非齊性空間上的雙線性廣義分數(shù)次積分算子

鄭濤濤，來越富

(浙江科技學院理學院，杭州310023)

在近20年中，經(jīng)典歐式空間上的調(diào)和分析被延拓到非雙倍測度空間，其中測度μ僅滿足多項式增長條件，即存在正常數(shù)C0使得對所有的x∈n及r∈(0，∞)有

B(x，r) ∶={y∈n:|x－y|＜r}。顯然，上式中的測度并不滿足雙倍條件:μ(B(x，2r))≤Cμ(B(x，r))。非雙倍測度的分析學在解決長期而又公開的Painlevé問題時起著很重要的作用［1］。2010年，Hyt?nen［2］引入了一類滿足幾何雙倍與上雙倍條件的距離測度空間(X，d，μ)，此空間也稱為非齊性空間(見定義2與定義3)。帶多項式增長條件的度量空間與帶雙倍條件的齊性空間很自然地被這類新的距離測度空間所包含。

在這類更廣的非齊性空間上，許多人研究了Calderón-Zygmund奇異積分算子的相關(guān)性質(zhì)［3-7］。但是由于空間(X，d，μ)的弱結(jié)構(gòu)，測度在平移和伸縮時性質(zhì)較差，致使對分數(shù)型積分算子在非齊性空間上的研究結(jié)論尚不完善。因此，本文將以此非齊性空間(X，d，μ)為底空間來研究雙線性廣義分數(shù)次積分算子。

1 廣義分數(shù)次積分算子及相關(guān)定義

對于經(jīng)典歐式空間上的分數(shù)次積分算子，定義如下

其有著名的 Hardy-Littlewood-Sobolev定理［8］，即對所有的 q∈(1，n/η)，1/p=1/q－η/n，Jη是從 Lq(n)到Lp(n)的有界算子。付星等［9］515在非齊性空間(X，d，μ)上研究了廣義分數(shù)次積分算子Tβ的有界性與弱型端點估計的等價刻畫，其中

但廣義分數(shù)次積分算子在(X，d，μ)上的(Lq(μ)，Lp(μ))有界性以及弱型端點估計的證明至今還是一個公開的問題。關(guān)于廣義分數(shù)次積分算子的研究，類似于Calderón-Zygmund奇異積分算子，需假定廣義分數(shù)次積分算子滿足某一定的有界性。在此基礎(chǔ)上，周疆等［10］8以(X，d，μ)為底空間研究了廣義分數(shù)次積分算子Tβ在非雙倍測度Morrey空間上的有界性。謝如龍等［11］3將廣義分數(shù)次積分算子推廣到雙線性情形并研究了其交換子。在文獻［10-11］中，為獲得廣義分數(shù)次積分算子的若干有界性，需要對(X，d，μ)中的測度μ加齊次性輔助條件。本文擬以(X，d，μ)為底空間，研究雙線性廣義分數(shù)次積分算子在非雙倍測度Morrey空間上(見定義4)的有界性，且關(guān)于測度μ不需增加齊次性輔助條件。為陳述本文的主要問題，我們先給出相關(guān)定義。

定義1 在(X，d，μ)上的雙線性分數(shù)次積分算子的定義，設(shè)A＞0是一個常數(shù)，α∈(0，2)。設(shè)K(x，y1，y2)是(X)3的對角線 {x =y1=y2}之外的局部可積函數(shù)，并滿足下面的尺寸條件與光滑性條件:

1)當(x，y1，y2)∈(X)3且 x 不等于某個 yi(1≤i≤2)時，

假設(shè)算子Iα是雙線性的，對L∞中的有緊支集的可測函數(shù)fi以及幾乎處處的xsupp fi若成立下式

則稱Iα是以K為核的雙線性廣義分數(shù)次積分算子。

定義2［2］489如果存在數(shù)N∈ 使得對任意開球B(x，r)X最多被N個球B(xi，r/2)覆蓋，則稱空間(X，d)為幾何雙倍度量空間。

定義3［2］489如果存在控制函數(shù)λ:X×+→+以及常數(shù)Cλ使得(X，d，μ)中的Borel測度μ滿足以下3條件，則稱測度μ滿足上雙倍測度。

1)對任意固定的x∈X，關(guān)于半徑r→λ(x，r)是遞增的。

2)對于所有 x∈X，0＜r＜∞，μ(B(x，r))≤λ(x，r)≤Cλλ(x，r/2)成立。

3)對于所有的半徑 r＞0，x，y∈X，若 d(x，y)≤r，則有 λ(x，r)≈λ(y，r)。

定義 4［10，12－13］設(shè) k＞1，1≤q≤p＜∞ ，Morrey 空間可由如下形式給出

其中，

當 1≤s≤t≤p＜∞時，利用 H?lder不等式可得 Lp(μ)=(k，μ)(k，μ)(k，μ)。設(shè)k，k珓＞1，有(k，μ)≈(k珓，μ)成立，這說明Morrey空間的定義與常數(shù)k，k珓的選取無實質(zhì)性的關(guān)聯(lián)。下文中將取k=6，并記(6，μ)為(μ)，類似的性質(zhì)也可參見文獻［14-15］。

關(guān)于本文常用的一些符號，若p≥1，p'=p/(p－1)表示p的對偶指標，fg表示存在常數(shù) C使得f≤Cg，χE表示可測集E的特征函數(shù)。

2 主要結(jié)論

假定對于某些 r∈(1，β)，1/s=1/r－β，廣義分數(shù)次積分算子 Tβ是(Lr(μ)，Ls(μ))有界的。本文將以(X，d，μ)為底空間，測度μ僅滿足上雙倍條件的基礎(chǔ)上，研究雙線性廣義分數(shù)次積分算子Iα在Morrey空間上的有界性。主要結(jié)論如下:

定理1 設(shè)K為雙線性分數(shù)次積分核，Iα為式(2)所定義的雙線性廣義分數(shù)次積分算子，α∈(0，2)。設(shè)1＜qi≤pi＜∞，fi∈(μ)，i=1，2，且有 1/p=1/p1+1/p2－α，1/q=1/q1+1/q2－α，則存在正常數(shù) C 使得

注:若雙線性廣義分數(shù)次積分算子Iα退化為線性的廣義分數(shù)次積分算子Tβ，則本文的結(jié)論可以包含文獻［10］中的部分結(jié)論。注意到文獻［10-11］中其控制函數(shù)λ需增加額外的條件:即“存在t∈(0，∞)使得對所有的x∈X以及a，r∈(0，∞)都有λ(x，ar)=atλ(x，r)”，而在本文的定理證明中λ不需滿足此額外條件。

3 主要結(jié)論證明

在證明定理1之前，我們先給出一個雙線性廣義分數(shù)次積分算子Iα在乘積Lebesgue空間上的有界性命題以及一個引理，這對于證明Iα在乘積Morrey空間上的有界性起著關(guān)鍵作用。

命題1 設(shè)K為雙線性分數(shù)次積分核，Iα為(2)式所定義的雙線性廣義分數(shù)次積分算子，α∈(0，2)。設(shè) 1＜p1，p2＜∞，0＜1/p=1/p1+1/p2－α＜1，fi∈Lpi(μ)，i=1，2，則存在正常數(shù) C 使得

證明:先對雙線性廣義分數(shù)次積分算子Iα做點態(tài)估計，

設(shè)有 t1，t2∈(1，2/α)使得 1/t1=1/p1－α/2，1/t2=1/p2－α/2。下面需要利用廣義分數(shù)次積分算子 Tα/2的(Lpi，Lti)有界性來證明Iα的有界性。由于1/p=1/t1+1/t2，利用H?lder不等式得

命題1證畢。

引理 1 設(shè) f∈Lq(μ)，0＜β＜1/q＜1 時，有

證明:利用H?lder不等式得

若是能證明下式成立

則因 β ＜1/q，測度 μ(B(x，r))≤λ(x，r)，容易得到引理 1 的結(jié)論

下面我們將證明式(3)。首先構(gòu)造輔助性的半徑序列{r0，r1，r2…}使得r0=r，ri+1是滿足2kri形式的最小半徑，其中 k∈ 且 λ(x，2kri)＞2λ(x，ri)，{Bi}i∈={B(x，ri)}i∈?？傻煤唵蔚倪f推關(guān)系 2iλ(x，r)≤λ(x，ri)，i∈+，再借助 λ 的性質(zhì)可以得到

由此可以得到，

引理1證畢。

下面我們給出定理1的證明。固定球B∈X，x∈B，可將函數(shù)fi分解為fi=f0i+f∞i，其中f0i=fiX2B，f∞i=f－f0，i=1，2，可得

首先估算E1(x)，利用命題1中Iα的有界性結(jié)論，可得

關(guān)于 E2(x)，對 α 做分解 α=α1+α2使得 α1＜1/q1，α2＜1/q2。利用核 K 的尺寸條件式(1)以及對所有的 x，y∈X 且 d(x，y)≤r有 λ(y，r)≈λ(x，r)，

根據(jù)上面的估計式有

由于E2(x)與E3( x )具有對稱性，類似地可以得到E3( x)的估計

對于第一項E41(x)，利用廣義分數(shù)次積分算子核的尺寸條件式(1)，可得

由此可得 E41(x)與 E42(x)都可以被1/p=1/p1+1/p2－α，1/q=1/q1+1/q2－α，利用引理 1 中的結(jié)論可得

結(jié)合E41(x)與E42(x)以及上面的估計式，可得

綜合E1(x)，E2(x)，E3(x)，E4(x)的估計式可得定理1的結(jié)論。定理1證畢。

4 結(jié)論

通過對函數(shù)的分解，將積分區(qū)域進行環(huán)狀分割，可將雙線性廣義分數(shù)次積分算子在乘積Lebesgue空間上的有界性以及在Morrey空間上的有界性，轉(zhuǎn)化為線性情形的有界性來處理。

［1］ TOLSA X.Painlevé’s problem and the semiadditivity of analytic capacity［J］.Acta Mathematica，2003，190(1):105.

［2］ HYTNEN T.A framework for non-homogeneous analysis on metric spaces，and the RBMO spaces of Tolsa［J］.Publicacions Matematiques，2010，54(2):485.

［3］ HU G，MENG Y，YANG D C.Weighted norm inequalities for multilinear Calderón-Zygmund operators on non-homogeneous metric measure spaces［J］.Forum Mathematicum，2014，26(5):1289.

［4］ LIN H B，WU SQ，YAND D C.Boundedness of certain commutators over non-homogeneous metric measure spaces［J］.Analysis and Mathematical Physics，2017，7(2):187.

［5］ ZHENG T T，WU X M，TAO X X.Bilinear Calderón-Zygmund operators of type ω(t)on non-homogeneous space［J］.Journal of Inequalities and Applications，2014(1):113.

［6］ ZHENG T T，WANG Z，XIAO W.Maximal bilinear Calderón-Zygmund operators of typeω(t)on non-homogeneous space［J］.Annals of Functional Analysis，2015，6(4):134.

［7］ ZHENG T T，TAO X X.Boundedness for iterated commutators of multilinear singular integrals of Dini’s type on nonhomogeneous metric measure spaces(in Chinese)［J］.Science sinica mathematica，2017，47(9):1029.

［8］ CHEN J C，F(xiàn)AN D S，ZHENG T T.Estimates of fractional integral operator with variable kernel［J］.Publicationes Mathematicae Debrecen，2017，90(1):39.

［9］ FU X，YANGDC，YUAN W.Generalized fractional integrals and their commutators over non-homogeneous metric measure spaces［J］.Taiwanese Journal of Mathematics，2014，18(2):509.

［10］ CAO Y H，ZHOU J.Morrey spaces for non-homogeneous metric measure spaces［J］.Abstract and Applied Analysis，2013(4):1.

［11］ GONG H J，XIE R L，CHEN X.Multilinear fractional integral operators on Non-homogeneous metric measure spaces［J］.Journal of Inequalities and Applications，2016(1):1.

［12］ TAO X X，ZHENG T T.Multilinear commutators of fractional integrals over Morrey spaces with non-doubling measures［J］.Nonlinear Differential Equations and Applications，2011，18(3):287.

［13］ KOMORI-FURUYA Y，SATO E.Weighted estimates for fractional integral operators on central Morrey spaces［J］.Mathematische Nachrichten，2017，20(3):2901.

［14］ YAN Y，CHEN J，LIN H B.Weighted Morrey spaces on non-homogeneous metric measure spaces［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2017，452(1):335.

［15］ 鄭濤濤，張松艷.一類算子在非倍測度的廣義Morrey空間上的有界性［J］.浙江科技學院學報，2011，23(1):1.