PID補償?shù)耐耆诰€序貫極限學習機控制器在輸入擾動系統(tǒng)自適應控制中的應用

張立優(yōu),馬 珺,賈華宇

(1.太原理工大學 物理與光電工程學院,山西 晉中 030600; 2.太原理工大學 信息工程學院,山西 晉中 030600)(*通信作者電子郵箱tdliyou@163.com)

0 引言

近年來,隨著智能控制的發(fā)展,基于網(wǎng)絡(luò)學習的自適應控制方法[1-3]廣泛應用于復雜系統(tǒng)的控制當中。自適應控制不需要很多的系統(tǒng)信息,就能實現(xiàn)復雜系統(tǒng)的有效控制，因此設(shè)計者對此進行了許多研究,并且提出了多種自適應控制算法。

最早的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器參數(shù)學習算法都是采用誤差反向傳播(Back Propagation, BP)算法[4],控制器的參數(shù)通過系統(tǒng)輸出誤差反向傳播來進行修正,以實現(xiàn)最終的期望輸出。但是BP算法在調(diào)整自適應控制器參數(shù)上存在很多的不足。首先,BP算法極容易使訓練得到的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)陷入局部極值，這就使得設(shè)計者在使用BP算法調(diào)整控制器參數(shù)時,必須考慮其他的優(yōu)化算法來解決局部最優(yōu)的問題。比如,采用遺傳算法(Generic Algorithm, GA)[5]全局搜索控制器最優(yōu)參數(shù)值,以實現(xiàn)控制器的控制要求；但是這種控制器設(shè)計復雜,且不能滿足在線調(diào)節(jié)的需求。其次,BP算法在訓練方式上不支持在線學習的功能,且在樣本數(shù)很大時,表現(xiàn)出訓練耗時、控制效果差等現(xiàn)象。為此,通過改變BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu),采用單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Single-hidden-Layer Feedforward neural Network, SLFN)來訓練樣本的極限學習機(Extreme Learning Machine, ELM)算法[6-7]大大提高了訓練樣本的速度,滿足神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)離線快速學習的要求,但仍不能夠滿足系統(tǒng)在線自適應控制的要求。為了實現(xiàn)在線神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學習的功能,文獻[8]中提出了在線序貫極限學習機(Online Sequential Extreme Learning Machine, OS-ELM)算法,基于此算法的自適應控制器具備設(shè)計簡單、學習速度快等優(yōu)點,逐漸成為網(wǎng)絡(luò)學習控制器參數(shù)學習的主要算法。

但是,OS-ELM算法在實際系統(tǒng)控制中仍存在一些問題,從而不能直接運用在實際控制當中。首先,通過OS-ELM算法的學習不一定能得到控制器參數(shù),會使控制器輸出異常。于是文獻[9]中提出了正則化在線序貫極限學習機(Regularized OS-ELM, ReOS-ELM)算法,在初始化階段,對參數(shù)表達式中的逆矩陣進行正則化處理,用于解決控制器參數(shù)無解的問題。其次,在復雜的系統(tǒng)中很難獲取用于初始化的樣本,從而無法完成神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓練,對控制器的輸出產(chǎn)生影響。為此,文獻[2]中提出了完全在線序貫極限學習機(Fully OS-ELM, FOS-ELM)算法,在ReOS-ELM算法的基礎(chǔ)上,使初始化網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值參數(shù)為零,只保留正則化項,通過全程在線學習獲取網(wǎng)絡(luò)參數(shù),解決了獲取初始化樣本難的問題。最后,在輸入擾動的系統(tǒng)自適應控制上,OS-ELM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器難以滿足控制需求。所以本文提出了一種比例-積分-微分(Proportion-Integral-Derivative, PID)補償?shù)腇OS-ELM控制器設(shè)計方法,在FOS-ELM控制器上增加系統(tǒng)輸出誤差的PID增量, 通過系統(tǒng)輸出誤差的PID增量將擾動對系統(tǒng)輸入的影響反映出來,并用于控制器的決策上,能有效降低擾動對系統(tǒng)自適應控制帶來的干擾,補償擾動對系統(tǒng)輸入的影響,提高了系統(tǒng)的可控性和穩(wěn)定性。

1 ELM算法及其改進算法

為了解決梯度下降法訓練BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)存在的問題,Huang等[6-7]以SLFN為基礎(chǔ),提出了ELM學習算法。隨著對ELM算法的廣泛應用,演變出了許多基于ELM算法的改進算法,在基本的學習方法上都具有如下特點:1)可將訓練過的歷史數(shù)據(jù)固化到隱層輸出矩陣當中,權(quán)值更新時,只需對新數(shù)據(jù)學習即可;2)訓練速度快、受初始化影響小、泛化能力強。這些特點使它們成為網(wǎng)絡(luò)訓練的主要方法。

1.1 ELM算法和ReELM算法的學習過程

(1)

ELM算法學習的目標就是最小化樣本訓練誤差,即為:

min ‖Hβ-T‖2

(2)

其中:

得到β的解為:

β=H+T

(3)

其中:H+為矩陣H的摩爾-彭羅斯廣義逆。當矩陣HTH為可逆矩陣時,矩陣H的廣義逆為:

H+=(HTH)-1HT

(4)

由于,ELM算法的訓練存在過擬合風險,于是提出了ReELM算法[11-12],同時考慮了經(jīng)驗風險和結(jié)構(gòu)風險因素[12],通過參數(shù)λ調(diào)節(jié)這兩種風險的比例,其優(yōu)化的目標為:

(5)

其中:λ為兩種風險的比例參數(shù)。β的解為:

β=(HTH+λI)-1HTT

(6)

1.2 OS-ELM、ReOS-ELM和FOS-ELM算法的自適應控制

β0=P0H0T0

(7)

(8)

在序列學習階段,假設(shè)獲得新的訓練集為Sk時,利用最小二乘法得到參數(shù)βk為:

(9)

(10)

(11)

β0=0

(12)

P0=(λI)-1

(13)

與ReOS-ELM算法的訓練過程相比,FOS-ELM算法的訓練只有在線學習階段,從而在訓練方式上實現(xiàn)了全程在線學習的功能。

以上分別就ELM算法及其改進算法在網(wǎng)絡(luò)訓練方面作簡單的歸納和總結(jié)。

本文主要研究的是FOS-ELM算法及其改進算法在自適應控制中的表現(xiàn),所以首先就OS-ELM算法、ReOS-ELM算法和FOS-ELM算法在自適應控制中的應用[13]作出具體說明,其中OS-ELM算法和ReOS-ELM算法的自適應控制分為兩個階段,即:初始化階段和自適應控制階段,其中初始化階段和前面各算法在網(wǎng)絡(luò)訓練中的初始化階段一樣,這里不再重復說明。FOS-ELM算法的自適應控制只有自適應控制階段。所以就自適應控制階段作歸納和總結(jié)。

假設(shè)控制系統(tǒng)的動態(tài)線性模型為：

yk+1=f0[xk]+f1[xk]uk

2) 與PVC相比，PE具有介電損耗低、絕緣強度高等優(yōu)良的電氣性能，PE絕緣較PVC的耐寒性好、質(zhì)量輕，在同等電壓等級下可比PVC絕緣層的厚度小。但是，PE材質(zhì)較硬、軟化溫度低，接觸火焰時易燃燒和熔融，耐環(huán)境應力較差。PE絕緣電纜的耐熱等級主要分為70 ℃和80 ℃。

(14)

(15)

ai、bi為隨機生成的常量;Δf表示模型誤差,且滿足sup|Δf|≤Δ,Δ為一個給定的上限值。式(15)簡寫為:

yk+1=Φkθ*+Δf

(16)

其中:

Φk=[G(a1,b1,xk),G(a2,b2,xk), …,G(aL,bL,xk),

G(aL+1,bL+1,xk)uk,G(aL+2,bL+2,xk)uk, …,

G(a2L,b2L,xk)uk]

(17)

化簡為:

(18)

控制器設(shè)計的誤差準則函數(shù)為:

(19)

(20)

其中:rk+1為系統(tǒng)的期望輸出。

2 PID補償?shù)腇OS-ELM控制器

通過上述分析可以發(fā)現(xiàn),OS-ELM、ReOS-ELM和FOS-ELM算法之間的區(qū)別僅僅表現(xiàn)在算法訓練中的逐級優(yōu)化,而在控制器設(shè)計上沒有考慮外界擾動對控制器決策的影響,這在輸入擾動的系統(tǒng)控制中會出現(xiàn)控制精度下降甚至失控等現(xiàn)象。所以僅僅根據(jù)系統(tǒng)的期望輸出來決策下一時刻系統(tǒng)的輸入已達不到系統(tǒng)控制的要求,下面就PID補償?shù)腇OS-ELM控制器設(shè)計進行詳細說明。

2.1 PID補償?shù)腇OS-ELM控制器設(shè)計

對此在原有的控制器學習的基礎(chǔ)上,增加系統(tǒng)輸出誤差的PID增量來補償擾動對系統(tǒng)輸出的影響,在k時刻的系統(tǒng)輸出誤差及其PID增量為:

ek=yk-rk

(21)

(22)

其中:kp、ki、kd是PID增量的補償系數(shù)；yk為k時刻系統(tǒng)的實際輸出;rk為k時刻系統(tǒng)的期望輸出。

(23)

將式(23)代入式(17)中,最小化式(19),得到PID補償?shù)腇OS-ELM控制器控制下的動態(tài)模型輸出為:

(24)

其中kp=ki=kd=0。動態(tài)模型輸出:

(25)

式(25)為FOS-ELM控制器控制下的動態(tài)模型輸出。

2.2 控制器輸出的穩(wěn)定性及補償量系數(shù)估計

假設(shè)系統(tǒng)的控制誤差為δ,對于任意正整數(shù)k滿足：

‖yk-rk‖≤δ

(26)

即:

(27)

(28)

3 實驗與分析

(29)

(30)

其中:ε(i)表示系統(tǒng)第i時刻的輸出誤差,i=1,2,…,300。

AFR控制系統(tǒng)[2]是一種單輸入單輸出的非線性系統(tǒng),系統(tǒng)的輸入為噴油器的噴油時間,系統(tǒng)的輸出為發(fā)動機的AFR,為了簡化問題和突出改進的FOS-ELM控制器在AFR系統(tǒng)自適應控制中的表現(xiàn),AFR系統(tǒng)模型簡化為:

yk+1=0.2 sin(yk)+3.5(9-uk)

(31)

AFR的期望輸出是根據(jù)控制需求設(shè)置的：當燃油比為14.7時,催化劑轉(zhuǎn)化效率最高；當燃油比為12.5時,發(fā)動機以最大功率輸出；當燃油比為16時,實現(xiàn)制動的最低燃油消耗。因此本文選擇的期望輸出為:

(32)

在負擾動的情況下,干擾系數(shù)為η=0.2,補償系數(shù)為(0.2,0.02,0.01),分別利用FOS-ELM控制器和PID補償?shù)腇OS-ELM控制器對AFR系統(tǒng)的控制進行仿真,仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1 負干擾下AFR自適應控制

在負擾動情況下,即Δε<0時,由式(25)知,系統(tǒng)的實際輸出小于期望輸出,根據(jù)式(21)知系統(tǒng)的輸出誤差小于0,再由式(24)知系統(tǒng)輸出誤差的PID增量能減小擾動對系統(tǒng)的干擾。如圖1所示,圖1(a)是在持續(xù)負擾動的情況下,FOS-ELM控制器控制下的系統(tǒng)輸出,其實際輸出全部低于期望輸出。而由圖1(b)可以看出PID補償?shù)腇OS-ELM控制器控制下的系統(tǒng)輸出圍繞在期望輸出周圍,且隨著控制器的不斷學習,輸出誤差在不斷減小,最后趨于穩(wěn)定。當控制誤差為0.4,系統(tǒng)輸出300次,由表1可知PID補償?shù)腇OS-ELM控制器有效控制率達到93.3%,遠遠高于未補償?shù)目刂破鞯?1.7%,控制器控制效果得到明顯改善。

同樣,在正擾動的情況下,干擾系數(shù)和補償系數(shù)不變,仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 正干擾下AFR自適應控制

同樣在正擾動情況下,即Δε≥0時,由式(25)知,系統(tǒng)的實際輸出大于期望輸出,根據(jù)式(21)知系統(tǒng)輸出誤差大于0,再由式(24)知系統(tǒng)輸出誤差的PID增量同樣能夠減小擾動對系統(tǒng)的干擾。如圖2所示,圖2(a)是在持續(xù)正擾動的情況下,FOS-ELM控制器控制下的系統(tǒng)輸出,其實際輸出全部高于期望輸出。而由圖2(b)可以看出PID補償?shù)腇OS-ELM控制器控制下的系統(tǒng)輸出圍繞在期望輸出周圍,且隨著控制器的不斷學習,輸出誤差在不斷減小,最后趨于穩(wěn)定。當控制誤差為0.4,系統(tǒng)輸出300次,由表1可知PID補償?shù)腇OS-ELM控制器有效控制率達到95.3%,遠遠高于未補償?shù)目刂破鞯?3%。

在正負擾動的情況下,干擾系數(shù)為η=0.5,補償系數(shù)為(0.2,0.15,0.01),對AFR系統(tǒng)的控制進行仿真,仿真結(jié)果如圖3所示。

在正負擾動的情況下,正如式(25)所描述的系統(tǒng),如圖3所示。從圖3(a)可以看出FOS-ELM控制器的輸出已經(jīng)嚴重偏離了期望輸出,無法對AFR系統(tǒng)進行有效控制,而式(24)所描述的系統(tǒng),即由圖3(b)仿真結(jié)果顯示的PID補償?shù)腇OS-ELM控制器卻能夠降低輸入擾動對系統(tǒng)輸出的影響,達到一定的補償效果,在控制誤差為1時,由表1知,控制器的有效控制率分別為55.3%和93.7%。

圖3 正負干擾下AFR自適應控制

通過系統(tǒng)仿真可以看出,無論是什么類型的系統(tǒng)擾動,當輸入擾動使得系統(tǒng)輸出誤差大于系統(tǒng)控制誤差時,系統(tǒng)在FOS-ELM控制器下處于失控狀態(tài),而PID補償?shù)腇OS-ELM控制器能夠有效補償系統(tǒng)輸入,實現(xiàn)系統(tǒng)的有效控制。

下面就以上兩種控制器在AFR系統(tǒng)中的有效控制時間和整體控制誤差進行整理,其中,PID補償?shù)腇OS-ELM控制器算法記為PID-FOS-ELM,結(jié)果如表1所示。

表1 不同干擾和控制算法下AFR系統(tǒng)的性能表現(xiàn)

4 結(jié)語

本文主要提出了PID補償?shù)腇OS-ELM控制器設(shè)計方法,并將該方法應用于輸入擾動系統(tǒng)的自適應控制當中,結(jié)合FOS-ELM算法的在線學習能力和PID快速響應能力,在線補償擾動下的系統(tǒng)輸入,減小輸入擾動對系統(tǒng)控制的影響。根據(jù)系統(tǒng)的控制要求,合理選擇控制器的參數(shù)和補償系數(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)理想的控制效果。在仿真中可以看出,PID補償?shù)腇OS-ELM控制器都能夠在不同類型的擾動下作出有效的控制,明顯改善基于在線學習控制器的控制性能,極大提高了系統(tǒng)的抗干擾能力和控制品質(zhì)。

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This work is partially supported by the Natural Science Foundation of Shanxi Province (2015011050).