從一道冪級數(shù)展開的習(xí)題引發(fā)的教學(xué)反思

湯燦琴 楊曉春

【摘要】本文通過一道例題對函數(shù)冪級數(shù)展開的直接法和間接法進行比較，提出了教師在教學(xué)過程中應(yīng)注意比較兩種方法的微小區(qū)別。

【關(guān)鍵詞】冪級數(shù)展開 皮亞諾型余項 拉格朗日型余項

【中圖分類號】G642.1 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）12-0128-02

Reflections on Teaching Caused by an Exercise of Power Series Tang Canqin

Tang Canqin， Yang Xiaochun.（Mathematical Department， Dalian Maritime University， Liaoning Dalian 116026， China）

【Abstract】The function of power series expansion of direct and indirect methods through an example are compared in this paper， and then proposed teachers should pay attention to the difference between the two methods in the teaching process.

【Key words】Power series expansion；Piano remainder；Lagrange remainder

一、引言

冪級數(shù)是函數(shù)項級數(shù)的一種特殊情形，是數(shù)學(xué)分析中的重要概念之一，它作為基本內(nèi)容被運用到復(fù)變函數(shù)、實變函數(shù)等后續(xù)課程當(dāng)中。巧妙地應(yīng)用冪級數(shù)展開及其相關(guān)性質(zhì)，可以將實際應(yīng)用中復(fù)雜問題簡單化。實際上，工程中許多問題最后都歸結(jié)為微分方程或積分方程的求解，而冪級數(shù)解法是解決這類方程問題的最有效的方法之一，冪級數(shù)展式的精確度對后續(xù)問題的研究也就產(chǎn)生了較大影響。因此冪級數(shù)展開是數(shù)學(xué)分析教學(xué)中著重講授的一個重要內(nèi)容[1]。

二、函數(shù)的泰勒展開

通常在介紹泰勒公式時，主講教師會引導(dǎo)學(xué)生推出函數(shù)在處的泰勒展開式，即此時的冪級數(shù)展開。而由平移的性質(zhì)，只須要求學(xué)生記住幾個基本函數(shù)的麥克勞林級數(shù)（即函數(shù)在處的冪級數(shù)展開式），如等，并應(yīng)用它們推出其他函數(shù)的麥克勞林公式[1-2]。下面是一個相關(guān)的課后習(xí)題。

例：求函數(shù)的階泰勒公式。

情況1 按皮亞諾型余項展開

解法1 （直接法）

設(shè)函數(shù)，則 而

我們有從而

其中為的高階無窮小量。

解法2（間接法）

因為，從而

情況2 按拉格朗日型余項展開

解法1 （直接法）

設(shè)函數(shù)，則而

我們有從而

其中介于與0之間。

解法2 （間接法）

因為

從而

其中介于與0之間。

在此類問題的教學(xué)過程中，相信有不少任課教師與筆者一樣，通常指導(dǎo)學(xué)生按間接法展開，因為這種方法更為簡單高效。通過上題的兩種情形對比，我們會發(fā)現(xiàn)如果按皮亞諾型余項展開，無論是直接法或間接法，兩種形式是完全一樣。這是因為皮亞諾型余項是對余項的一種定性估計，它僅僅表示余項函數(shù)是的高階無窮小量，用來刻畫它的極限性質(zhì)。若按拉格朗日型余項展開，細心的同學(xué)則會發(fā)現(xiàn)間接法和直接法展開后前面的泰勒公式是一致的，但余項卻發(fā)生了些許變化，這可能是我們教學(xué)過程中容易忽視的一個問題。為了將兩個余項區(qū)分開來，我們分別記其為和。我們知道拉格朗日型余項是對余項的定量分析，它從量的角度刻畫泰勒公式余項函數(shù)的實際大小。根據(jù)泰勒公式的唯一性，我們令，即

解出，也就是說，選取合適的能使按間接法和直接法展開的余項變成統(tǒng)一形式。

三、結(jié)論

冪級數(shù)的直接展開與間接展開在嚴格意義下是有些許差別的。教師在教學(xué)過程中，尤其是對數(shù)學(xué)類專業(yè)學(xué)生授課過程中，注意對此加以簡單比較分析，能更有效地處理近似計算中精確度的相關(guān)問題，培養(yǎng)提高學(xué)生嚴密的邏輯思維，增強學(xué)生全面分析問題的能力。

參考文獻：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系主編. 數(shù)學(xué)分析. 高等教育出版社. 2012.

[2]同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編. 高等數(shù)學(xué). 高等教育出版社. 2014.

基金項目：連海事大學(xué)教改項目2016Z09和中國交通教育研究會教育科學(xué)研究課題（交教研1602-36）資助。

作者簡介：湯燦琴（1973-），女，湖南常德人，教授，博士，主要從事調(diào)和分析、數(shù)學(xué)教育研究。