探析離心率求解方法

陳漢鴻

【中圖分類(lèi)號(hào)】G634.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）22-0129-02

在高中數(shù)學(xué)中，離心率是描述圓錐曲線性質(zhì)的一個(gè)重要概念，是圓錐曲線的一個(gè)重要屬性。在橢圓或雙曲線中，離心率的定義為。我們經(jīng)常會(huì)碰到離心率的問(wèn)題，例如在全國(guó)高考新課標(biāo)I卷中，2010文理、2011理、2012理、2013理、2014文、2016文等高考試卷中都有考查。因此，離心率探秘就是一個(gè)重要的課題，值得我們教師認(rèn)真研究，這對(duì)于提高教師的教學(xué)業(yè)務(wù)素質(zhì)、提升教學(xué)質(zhì)量大有裨益。下面就讓我們來(lái)揭開(kāi)離心率的神秘面紗。橢圓與雙曲線離心率的范圍是圓錐曲線板塊的一個(gè)重要問(wèn)題。而離心率的求法又包括求值與求范圍兩種類(lèi)型。筆者經(jīng)過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐，終于摸索出一套行之有效的方法，下面是筆者的體會(huì)：

一、求離心率的值

1.定義法：利用離心率的定義來(lái)求

例1、雙曲線的離心率為_(kāi)______.

解析：因?yàn)椋?，所以離心率

已知方程求離心率是最基礎(chǔ)的問(wèn)題，有時(shí)已知了一個(gè)含有a，b，c的等式，要求離心率，此時(shí)就要利用a，b，c之間的關(guān)系，把b轉(zhuǎn)化為a，c，再求離心率。

請(qǐng)看一簡(jiǎn)例：已知在橢圓中，a=2b，求此橢圓的離心率e。

解析：，

所以。比之更復(fù)雜的情況是，既無(wú)法求出a，c，也沒(méi)有直接給出含a，b，c的等式關(guān)系，這時(shí)我們就要根據(jù)題意尋找含有a，b或c的等式關(guān)系，我們可以從以下兩方面進(jìn)行尋找：即坐標(biāo)法和幾何法。

2.坐標(biāo)法：坐標(biāo)法就是先求出曲線上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)（坐標(biāo)中可含有a，b，c），然后再代入曲線方程，從而得出一個(gè)含有a，b，c的等式，離心率可解。

例2.（2016年福建省質(zhì)檢理數(shù)）若橢圓上存在三點(diǎn)，使得這三點(diǎn)與橢圓中心恰好是一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的離心率為（ ）

解析：由題意可得曲線有一點(diǎn)為（），代入，可得答案為，故選D。

例3.（2010全國(guó)新課標(biāo)I文理）如圖1，已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長(zhǎng)線交C于點(diǎn)D，且，則C的離心率為_(kāi)_________.

【解析】設(shè)橢圓方程為（a>0，b>0），

如圖1過(guò)D作軸與E，則由與相似可得D點(diǎn)坐標(biāo)為（）代入橢圓方程得，所以

3.幾何法：幾何法就是利用三角形或曲線的性質(zhì)得出關(guān)于a、b、c的一個(gè)等式，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解.

經(jīng)常用到的結(jié)論有：勾股定理、等邊對(duì)等角、銳角三角函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角的性質(zhì)、正弦定理、余弦定理、橢圓的定義、雙曲線的定義等。

例4、（2013全國(guó)新課標(biāo)I卷）、設(shè)橢圓（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為，P是C上的點(diǎn)，，，則C的離心率為（ ）

解：因?yàn)?，所?/p>

.

又，所以，選D.

二、求離心率的取值范圍

這類(lèi)問(wèn)題比第一類(lèi)問(wèn)題難些，求解此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是：找出關(guān)于a、b、c的一個(gè)不等式，從而求出離心率e的取值范圍。關(guān)鍵是挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造不等式。常見(jiàn)的隱含條件如下：

1.利用曲線的范圍，建立不等關(guān)系

如橢圓（a>b>0）的范圍是：；

如雙曲線（a>0，b>0）的范圍是：；

例5.設(shè)橢圓（a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別為，如果橢圓上存在點(diǎn)P，使，求離心率e的取值范圍。

解析1：設(shè)P（x，y），則，所以.（1）

因?yàn)?，所?/p>

所以，化簡(jiǎn)得.（2）

聯(lián)立（1）（2）兩式得，因?yàn)?，所以，所以，所以從?/p>

2.利用漸近線的特征，建立不等關(guān)系

例6.一條斜率為2直線經(jīng)過(guò)雙曲線（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)F，若直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)分別在左、右兩支上，求雙曲線離心率e的取值范圍。

解：雙曲線的漸近線方程為，

若，則直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；

若，則直線與雙曲線的兩交點(diǎn)均在右支上，

3.利用三角形的性質(zhì)，建立不等關(guān)系

三角形中有很多不等關(guān)系，如兩邊之和大于第3邊，兩邊之差小于第3邊，大邊對(duì)大角等。我們可以用這些來(lái)建立不等關(guān)系。

例7.設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，雙曲線（a>0，b>0）兩焦點(diǎn)分別為，，求雙曲線離心率e的取值范圍。（圖2）

解析：如圖2，由雙曲線的定義可得：，（1）

又（2），所以

由三角形性質(zhì)：兩邊之和大于第3邊即：

得：

解得：。

4.利用焦半徑的長(zhǎng)度范圍，建立不等關(guān)系

連接圓錐曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的線段，稱(chēng)為焦半徑。焦半徑有一個(gè)長(zhǎng)度范圍。

在橢圓中，焦半徑長(zhǎng)度[a-c，a+c]

在雙曲線中，焦半徑長(zhǎng)度[c-a，）

例8.（題目同例7，圖2）

解：由雙曲線的定義得：

再由：得：

因?yàn)椋?，所以：?/p>

所以：

5.利用判別式，建立不等關(guān)系

例9.設(shè)雙曲線與直線相交于不同的點(diǎn)A、B，求雙曲線的離心率e的取值范圍。

解：聯(lián)立方程得

所以：，所：以 且

，所以：

6.利用平方數(shù)的非負(fù)性，建立不等關(guān)系

一般地， 。

例10如圖3，已知過(guò)雙曲線左焦點(diǎn)的直線L交雙曲線于P、Q兩點(diǎn)，且（O為原點(diǎn)），求雙曲線離心率e的取值范圍。

解析：設(shè)，

設(shè)直線L的方程為：，代入得：

，

所以：，

所以：

因?yàn)椋?，所以：，即?/p>

，

解得：，因?yàn)椋?，所以：，則：，所以：。

綜上所述，求離心率的范圍的關(guān)鍵是挖掘各種隱含條件，如橢圓和雙曲線的范圍、雙曲線的漸近線的圖像特征、三角形的兩邊之和大于第三邊、大邊對(duì)大角、焦半徑的長(zhǎng)度范圍、方程組有兩個(gè)解的條件即判別式大于零、一個(gè)平方數(shù)的非負(fù)性等，利用這些不等關(guān)系，建立一個(gè)含有a，b或c的不等式，然后把b轉(zhuǎn)化為a，c，最后把含有a，c的齊次式化為關(guān)于e的不等式，解這個(gè)不等式再結(jié)合橢圓、雙曲線的離心率的固有范圍，就能求出e的取值范圍。

實(shí)際上，求離心率的值，是尋找a，b，c間的等量關(guān)系；而求離心率的取值范圍，是尋找a，b，c間的不等關(guān)系；總之，離心率探秘就是尋找含有a，b或c的等量關(guān)系或不等關(guān)系。要解離心率之謎，除了要掌握三角形、四邊形等平面圖形的性質(zhì)和有關(guān)定理、橢圓與雙曲線的圖像與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)外，還需要具有較強(qiáng)的化歸與轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力。