基于改進(jìn)牛頓法的航空發(fā)動機(jī)起動建模技術(shù)

姜 波，王繼強(qiáng)，何小龍，胡忠志

（南京航空航天大學(xué)江蘇省航空動力系統(tǒng)重點實驗室，南京210016）

0 引言

航空發(fā)動機(jī)由靜止逐漸加速至慢車狀態(tài)這一過程稱為起動過程。這個過程發(fā)動機(jī)氣動熱力參數(shù)變換劇烈，如何保證這個過程成功、快速的完成對延長發(fā)動機(jī)壽命、保證飛機(jī)安全有著重要的意義。對該過程進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，建立起動過程的數(shù)值計算模型不僅能夠為設(shè)計人員提供許多有價值的信息，而且能夠讓設(shè)計人員在發(fā)動機(jī)設(shè)計的初期就展開合理的起動過程控制規(guī)律優(yōu)化研究。因而建立能夠準(zhǔn)確反映發(fā)動機(jī)起動過程的數(shù)值仿真模型對發(fā)動機(jī)的理論研究及工程應(yīng)用都有著極大地意義。

在20世紀(jì)80年代，國外已經(jīng)展開了發(fā)動機(jī)慢車以下狀態(tài)的氣動熱力學(xué)建模研究，M.Yunis和R.K.A-grawal在1980年基于流量平衡的假設(shè)，通過外推方法獲得低轉(zhuǎn)速部件特性從而建立起了單轉(zhuǎn)子發(fā)動機(jī)的起動模型[1]。在90年代NASA的Chappell采用慢車以上建模的方法，建立了包含高空起動、風(fēng)車起動和地面起動的AVEST-V3模型[2]。此外在2001年和2007年，英國弗吉尼亞理工大學(xué)[3]英國克蘭菲爾德大學(xué)[4]的學(xué)者在上述研究的基礎(chǔ)上針對部件特性外推公式及零轉(zhuǎn)速附近特性修正展開了深入的研究。國內(nèi)學(xué)者對此研究展開的時間較晚，但也取得了大量的研究成果，如：基于大量發(fā)動機(jī)試車數(shù)據(jù)，使用系統(tǒng)辨識的方法建立的實時起動模型[5-8]；基于容積動力學(xué)和部件特性外推的方法建立雙軸混合排氣的渦扇發(fā)動機(jī)的地面及空中起動模型[9-10]，利用壓氣機(jī)及渦輪特性數(shù)據(jù)的脊柱特性建立能夠準(zhǔn)確模擬單軸發(fā)動機(jī)風(fēng)車起動的部件級模型[11]等。但這些研究大都基于大量的試驗數(shù)據(jù)并且在起動初始點需要根據(jù)經(jīng)驗反復(fù)的試湊出十分準(zhǔn)確的初始值，工作量大且過程較為復(fù)雜。

本文利用NASA公開的PW公司JT9D大涵道比雙轉(zhuǎn)子渦扇發(fā)動機(jī)慢車以上部件級模型，通過部件特性外推、起動附件建模、修正部件總壓恢復(fù)系數(shù)和改進(jìn)模型求解算法建立了JT9D發(fā)動機(jī)起動至最大轉(zhuǎn)速整個過程的仿真模型，并通過仿真結(jié)果驗證了模型的準(zhǔn)確性及改進(jìn)求解算法的有效性。

1 JT9D發(fā)動機(jī)部件級模型

建立的起動過程模型是基于美國PW公司于20世紀(jì)60年代年設(shè)計制造的大涵道比雙轉(zhuǎn)子渦扇發(fā)動機(jī)JT9D的慢車以上狀態(tài)的部件級模型，具體結(jié)構(gòu)如圖1所示，具體的建模過程這里不再贅述，參照文獻(xiàn)[12]。

圖1 JT9D發(fā)動機(jī)部件結(jié)構(gòu)

2 雙軸渦扇發(fā)動機(jī)起動過程

雙軸渦扇發(fā)動機(jī)在起動時沒有空氣流經(jīng)整臺發(fā)動機(jī)，因此燃燒室無法點火。只有當(dāng)轉(zhuǎn)子達(dá)到一定的轉(zhuǎn)速后，燃燒室內(nèi)的氣流才能建立穩(wěn)定燃燒所需的氣流壓力和溫度。因而發(fā)動機(jī)地面起動過程必須依靠起動機(jī)帶轉(zhuǎn)，一般情況下，雙軸渦扇發(fā)動機(jī)的起動過程（如圖2所示）分為以下3個階段。

圖2 雙軸渦扇發(fā)動機(jī)起動過程扭矩特性

第1階段：燃燒室未供油，起動機(jī)帶動高壓轉(zhuǎn)子，起動機(jī)扭矩MST大于起動過程阻力矩MC/ηm，高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速逐漸增加到n1。

第2階段：燃燒室開始供油并點火，渦輪開始產(chǎn)生力矩，高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速逐漸增加到n2。

第3階段：起動機(jī)脫開，渦輪產(chǎn)生足夠的力矩并將高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速獨立帶轉(zhuǎn)至n3。

3 起動建模關(guān)鍵問題及技術(shù)

3.1 低轉(zhuǎn)速部件特性獲取

發(fā)動機(jī)的部件特性在高轉(zhuǎn)速時差別較大，但在低轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)卻有著很大的相似性[1]。因而，采用部件特性指數(shù)外推的方法，能夠在缺少試驗特性的情況下得到較為合理的低轉(zhuǎn)速部件特性。采用的指數(shù)外推公式如下

式中：p、q、r為外推指數(shù)；cor表示換算狀態(tài)；ref表示參考狀態(tài)；Wc為換算流量；N為轉(zhuǎn)速；PR為增壓比（渦輪特性為膨脹比ER）；η為效率。以風(fēng)扇為例，選取換算轉(zhuǎn)速為1的特性線為參考線。利用原有的特性數(shù)據(jù)通過不斷變換外推指數(shù)的數(shù)值，使得不同換算轉(zhuǎn)速線上最高效率狀態(tài)點連成的線近似為線性（效率僅在低轉(zhuǎn)速Ncor＜0.8時成線性）進(jìn)而確定外推指數(shù)。不同外推指數(shù)下風(fēng)扇流量、壓比、效率、隨換算轉(zhuǎn)速變化分別如圖3～5所示，不同外推指數(shù)下的外推結(jié)果對比如圖6所示。

圖3 不同外推指數(shù)下風(fēng)扇流量隨換算轉(zhuǎn)速變化

圖4 不同外推指數(shù)下風(fēng)扇壓比隨換算轉(zhuǎn)速變化

圖5 不同外推指數(shù)下風(fēng)扇效率隨換算轉(zhuǎn)速變化

在確定了外推指數(shù)后，以換算轉(zhuǎn)速為0.6的試驗特性線為參考，外推換算轉(zhuǎn)速為0.5的特性線并與原有試驗特性對比，結(jié)果顯示：按照不同換算轉(zhuǎn)速線上的最高效率點連成的線近似為線性，所選取的外推指數(shù)能更好的反映低轉(zhuǎn)速的部件特性。據(jù)此確定外推指數(shù)見表1。

圖6 不同外推指數(shù)下的外推結(jié)果對比

表1 部件特性外推指數(shù)

在確定部件特性的外推指數(shù)后，以各部件試驗的最低狀態(tài)換算轉(zhuǎn)速線為外推參考線，外推各部件的風(fēng)扇換算流量-壓比特性、風(fēng)扇換算流量-效率特性、高壓渦輪換算流量-膨脹比、高壓渦輪換算流量效率特性特性分別如圖7～10所示。

圖7 風(fēng)扇換算流量-壓比特性

3.2 起動機(jī)建模

JT9D發(fā)動機(jī)使用美國漢密爾頓公司提供的PS-700空氣渦輪起動機(jī)[13]，主要參數(shù)見表2。

空氣渦輪起動機(jī)在發(fā)動機(jī)起動過程的輸出扭矩與高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速近似為線性關(guān)系[14]。起動機(jī)扭矩特性如圖11所示。

圖8 風(fēng)扇換算流量-效率特性

圖9 高壓渦輪換算流量-膨脹比特性

表2 PS-700空氣渦輪起動機(jī)主要參數(shù)

根據(jù)扭矩特性按照如下公式建立起動機(jī)模型

式中：P為起動機(jī)輸出功率；n2為起動機(jī)脫開時高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；N為高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；T為起動機(jī)輸出扭矩。

圖11 起動機(jī)扭矩特性

3.3 改進(jìn)牛頓法及其應(yīng)用

在求解JT9D發(fā)動機(jī)共同工作非線性方程組時NASA提供了1種傳統(tǒng)的Newton-Raphson迭代求解方法。此方法在求解發(fā)動機(jī)慢車以上狀態(tài)共同工作非線性方程組時能夠在選定較為準(zhǔn)確的迭代初始值情況下達(dá)到快速收斂的效果[15-17]。但發(fā)動機(jī)起動過程部件特性的相對值變化劇烈，即使在給出相對準(zhǔn)確的迭代初始值情況下也需要多次求解才能達(dá)到收斂精度的要求。并且每次迭代求解共同工作非線性方程組時計算機(jī)都需要對模型進(jìn)行氣動熱力計算，然后再對平衡方程偏導(dǎo)數(shù)組成的Jacobian矩陣進(jìn)行中心差分，龐大的計算量降低了模型的執(zhí)行效率，使得計算時間變長，模型的實時性降低。

本文所述的改進(jìn)牛頓法是參考廣泛用于國外先進(jìn)數(shù)值仿真程序，如美國航空航天局NASA的NPSS（Numerical Propulsion Simulation System）[18]、荷蘭國家航空航天實驗室（NLR）的GSP（Gas turbine Simulation Program）[19]等在求解非線性方程組時使用的Broyden法[20]：即在傳統(tǒng)Newton-Raphson方法基礎(chǔ)上改變Jacobian矩陣的迭代更新方式，進(jìn)而減少模型的氣動熱力計算次數(shù)，提高模型的仿真求解速度。計算方法如下：

對于發(fā)動機(jī)的共同工作非線性方程組

式中：x=（x1,x2,…,xn）T，n 為平衡方程數(shù)，xi為發(fā)動機(jī)的某參數(shù)；εi為平衡方程的誤差量；fi（x）代表不同的平衡方程，且F（x）=（f1（x1）,f2（x2）,…,fn（xn））T，Jacobian矩陣為

其中：偏導(dǎo)數(shù)項在模型求解計算時需根據(jù)中心差分求得。根據(jù)Newton-Raphson求解方法

式中：k為迭代次數(shù)，此時構(gòu)造如下矩陣

根據(jù)Broyden法求解原理[20]，Jacobian矩陣迭代更新的修正項為

使用Sherman-Morrison公式解析的求Jacobian矩陣的逆，從而可得Jacobian矩陣在更新時

當(dāng) |F（xk）|＜δ（設(shè)定誤差允許量）時，認(rèn)為迭代收斂。

這種改進(jìn)的牛頓法在求解發(fā)動機(jī)共同工作非線性方程組時第1步仍采用中心差分的方法得到Jacobian矩陣，而后續(xù)的迭代更新只需通過計算ΔJk就可完成。這樣模型的動態(tài)仿真過程就避免了每次通過中心差分方法重新計算Jacobian矩陣而帶來的龐大計算量，從而大大提高了需要多次迭代求解發(fā)動機(jī)共同工作方程的起動過程模型的執(zhí)行效率。

3.4 冷轉(zhuǎn)動過程模型

發(fā)動機(jī)在點火前的工作狀態(tài)即起動過程的第一階段稱為冷轉(zhuǎn)動過程。這一過程渦輪和壓氣機(jī)都是負(fù)載，建模方法如下：

首先計算起動機(jī)和壓氣機(jī)的扭矩，然后根據(jù)轉(zhuǎn)子動力學(xué)計算高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速

式中：ΔT為起動機(jī)扭矩與負(fù)載扭矩差；J為高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量；N為高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；t為時間。

之后，確定1個合適的點火狀態(tài)，根據(jù)此時的轉(zhuǎn)速 nR，WR和壓比 PR利用式（13）、（14）計算對應(yīng)時刻下的參數(shù)

最后，低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速及其他截面狀態(tài)參數(shù)按高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速進(jìn)行線性插值即可得到。

3.5 部件總壓恢復(fù)系數(shù)修正

NASA公開的JT9D發(fā)動機(jī)模型各部件的總壓恢復(fù)系數(shù)都取了定值，這在慢車以上狀態(tài)建模時是適用的。但在發(fā)動機(jī)的起動過程中由于各部件的流量、壓比、轉(zhuǎn)速都很小，真實的總壓恢復(fù)系數(shù)更接近于1，并且隨著轉(zhuǎn)速的增大而逐漸減小[9]。因而在建立起動模型時，各部件的總壓恢復(fù)系數(shù)在點火前取近似略小于1的常數(shù)，而在點火狀態(tài)和慢車狀態(tài)之間時按照轉(zhuǎn)速進(jìn)行線性插值

式中：a為點火狀態(tài)；b為慢車狀態(tài)；σ為總壓恢復(fù)系數(shù)。

4 仿真結(jié)果分析

NASA公開的JT9D發(fā)動機(jī)模型的仿真范圍為：70%NHmax～100%NHmax。按照上述建模方法，補充建立包含起動過程的全狀態(tài)性能模型，并在地面標(biāo)準(zhǔn)狀況下給定供油規(guī)律（如圖12所示），仿真結(jié)果分別如圖13～15所示。

圖12 供油曲線

圖13 轉(zhuǎn)速變化曲線

圖14 推力變化曲線

圖15 燃燒室出口溫度變化曲線

由仿真結(jié)果可以看出，起動過程的第1階段燃燒室沒有供油。高壓轉(zhuǎn)子由起動機(jī)帶動，轉(zhuǎn)速緩慢上升并帶動低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速上升，此時推力也緩慢上升，燃燒室出口溫度基本不變。在第16 s時開始供油，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速和燃燒室出口溫度急劇上升至慢車狀態(tài)。在第40 s以后增加供油，發(fā)動機(jī)由慢車狀態(tài)逐漸運行到最大轉(zhuǎn)速狀態(tài)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速、推力及燃燒室出口溫度都增加至100%。整個模型能很好的反映起動過程的各階段并且與原有慢車以上狀態(tài)模型有效地連接，驗證了建模方法的有效性。

為了進(jìn)一步驗證建模方法的準(zhǔn)確性，將模型的仿真結(jié)果與僅有的ICAO（國際民航組織）公布的JT9D-7J發(fā)動機(jī)數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，結(jié)果見表3。

表3 7%推力狀態(tài)下（52%NHmax）模型仿真結(jié)果驗證

各部件總壓恢復(fù)系數(shù)修正前（修正前采用固定值σb）與修正后高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的仿真結(jié)果對比如圖16所示，燃燒室點火至慢車狀態(tài)過程的高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速最大相對誤差為1%。

圖16 總壓恢復(fù)系數(shù)修正前后仿真結(jié)果對比

同時，模型在點火后由各部件特性迭代求解的初始點計算時間最長，最難收斂。因而在此處用改進(jìn)牛頓法進(jìn)行驗證效果最為明顯。

單個步長Jacobian矩陣計算時間見表4。表4計算的硬件環(huán)境為：AMD A6-3400M（CPU），主頻1.4 G Hz，內(nèi)存4 GB。由結(jié)果可以看出改進(jìn)牛頓法的求解速度要明顯高于傳統(tǒng)的Newton-Raphson方法。并且，基于改進(jìn)牛頓法的原理，當(dāng)發(fā)動機(jī)共同工作方程和獨立變量個數(shù)增加以及迭代初始值偏離真值程度越大時，這種效果將會變得更加明顯。

表4 單個步長的Jacobian矩陣計算時間

5 結(jié)論

通過對JT9D發(fā)動機(jī)部件級起動過程建模、使用改進(jìn)牛頓法替換傳統(tǒng)的Newton-Raphson方法仿真求解，得到以下結(jié)論：

（1）采用部件特性指數(shù)外推法并使用不同換算轉(zhuǎn)速線上最高效率狀態(tài)點連成的線，近似為線性來確定外推指數(shù)，可以得到合理的各部件低轉(zhuǎn)速部件特性；

（2）起動附件建模及轉(zhuǎn)子冷轉(zhuǎn)動過程建模能夠有效地幫助建立完整的起動過程模型。

（3）發(fā)動機(jī)起動過程各部件總壓恢復(fù)系數(shù)按照轉(zhuǎn)速變化修正能夠有效的提高模型的精度。

（4）采用改進(jìn)牛頓法替代傳統(tǒng)的Newton-Raphson方法可以改善模型的執(zhí)行效率，大幅提高模型的仿真求解速度。

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