區(qū)分快慢變子系統(tǒng)的柔性機(jī)械臂組合控制*

方 俊

(北京京北職業(yè)技術(shù)學(xué)院，北京 101400)

0 引言

機(jī)械臂可以代替人類完成勞動(dòng)強(qiáng)度大、安全風(fēng)險(xiǎn)高、操作復(fù)雜的工作，傳統(tǒng)的剛性機(jī)械臂基座粗壯、臂桿短，存在靈活性差、能耗大、定位精度低、反應(yīng)速度慢等問題[1]，不適應(yīng)航天、醫(yī)療等領(lǐng)域。靈活性好、能耗低、響應(yīng)快的柔性機(jī)械臂在航空航天、高精密制造中越來(lái)越受到重視，但是柔性機(jī)械臂在使用中會(huì)發(fā)生形變和振動(dòng)，對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性和操作精確性影響很大[2]。因此研究柔性機(jī)械臂控制方法，對(duì)提高系統(tǒng)穩(wěn)定性和操作精確性具有現(xiàn)實(shí)意義。

機(jī)械臂的控制方法可以分為以下幾種：①基本控制方法，也就是基于模型的控制方法[3]；②自適應(yīng)控制，在線估計(jì)未知參數(shù)并調(diào)整控制策略[4]；③PID控制[5]；④變結(jié)構(gòu)控制[6]；⑤魯棒控制[7]；⑥模糊控制；⑦迭代學(xué)習(xí)控制[8]；⑧神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制；⑨最優(yōu)控制；⑩奇異攝動(dòng)控制[9]等。這些方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，比如PID控制簡(jiǎn)單、無(wú)需建模，但是穩(wěn)定性較差；模糊控制優(yōu)點(diǎn)是不需要系統(tǒng)模型，缺點(diǎn)是控制精度低等。

本文目的是提高柔性機(jī)械臂控制精度，使用拉格朗方程建立了動(dòng)力學(xué)方程，使用奇異攝動(dòng)法將系統(tǒng)分解為快變和慢變子系統(tǒng)，分別設(shè)計(jì)了快慢變子系統(tǒng)控制器。通過仿真結(jié)果看出，自適應(yīng)滑膜變組合控制器具有跟蹤速度快、跟蹤過程無(wú)震蕩、控制器輸出平穩(wěn)等優(yōu)勢(shì)。

1 柔性機(jī)械臂建模

本文研究對(duì)象為雙連桿柔性機(jī)械臂。柔性機(jī)械臂包括關(guān)節(jié)柔性和臂桿柔性兩個(gè)方面，其中關(guān)節(jié)柔性非常復(fù)雜，本文忽略關(guān)節(jié)柔性，只研究臂桿柔性，臂桿柔性包括彈性形變、剪切形變和軸向形變?nèi)齻€(gè)方面，而柔性機(jī)械臂的臂長(zhǎng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于截面直徑，因此剪切形變和軸向形變相對(duì)于彈性形變可以忽略不計(jì)，基于以上分析，本文將柔性機(jī)械臂簡(jiǎn)化為Euler-Bernoulli梁。

1.1 拉格朗日方程

本文使用拉格朗日方程和假設(shè)模態(tài)法建立柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程。

拉格朗日方程描述為：

(1)

式中，L為拉格朗日函數(shù)，Q為廣義力，z為廣義坐標(biāo)變量。拉格朗日函數(shù)L=T-V-U，式中T為系統(tǒng)總動(dòng)能，V為總勢(shì)能，U為總應(yīng)變能。

1.2 柔性機(jī)械臂力學(xué)分析

建立柔性機(jī)械臂的割線坐標(biāo)系如圖1所示。圖中OXY為慣性坐標(biāo)系，OiXiYi為連桿Li的割線坐標(biāo)系，qi為第i個(gè)連桿的轉(zhuǎn)角，mi為連桿i的末端集中質(zhì)量，wi(xi,t)為t時(shí)刻、連桿i在xi處的橫向形變。記連桿i的長(zhǎng)度為L(zhǎng)i、質(zhì)量為Mi。

圖1 雙連桿柔性機(jī)械臂割線坐標(biāo)系

根據(jù)假設(shè)模態(tài)法[10]和振動(dòng)分析理論，wi(xi,t)為：

(2)

其中，pij(t)為彈性模態(tài)坐標(biāo)矢量，j為模態(tài)標(biāo)號(hào)，n為模態(tài)數(shù)。

連桿1任意一點(diǎn)坐標(biāo)可表示為：

r1=[x1cosq1-w1sinq1,x1sinq1+w1cosq1]T

(3)

對(duì)上式求導(dǎo)，得到連桿1上任意一點(diǎn)速度為：

(4)

將x1=L1代入到上式，可以得到連桿1末端位置速度為：

經(jīng)過以上分析，連桿1的動(dòng)能為：

同理可以推導(dǎo)出連桿2的動(dòng)能T2，則柔性機(jī)械臂系統(tǒng)總動(dòng)能T為：

(5)

柔性機(jī)械臂系統(tǒng)總勢(shì)能V為重力勢(shì)能，即

(6)

其中，ρi為連桿的線密度。

柔性機(jī)械臂產(chǎn)生的彈性形變還會(huì)產(chǎn)生應(yīng)變能為：

(7)

其中，Ei為連桿i的彈性模量，Ii為連桿i的慣性矩。以上公式中點(diǎn)是對(duì)時(shí)間的倒數(shù)，撇是對(duì)xi的倒數(shù)。

1.3 建立動(dòng)力學(xué)方程

拉格朗日方程在柔性機(jī)械臂系統(tǒng)中具體形式為：

(8)

其中,i=1,2，j=1,2,…,n。將式(5)～式(7)代入到拉格朗日方程中，結(jié)合正交原理，得到柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

(9)

2 組合控制器設(shè)計(jì)

首先使用奇異攝動(dòng)分解法將機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程分為快變子系統(tǒng)和慢變子系統(tǒng)。記N為M的逆矩陣，即：

由于小參數(shù)μ的存在，上式在快變量中顯示邊界層現(xiàn)象，令μ=0可以得到慢變子系統(tǒng)動(dòng)力方程為：

(10)

其中，上標(biāo)s表示此變量為慢變量，慢變子系統(tǒng)描述柔性臂的剛性運(yùn)動(dòng)。

(11)

其中上標(biāo)f表示此變量為快變量，快變量子系統(tǒng)描述柔性機(jī)械臂的彈性振動(dòng)。

基于式(10)和式(11)，組合控制器設(shè)計(jì)原理如圖2所示。

圖2 組合控制器原理

圖中qd為柔性機(jī)械臂期望輸出，q為實(shí)際輸出，τs、τf分別為慢變量和快變量控制力矩。

3 快慢變子系統(tǒng)設(shè)計(jì)

3.1 慢變子系統(tǒng)控制器

本文使用滑膜變結(jié)構(gòu)控制慢變子系統(tǒng)，但是當(dāng)系統(tǒng)存在較大不確定性和較大干擾時(shí)，系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生較大的抖振，甚至影響系統(tǒng)穩(wěn)定性，因此本文提出了自適應(yīng)滑膜變結(jié)構(gòu)控制，就是使用自適應(yīng)算法估計(jì)系統(tǒng)未知參數(shù)，再根據(jù)估計(jì)值和滑膜運(yùn)動(dòng)條件設(shè)計(jì)控制器，具體如圖3所示。

圖3 自適應(yīng)滑膜變結(jié)構(gòu)控制器

滑膜變結(jié)構(gòu)控制率設(shè)計(jì)為：

(12)

(13)

式中要求Γi>0。

為了分析上述控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為：

(14)

3.2 快變量子系統(tǒng)控制器

(15)

控制目標(biāo)是振動(dòng)最小、控制使用能量最小，因此將性能函數(shù)設(shè)置為：

(16)

其中，R、Q為對(duì)稱正定矩陣，XTQX為動(dòng)態(tài)振動(dòng)能量，UTRU為能量消耗。

由狀態(tài)方程可知快變量子系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，由式(16)可知性能函數(shù)為狀態(tài)變量和控制變量的二次型，因此快變子系統(tǒng)最優(yōu)控制問題為線性二次型問題。根據(jù)極值原理，求解此線性二次型問題，得快變子系統(tǒng)最優(yōu)控制為：

U=-R-1BTPX

(17)

其中，P為常數(shù)矩陣，為PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0的解。

3.3 組合控制率

(18)

由式(12)和式(18)可以得到柔性機(jī)械臂的混合控制率為τ=τs+τf。

4 仿真驗(yàn)證及分析

為了驗(yàn)證組合控制器的優(yōu)越性，同時(shí)使用傳統(tǒng)的滑膜變結(jié)構(gòu)和自適應(yīng)滑膜變結(jié)構(gòu)控制器對(duì)慢變子系統(tǒng)進(jìn)行控制，采集10s的輸出信號(hào)，結(jié)果分別如圖4和圖5所示。

圖4 傳統(tǒng)滑膜變結(jié)構(gòu)組合控制效果

圖5 自適應(yīng)滑膜變結(jié)構(gòu)組合控制效果

圖4為傳統(tǒng)滑膜變結(jié)構(gòu)組合控制器對(duì)關(guān)節(jié)的位置跟蹤效果，從圖4a可以看出，從第6s時(shí)關(guān)節(jié)1大致跟蹤目標(biāo)軌跡，第8s時(shí)精確跟蹤，從圖4b可以看出，關(guān)節(jié)2從第5s時(shí)較精確跟蹤目標(biāo)軌跡。圖5為自適應(yīng)滑膜變結(jié)構(gòu)組合控制器對(duì)關(guān)節(jié)位置的跟蹤效果，從圖5a可以看出，在1.5s時(shí)關(guān)節(jié)1精確跟蹤目標(biāo)曲線，從圖5b可以看出，在1.3s時(shí)關(guān)節(jié)2精確跟蹤目標(biāo)曲線。所以自適應(yīng)滑膜變結(jié)構(gòu)組合控制器在調(diào)節(jié)時(shí)間上具有明顯優(yōu)勢(shì)，除此之外，圖4所示的控制過程存在長(zhǎng)時(shí)間震蕩過程，而圖5所示的控制過程不存在震蕩過程，也說明了自適應(yīng)滑膜變組合控制器在關(guān)節(jié)位置跟蹤上的優(yōu)勢(shì)。

為了進(jìn)一步對(duì)自適應(yīng)滑膜變組合控制器的優(yōu)勢(shì)進(jìn)行挖掘，圖6給出了關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的期望控制輸入曲線，圖7給出了傳統(tǒng)滑膜變結(jié)構(gòu)組合控制器輸入曲線與自適應(yīng)組合控制器輸入曲線。

圖6 各關(guān)節(jié)期望輸入力矩

圖7 各關(guān)節(jié)輸入力矩

可以看出，滑膜變結(jié)構(gòu)和自適應(yīng)滑膜變結(jié)構(gòu)組合控制器的輸出力矩與期望輸出力矩都很接近，但是滑膜變結(jié)構(gòu)組合控制器輸出存在明顯的抖振現(xiàn)象，而自適應(yīng)滑膜變結(jié)構(gòu)組合控制器輸出力矩平滑性很好，系統(tǒng)穩(wěn)定性更強(qiáng)，控制效果更好。這是因?yàn)樽赃m應(yīng)滑膜變結(jié)構(gòu)以誤差和誤差變化率為依據(jù)，對(duì)控制率進(jìn)行了自適應(yīng)調(diào)整，使得自適應(yīng)滑膜變控制器的控制量平滑性好。

5 結(jié)論

本文建立了柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程，使用奇異攝動(dòng)分解法將系統(tǒng)區(qū)分為快變子系統(tǒng)和慢變子系統(tǒng)，分別設(shè)計(jì)了快慢變子系統(tǒng)控制器，對(duì)傳統(tǒng)滑膜變結(jié)構(gòu)控制進(jìn)行改進(jìn)，提出了自適應(yīng)滑膜變結(jié)構(gòu)控制器，通過仿真可以看出：①相比于傳統(tǒng)滑膜變結(jié)構(gòu)控制，自適應(yīng)滑膜變組合控制器跟蹤目標(biāo)軌跡更快、且跟蹤不存在震蕩過程，說明區(qū)分柔性機(jī)械臂的快慢變子系統(tǒng)，并分別設(shè)計(jì)控制器，對(duì)于柔性機(jī)械臂的控制非常有效；②自適應(yīng)滑膜變組合控制器輸出力矩平穩(wěn)，不存在抖振現(xiàn)象，這是因?yàn)樽赃m應(yīng)滑膜變結(jié)構(gòu)以誤差和誤差變化率為控制依據(jù)，自適應(yīng)修改控制率，使控制器的輸出控制量非常平滑。

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