光杠桿放大原理及其在物理實驗中的應(yīng)用

程軍 韓玉龍

【摘要】利用光杠桿可以準確測量固體材料在應(yīng)力、溫度等因素影響下所致的微小長度變化，該方法可用于測定材料的楊氏模量和線脹系數(shù)等大學(xué)物理實驗，同時應(yīng)用逐差法、最小二乘法等方法對數(shù)據(jù)進行分析處理，得到了預(yù)期的實驗結(jié)果。

【關(guān)鍵詞】光杠桿放大原理；楊氏模量；線脹系數(shù)；逐差法；最小二乘法

【基金項目】安徽省質(zhì)量工程項目“大學(xué)物理實驗中心”，項目編號：2015sxzx058。

固體材料在外界環(huán)境（應(yīng)力、溫度等因素）的影響下會發(fā)生形變。通常這種形變極其微小，以至于其長度變化很難通過常規(guī)的長度測量工具準確測量。光杠桿是一種利用光學(xué)放大方法測量微小長度變化量的裝置。光杠桿放大原理可以用于測定固體材料的楊氏模量和線脹系數(shù)等大學(xué)物理實驗。其中，楊氏模量是描述材料抵抗彈性形變能力的物理量，線脹系數(shù)是表征材料受熱膨脹特性的重要參數(shù)，它們都是工程技術(shù)中常用的參數(shù)，是選用材料的重要參考指標。本論文中，利用光杠桿放大原理設(shè)計實驗測定材料的楊氏模量、線脹系數(shù)等參數(shù)，應(yīng)用逐差法、最小二乘法等方法分析處理實驗數(shù)據(jù)，并對測量的不確定度進行評定，得到了預(yù)期的實驗結(jié)果。

一、原理簡介

（一）光杠桿放大原理

光杠桿放大原理圖如圖1所示，其中D為光杠桿鏡面到照明標尺的距離，為光杠桿前后足的垂直距離。當固體材料長度的變化量為時，從望遠鏡中記錄的照明標尺讀數(shù)的變化量為。

圖1 光杠桿放大原理圖

根據(jù)幾何關(guān)系有

（1）

由于偏轉(zhuǎn)角度很小，上式可近似作

（2）

由（2）式可得與之間的定量關(guān)系為

（3）

其中，是光杠桿的放大倍數(shù)。因此，利用光杠桿可以對微小形變進行放大，從而實現(xiàn)對材料微小長度變化的準確測量。該方法可應(yīng)用于楊氏模量和線脹系數(shù)的測定實驗。

（二）楊氏模量

由胡克定律可知，在彈性限度內(nèi)，固體材料的正應(yīng)力（）與線應(yīng)變（）成正比，即

（4）

上式中稱為楊氏模量，數(shù)值上等于產(chǎn)生單位應(yīng)變時的應(yīng)力，單位為N/m2。它是描述材料抗應(yīng)變能力的物理量，其值越大，材料越不容易發(fā)生形變。在實驗中，通過增減砝碼改變對鋼絲施加的應(yīng)力，同時利用光杠桿放大法測量鋼絲的微小長度變化。當所加砝碼質(zhì)量變化時，鋼絲的長度變化，對應(yīng)的標尺讀數(shù)變化，則楊氏模量可以表示為

（5）

上式中，是鋼絲原長，是鋼絲直徑。

（三）線脹系數(shù)

固體材料具有熱脹冷縮的特性，其受熱后長度的增加稱為“線膨脹”。在常溫下，材料的長度和溫度之間近似地呈線性關(guān)系，即

（6）

上式中即為線脹系數(shù)，數(shù)值上等于溫度每升高1℃時材料的相對伸長量，單位為℃?1，是0℃時材料的長度。當溫度變化時，銅棒的長度變化，對應(yīng)的標尺讀數(shù)變化，則線脹系數(shù)可以表示為

（7）

上式中，是銅棒的原長。

二、實驗結(jié)果分析

（一）楊氏模量的測定

實驗采用靜態(tài)拉伸法，通過增減砝碼改變對鋼絲的應(yīng)力作用。質(zhì)量變化1kg記錄一組數(shù)據(jù)，共8組，實驗數(shù)據(jù)見表1，其中增荷表示增加砝碼過程中的標尺讀數(shù)，減荷表示減少砝碼時的數(shù)據(jù)，平均表示對應(yīng)質(zhì)量的平均標尺讀數(shù)。實驗測得，鋼絲原長L=52.15cm，光杠桿鏡面到照明標尺的距離D= 154.88cm，光杠桿前后足的間距b=75.50mm，鋼絲直徑的平均值=0.495mm。

表1 楊氏模量實驗測量數(shù)據(jù)

mi/kg 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0

增荷xi/cm 0.07 0.62 1.13 1.71 2.24 2.80 3.35 3.91

減荷xi/cm 0.05 0.59 1.15 1.72 2.27 2.82 3.36 3.91

平均xi/cm 0.06 0.605 1.14 1.715 2.255 2.81 3.355 3.91

?x/cm= xi+4?xi 2.195 2.205 2.215 2.195 = 2.203

應(yīng)用逐差法，得到標尺讀數(shù)變化的平均值=2.203cm，此時=4.0kg，由（5）式給出楊氏模量為E=1.982×1011N/m2。

根據(jù)不確定度傳遞理論，楊氏模量E的合成不確定度為

（8）

由（8）式得到楊氏模量E的不確定度u（E）= 0.036×1011N/m2。因此，該鋼絲的楊氏模量為E= （1.982±0.036）×1011N/m2，與鋼絲楊氏模量的參考值2.04×1011 N/m2比較，百分誤差為2.84%。

（二）線脹系數(shù)的測定

室溫20℃，通過溫度傳感器測溫，在30℃至75℃溫度區(qū)間，溫度每變化5℃記錄一組數(shù)據(jù)，共10組，實驗數(shù)據(jù)見表2，其中升溫和降溫分別表示升溫、降溫過程中記錄的數(shù)據(jù)，平均表示對應(yīng)溫度的平均標尺讀數(shù)。實驗測得，銅棒原長L= 50.23cm，光杠桿鏡面與標尺的間距D=106.41cm，光杠桿前后足的間距b= 87.60mm。

表2 線脹系數(shù)實驗測量數(shù)據(jù)

ti / ℃ 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

ti / ℃ 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

升溫xi/cm 0.37 0.48 0.59 0.68 0.78 0.88 0.99 1.09 1.20 1.30

降溫xi/cm 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.11 1.22

平均xi/cm 0.335 0.44 0.545 0.64 0.74 0.84 0.945 1.045 1.155 1.26

應(yīng)用最小二乘法，擬合線性方程。此時，金屬桿的線脹系數(shù)及其合成不確定度分別表示為

，（9）

擬合的線性方程斜率k和截距c分別為0.0204cm/℃和?0.2775cm，相關(guān)系數(shù)r=0.99991，這反映了銅棒長度L和溫度t之間滿足很好的線性關(guān)系。由（9）式可得，銅棒的線脹系數(shù)為α= 1.673×10?5 ℃?1，不確定度為u（α） = 0.009×10?5 ℃?1。因此，該銅棒的線脹系數(shù)為α= （1.673±0.009）×10?5 ℃?1，與參考值1.72×10?5 ℃?1比較，百分誤差為2.73%。

三、總結(jié)

利用光杠桿測量材料在應(yīng)力、溫度等因素影響下所致的微小長度變化，應(yīng)用逐差法、最小二乘法等方法分析和處理數(shù)據(jù)，計算出鋼絲的楊氏模量和銅棒的線脹系數(shù)及其不確定度，并且將計算結(jié)果與參考值比較，誤差均在3%以內(nèi)，得到了預(yù)期的實驗結(jié)果。實驗測量和數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，利用光杠桿放大法測量材料微小長度變化量的精度較高。此外，光杠桿放大原理簡單，實驗操作容易，因此適用于楊氏模量和線脹系數(shù)的測定等普通大學(xué)物理實驗的教學(xué)工作。

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