巧用類比，學(xué)好一元一次不等式

◎袁冬華

不等式是刻畫現(xiàn)實世界中量與量之間不等關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型.一元一次不等式是表示不等關(guān)系的最基本的工具，是同學(xué)們學(xué)習(xí)其他相關(guān)數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，倍受廣大命題者的青睞，并成為中考的熱門考點之一.學(xué)習(xí)本章內(nèi)容時，同學(xué)們?nèi)裟芘c等式的性質(zhì)、一元一次方程、一元一次方程的解法、利用方程（組）分析解決實際問題等有明顯對應(yīng)關(guān)系的知識聯(lián)系起來學(xué)，了解它們的聯(lián)系與區(qū)別，便會有新的提高.

一、不等式的基本性質(zhì)VS等式的基本性質(zhì)

不等式的性質(zhì)是對不等式進行變形的重要依據(jù)，要特別注意會使不等號方向改變的變形.不等式兩邊乘同一個數(shù)，實際上有3種情況：乘同一個正數(shù)，乘0，乘同一個負數(shù).當不等式的兩邊都乘0時，不等式變?yōu)榈仁?不等式性質(zhì)1類似等式性質(zhì)1，不等號的方向不改變；不等式性質(zhì)2中不等式兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變，這是不等式獨有的性質(zhì)，也是初學(xué)者易錯的地方，因此要特別注意.

例1 下列等式變形錯誤的是（ ）.

A.由a=b得a+5=b+5

C.由x+2=y+2得x=y

D.由-3x=-3y得x=-y

【解析】A.∵a=b，由等式性質(zhì)1，等式兩邊同時加5，得a+5=b+5，正確；

B.∵a=b，由等式性質(zhì)2，等式兩邊同時除以-9，得=，正確；

C.∵x+2=y+2，由等式性質(zhì)1，等式兩邊同時減去2，得x=y，正確；

D.∵-3x=-3y，由等式性質(zhì)2，等式兩邊同時除以-3，得x=y，該選項錯誤.故選D.

【點評】本例重在考查等式的性質(zhì).

例2 已知a＜b，則下列四個不等式中不正確的是（ ）.

A.4a＜4b B.-4a＜-4b

C.a+4＜b+4 D.a-4＜b-4

【解析】依據(jù)不等式性質(zhì)2，由a＜b，可知4a＜4b，故A正確；

依據(jù)不等式性質(zhì)2，由a＜b，得-4a＞-4b，故B不正確；

依據(jù)不等式的性質(zhì)1，可得a+4＜b+4，a-4＜b-4，故C、D正確.故選B.

【點評】本例重在考查不等式的性質(zhì)，特別是性質(zhì)2，兩邊同乘（或除以）同一個負數(shù)時，一定要改變不等號的方向！

二、一元一次不等式的解集VS一元一次方程的解

方程的解、不等式的解、不等式的解集，這3個定義的相同點是定義方式相同，解的表示方法也相同.不同點是解的個數(shù)不同.一般地，一個不等式有無數(shù)個解，而一個方程只有一個或幾個解，例如，x=1能使不等式3x＞1成立，那么x=1是不等式的一個解，類似地x=1，2，3，4…也能使不等式3x＞1成立，它們都是不等式3x＞1的解.事實上，當x取大于的數(shù)時，

不等式3x＞1都成立，所以不等式3x＞1有無數(shù)多個解，不等式3x＞1的解集是x＞

例3 已知關(guān)于x的方程（1-a）x=3，其中a≠1，求方程的解.

【點評】根據(jù)解一元一次方程的步驟，把系數(shù)化為1.

例4 已知關(guān)于x的不等式（1-a）x＞3的解集為x＜，則a的取值范圍是 .

【解析】由不等式性質(zhì)，可知1-a＜0，

∴a＞1.

【點評】注意到不等號方向已發(fā)生改變，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可判斷1-a＜0，由此可求出a的取值范圍.

三、解一元一次不等式的步驟VS解一元一次方程的步驟

【解析】去分母，得2（2x-1）-24=-3（x+4）.

去括號，得4x-2-24=-3x-12.

移項、合并同類項，得7x=14.

兩邊都除以7，得x=2.

【點評】在學(xué)習(xí)一元一次不等式之前，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了解一元一次方程.它的解法步驟是：（1）去分母；（2）去括號；（3）移項；（4）合并同類項；（5）把系數(shù)化為1.

【解析】去分母，得2（2x-1）-24＜-3（x+4）.

去括號，得4x-2-24＜-3x-12.

移項、合并同類項，得7x＜14.

兩邊都除以7，得x＜2.

【點評】解一元一次不等式的一般步驟與解一元一次方程的一般步驟類似，在解題過程中要體會類比、化歸的數(shù)學(xué)思想方法.在不等式兩邊都乘（或除以）同一個不等于0的數(shù)時，必須根據(jù)這個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)，正確地運用不等式的基本性質(zhì)2.特別要注意，在不等式兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù)時，要改變不等號的方向.當然，如果不能確定同乘（或同除）的數(shù)的符號時，就要進行討論.所以只要掌握它們之間的相同點與不同點，那么新知便變成了舊知，易于理解和掌握.

【點評】先去分母，再移項、合并同類項，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)求解集，最后將解集在數(shù)軸上表示出來即可.

四、一元一次不等式的應(yīng)用VS一元一次方程的應(yīng)用

例7 如圖，用火柴棒按以下方式搭“小魚”.

（1）搭n條“小魚”需要火柴棒多少根？

（2）計算搭12條“小魚”需要多少根火柴棒？

（3）若搭n朵某種“小花”需要火柴棒（3n+20）根，現(xiàn)有一堆火柴棒，可以全部用上搭出m條“小魚”，也可以全部用上搭出m朵“小花”，求m的值及這堆火柴棒的數(shù)量.

【解析】（1）搭n條“小魚”需要火柴棒的數(shù)量為8+6（n-1）=6n+2.

（2）當n=12時，6n+2=6×12+2=74（根）；

（3）根據(jù)題意可得3m+20=6m+2，

解得m=6.

答（略）.

例8 如圖，用火柴棒按以下方式搭“小魚”.

1.搭1條“小魚”需幾根火柴棒？2條“小魚”需幾根火柴棒？3條“小魚”需幾根火柴棒？

2.照這樣搭下去，搭n條“小魚”，需要多少根火柴棒？

3.用少于50根火柴棒最多可以搭出來多少條“小魚”？

【解析】1.搭1條“小魚”需8根火柴棒，2條“小魚”需14根火柴棒，3條“小魚”需20根火柴棒.

2.照這樣搭下去，搭n條“小魚”，需要8+6（n-1）根火柴棒.

3.根據(jù)題意可得8+6（n-1）＜50，

解得n＜8.

∴最多可以搭出來7條“小魚”.

【點評】用不等式解決問題的步驟：理解題意，找一個能表示實際問題意義的不等關(guān)系.在寫解答的過程中，應(yīng)先設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)不等關(guān)系列出一元一次不等式，最后解這個不等式，寫出答案.

方程與不等式是同屬“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域內(nèi)的兩部分內(nèi)容，它們之間有密切的聯(lián)系，存在許多可以進行類比的內(nèi)容.我們在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過有關(guān)方程（組）內(nèi)容的基礎(chǔ)上，充分發(fā)揮學(xué)習(xí)心理學(xué)中正向遷移的積極作用，借助已有的對方程的認識，可以為進一步學(xué)習(xí)不等式（組）提供一條合理的學(xué)習(xí)之路.

拓展訓(xùn)練

1.下列說法不一定成立的是（ ）.

A.若a＞b，則a+c＞b+c

B.若a+c＞b+c，則a＞b

C.若a＞b，則ac2＞bc2

D.若ac2＞bc2，則a＞b

答案：C.

2.2x-5＜5-2x的正整數(shù)解是 .

【解析】∵2x-5＜5-2x，

∴4x＜10，

∴原不等式的正整數(shù)解是1，2.

3.解不等式x+≤1-，并將解集在數(shù)軸上表示出來.

【解析】不等式的解集是x≤；

4.有10名菜農(nóng)，每人可種甲種蔬菜3畝或乙種蔬菜2畝，已知甲種蔬菜每畝可收入0.5萬元，乙種蔬菜每畝可收入0.8萬元，要使總收入不低于15.6萬元，則最多只能安排多少人種甲種蔬菜？

【解析】設(shè)安排x人種甲種蔬菜，則3x·0.5+0.8（10-x）·2≥15.6，x≤4.

故最多只能安排4人種甲種蔬菜.