn)。與現(xiàn)有基于最小二乘線性擬合方法對(duì)比,計(jì)算量小,實(shí)時(shí)性好。液位檢測(cè)實(shí)驗(yàn)表明本文方法受采樣間隔時(shí)間影響小,穩(wěn)定性好;粘度測(cè)定實(shí)驗(yàn)表明本文方法的粘度測(cè)定結(jié)果重復(fù)性小于0.1%,優(yōu)于國(guó)標(biāo)0.35%的要求。本文方法同樣適合其他類型液體的液位檢測(cè)。

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