基于kriging函數(shù)的連續(xù)剛構(gòu)橋結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

鄒 翔

(中鐵第四勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司 武漢 430063)

橋梁的設(shè)計(jì)參數(shù)對結(jié)構(gòu)受力性能有著直接的影響[1]，且會(huì)影響結(jié)構(gòu)的后期運(yùn)行管理及維護(hù)加固。對于結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)參數(shù)，先行方法多為經(jīng)驗(yàn)公式或參考同類橋梁等方法。已有的相關(guān)文獻(xiàn)中，往往是對各個(gè)設(shè)計(jì)變量單獨(dú)地進(jìn)行分析，缺乏對各變量之間相互影響的研究[2]。實(shí)際上，一個(gè)優(yōu)化目標(biāo)往往與幾個(gè)變量有關(guān)，各設(shè)計(jì)變量按照單一分析結(jié)果取得最優(yōu)值時(shí)，優(yōu)化目標(biāo)往往并不是最優(yōu)的，這必然會(huì)影響優(yōu)化的效果。

在進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，往往需要多次調(diào)用有限元模型，而大型結(jié)構(gòu)的有限元模型計(jì)算需要花費(fèi)大量時(shí)間，從而影響優(yōu)化速度。代理模型作為有限元模型的擬合模型，具有計(jì)算速度快，參數(shù)關(guān)系明晰的特點(diǎn)。在構(gòu)建完代理模型后，每次只需要調(diào)用代理模型即可完成優(yōu)化結(jié)果的計(jì)算，極大地減少了優(yōu)化時(shí)間。在建立代理模型的過程中需要在設(shè)計(jì)變量的可行域內(nèi)抽取樣本用于構(gòu)建kriging函數(shù)，樣本抽取的好壞直接影響kriging函數(shù)對有限元模型模擬的精度，因此，本文采用在空間抽樣中廣度較好的拉丁超立方抽樣作為抽樣方法保證kriging函數(shù)的精度。

1 拉丁超立方抽樣和kriging函數(shù)

1.1 拉丁超立方抽樣

(k=1，2，…，m)

(1)

這樣就得到了拉丁超立方抽樣樣本。寫成向量的表達(dá)形式為

(2)

1.2 kriging代理模型

kriging函數(shù)[3]通過參數(shù)的確定部分和非參數(shù)的隨機(jī)過程對實(shí)際結(jié)構(gòu)有限元模型進(jìn)行模擬。Kriging又稱空間局部插值法[4]，是以變異函數(shù)理論和結(jié)構(gòu)分析為基礎(chǔ)，在有限區(qū)域內(nèi)對區(qū)域化變量進(jìn)行無偏最優(yōu)估計(jì)的一種方法，是代理模型擬合的主要內(nèi)容。其實(shí)質(zhì)是利用區(qū)域化變量的原始數(shù)據(jù)和變異函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，對未知樣點(diǎn)進(jìn)行線性無偏、最優(yōu)估計(jì)。無偏是指偏差的數(shù)學(xué)期望為0，最優(yōu)是指估計(jì)值與實(shí)際值之差的平方和最小。

首先假設(shè)區(qū)域化變量滿足二階平穩(wěn)假設(shè)和本征假設(shè)，其數(shù)學(xué)期望為m，協(xié)方差函數(shù)及變異函數(shù)存在。即

(3)

假設(shè)在待估計(jì)點(diǎn)(x)的臨域內(nèi)共有n個(gè)實(shí)測點(diǎn)，即x1，x2，…，xn，其樣本值為Z(xi)。那么，普通kriging的插值公式為

(4)

2 人工蜂群優(yōu)化算法

人工蜂群算法通過模擬自然界蜂群尋找蜜源的行為來完成優(yōu)化過程[5-6]。標(biāo)準(zhǔn)的ABC算法通過模擬實(shí)際蜜蜂的采蜜機(jī)制將人工蜂群分為3類:采蜜蜂、觀察蜂和偵察蜂。整個(gè)蜂群的目標(biāo)是尋找花蜜量最大的蜜源[7]。在標(biāo)準(zhǔn)的ABC算法中，采蜜蜂利用先前的蜜源信息尋找新的蜜源并與觀察蜂分享蜜源信息；觀察蜂在蜂房中等待并依據(jù)采蜜蜂分享的信息尋找新的蜜源；偵查蜂的任務(wù)是尋找一個(gè)新的有價(jià)值的蜜源，它們在蜂房附近隨機(jī)地尋找蜜源。

蜂群算法通過以下步驟進(jìn)行實(shí)現(xiàn)：

1) 對蜂群進(jìn)行隨機(jī)初始化。

2) 根據(jù)初始化的蜂群，按照適應(yīng)度選擇雇傭蜂。

3) 將采蜜蜂與蜜源一一對應(yīng)，根據(jù)式(1)更新蜜源信息，同時(shí)確定蜜源的花蜜量；觀察蜂根據(jù)采蜜蜂所提供的信息采用一定的選擇策略選擇蜜源，根據(jù)式(5)更新蜜源信息，同時(shí)確定蜜源的花蜜量；

(5)

4) 確定偵查蜂，并根據(jù)式(6)尋找新的蜜源。

(6)

5) 記憶迄今為止最好的蜜源。

6) 判斷終止條件是否成立。

3 工程算例

3.1 項(xiàng)目概況

跨G207國道特大橋全長約1 839 m，橋梁中心里程為DK291+605。在DK291+634-DK291+855處跨越G207國道，公路與線路大里程夾角為69°。主橋3跨連續(xù)梁跨徑組合為(78 m+140 m+78 m)，頂板寬度為8 m，箱梁根部梁高8.5 m，跨中及邊跨合龍段梁高為3 m，箱梁底板下緣按1.8次拋物線變化。主梁懸臂長度為1.75 m，翼緣外側(cè)厚15 cm，根部為60 cm，采用折線變化。箱梁采用C55混凝土。4、5號橋墩采用鋼筋混凝土雙肢變截面矩形實(shí)心墩，與主梁固結(jié)，單肢橋墩順橋向尺寸為2.5 m，橫橋向墩頂尺寸為6.5 m，并以1∶100的斜率往下放坡，3號、6號橋墩采用圓端形實(shí)體墩，上接蓋梁，墩底承臺橫橋向、順橋向均為6.6 m，厚3.0 m?？鏕207國道特大橋主橋橋型布置如圖1所示。

圖1 跨G207國道特大橋主橋布置圖(單位：m)

本文優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)是使該連續(xù)剛構(gòu)橋在成橋狀態(tài)時(shí)恒載作用下結(jié)構(gòu)的彎曲應(yīng)變能最小。結(jié)構(gòu)彎曲應(yīng)變能表示結(jié)構(gòu)的全橋受力情況，受力分布均勻的結(jié)構(gòu)具有更小的彎曲應(yīng)變能。

3.2 目標(biāo)函數(shù)及約束條件

以主梁的彎曲應(yīng)變能作為目標(biāo)函數(shù)，主梁的彎曲應(yīng)變能可以作為判別指標(biāo)來評價(jià)主梁彎矩平均分布，結(jié)構(gòu)彎曲應(yīng)變能的一般表達(dá)式為

(7)

對于離散的桿系結(jié)構(gòu)，這個(gè)表達(dá)式可以寫成

(8)

式中：m為主梁單元數(shù)：Li和(EI)i分別為主梁第i單元的長度和抗彎剛度;MiL和MiR分別為主梁第i單元的左端彎矩和右端彎矩。主梁彎曲應(yīng)變能指標(biāo)Ub綜合考慮了全部桿件端彎矩及截面抗彎剛度的影響，并不局限于彎矩局部極值，反映了整個(gè)主梁彎矩分布的均勻性。

根據(jù)文獻(xiàn)資料，選取邊中跨比、梁底拋物線冪次、橋墩順橋向的尺寸和薄壁雙墩凈距這4個(gè)對優(yōu)化目標(biāo)影響較大的參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量。在本工程實(shí)際中，這4個(gè)變量的取值依次是邊中跨比為0.557，梁底拋物線冪次為1.8，主跨與根部梁高比為15.89，雙肢凈距為3 m。根據(jù)文獻(xiàn)并結(jié)合本文工程實(shí)際。各設(shè)計(jì)變量的限值見表1。

表1 設(shè)計(jì)變量取值

施工期間的應(yīng)力約束：

運(yùn)營期間的應(yīng)力約束：

σst≤0.8σpc

σtp≤0.5ftk

使用期間撓度約束：

圖2是該3跨預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)剛構(gòu)橋的全橋模型。采用超立方法抽取50個(gè)樣本點(diǎn)，用miads Civil分別建立每組試驗(yàn)的模型，采用MATLAB作為主計(jì)算程序，調(diào)用midas模型計(jì)算每組設(shè)計(jì)參數(shù)的目標(biāo)響應(yīng)值。

圖2 全橋midas模型

采用ABC算法進(jìn)行尋優(yōu)求解，蜂群總的數(shù)量為1 000，最大迭代數(shù)100，雇傭蜂所占比例為50%。迭代終止條件為迭代次數(shù)達(dá)到上限。

3.3 優(yōu)化結(jié)果及分析

目標(biāo)函數(shù)迭代過程見圖3，經(jīng)過優(yōu)化，目標(biāo)函數(shù)值有明顯的下降，并且計(jì)算速度較快，在前幾次迭代中目標(biāo)函數(shù)即有明顯下降。經(jīng)過優(yōu)化，在邊中跨比為0.549，梁底拋物線冪次為2.0，主跨與根部梁高比值為18.43，雙肢凈距為4.50 m時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值即是全橋彎曲應(yīng)變能達(dá)到最小。

圖3 目標(biāo)函數(shù)迭代過程圖

4 結(jié)論

1) 代理模型作為有限元模型的擬合模型可以較大程度減少優(yōu)化時(shí)間，提高優(yōu)化效率。

2) 人工蜂群算法作為優(yōu)化算法，具有收斂速度快的特點(diǎn)，并且具有編程簡單的優(yōu)勢。

3) 對于跨G207國道特大橋，合理的設(shè)計(jì)參數(shù)是邊中跨比為0.549，梁底拋物線冪次為2.0，主跨與根部梁高比值為18.43，雙肢凈距為4.50 m?？蔀橥惞こ淘O(shè)計(jì)提供參考依據(jù)。

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