直角坐標(biāo)機(jī)器人迭代滑模交叉耦合控制器設(shè)計(jì)*

許鳴吉，李 勝，陳慶偉，郭 健，吳益飛

(南京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，南京 210094)

0 引言

工業(yè)機(jī)器人是集機(jī)械、電子、控制、計(jì)算機(jī)、傳感器、人工智能等多學(xué)科先進(jìn)技術(shù)于一體的自動(dòng)化裝備，代表著未來智能裝備的發(fā)展方向[1]。目前，國(guó)內(nèi)外汽車、電子電器、工程機(jī)械等行業(yè)已大量使用工業(yè)機(jī)器人自動(dòng)化生產(chǎn)線，以保證產(chǎn)品質(zhì)量和生產(chǎn)高效率。

工業(yè)機(jī)器人按坐標(biāo)形式可以劃分為直角坐標(biāo)型機(jī)器人、圓柱坐標(biāo)型機(jī)器人、極坐標(biāo)型機(jī)器人和多關(guān)節(jié)型機(jī)器人。作為工業(yè)機(jī)器人其中的一種類型，直角坐標(biāo)機(jī)器人(Cartesian Robot)具有超大行程、負(fù)載能力強(qiáng)、動(dòng)態(tài)特性高、擴(kuò)展能力強(qiáng)、簡(jiǎn)單經(jīng)濟(jì)、壽命長(zhǎng)等特性，由于可以在末端加持不同操作用途的工具，適用于多品種、便批量的柔性化作業(yè)，完成如焊接、碼垛、包裝、點(diǎn)膠、檢測(cè)、打印等一系列作業(yè)。

直角坐標(biāo)機(jī)器人的三軸運(yùn)動(dòng)控制是機(jī)器人的靈魂所在，對(duì)輪廓誤差控制的好壞將直接影響末端執(zhí)行器的位姿精度。目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)直角坐標(biāo)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制的研究著重于對(duì)單軸進(jìn)行跟蹤控制，主要手段包括摩擦力補(bǔ)償、前饋控制和擾動(dòng)補(bǔ)償?shù)取５?，上述方法?duì)三軸同步、軌跡跟蹤和輪廓誤差控制的提升是有限的。系統(tǒng)外部擾動(dòng)和參數(shù)攝動(dòng)會(huì)嚴(yán)重影響三軸同步、軌跡跟蹤和輪廓誤差控制的精度[2]。

本文研究的主要問題是在不確定干擾下直角坐標(biāo)機(jī)器人的高精度同步控制。首先，建立了三軸機(jī)器人直流電機(jī)模型和輪廓誤差模型，與以往輪廓誤差模型相比，本文所設(shè)計(jì)的模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，計(jì)算量?。蝗缓?，設(shè)計(jì)了滑模速度控制器，用以抑制非周期干擾，設(shè)計(jì)了迭代學(xué)習(xí)位置控制器，有效減小了周期性干擾和單軸跟蹤誤差，設(shè)計(jì)了軸間變?cè)鲆娼徊骜詈峡刂破?，用以消除系統(tǒng)的輪廓誤差。分別對(duì)上述控制器逐一仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的迭代滑模交叉耦合控制器具有較高的輪廓精度和較強(qiáng)的魯棒性。

1 直角坐標(biāo)機(jī)器人輪廓誤差模型

位置跟蹤誤差是指當(dāng)前時(shí)刻的實(shí)際位置與期望位置的距離；而輪廓誤差是指實(shí)際輪廓與期望輪廓之間的幾何偏差，是比跟蹤誤差更為重要的性能指標(biāo)[4]。精確的輪廓誤差模型有利于提高直角坐標(biāo)機(jī)器人末端執(zhí)行器的位姿精度。圖1為任意軌跡的實(shí)時(shí)輪廓誤差模型。

圖1 任意軌跡的實(shí)時(shí)輪廓誤差模型

如圖1所示，假設(shè)t0時(shí)刻，在直角坐標(biāo)系中，P為末端執(zhí)行器的實(shí)際位置，坐標(biāo)為(a,b,c)，F(xiàn)(t)為期望軌跡，R為期望位置，坐標(biāo)為(x1,y1,z1),則PR為直角坐標(biāo)機(jī)器人的跟蹤誤差向量，記作e，其在三軸上的投影分別為ex、ey、ez，即三軸各自的跟蹤誤差；R′坐標(biāo)為(x0,y0,z0),直線RR′為軌跡F(t)在R處的切線；從P處向直線RR′作垂線，垂足為Q，坐標(biāo)為(x,y,z)，則PQ為機(jī)器人的輪廓誤差向量，記作ε，其在三軸上的投影分別為εx、εy、εz，即三軸各自的輪廓誤差[5]。

由幾何分析可得跟蹤誤差向量e和向量RR′的表達(dá)式為：

(1)

(2)

由R、Q、R′三點(diǎn)可求得直線RR′的線性方程為：

(3)

可求得向量PQ的表達(dá)式為：

(4)

已知直線PQ與直線RR′互相垂直，則向量PQ與向量RR′內(nèi)積為零，表示為:

PQ·RR′=0

(5)

將式(2)和式(4)代入式(5)中，可求得:

(6)

將式(6)求出的參數(shù)t0代回式(3)，可得坐標(biāo)點(diǎn)Q:

(7)

則輪廓誤差向量ε的表示式為：

(8)

2 直流電機(jī)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)建模

直流電機(jī)具有良好的起動(dòng)和制動(dòng)性能，宜于在大范圍內(nèi)平滑調(diào)速，被廣泛應(yīng)用于許多調(diào)速和快速正反向的電力拖動(dòng)領(lǐng)域[6]。本文以直流電機(jī)作為被控對(duì)象，需要建立直流電機(jī)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，再由其得到動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。直流電機(jī)的電樞回路方程為：

(9)

式中，Ua為電樞電壓，Id為電樞電流，E為感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。忽略粘性摩擦和彈性轉(zhuǎn)矩，可得到電機(jī)軸上的運(yùn)動(dòng)方程為：

(10)

式中，Te為電磁轉(zhuǎn)矩，TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩，J為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ω為電機(jī)轉(zhuǎn)速，GD2為電力拖動(dòng)系統(tǒng)折算到電機(jī)軸上的飛輪矩。額定勵(lì)磁下的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)方程和電磁轉(zhuǎn)矩方程分別為：

E=Cen

(11)

Te=CmId

(12)

式中，Ce為電動(dòng)勢(shì)常數(shù)，Cm為轉(zhuǎn)矩系數(shù)。將式(11)和式(12)代入式(9)和(10)中并整理得：

(13)

(14)

式中，Tl=L/R，為電樞回路電磁時(shí)間常數(shù)，IdL=TL/Cm，為負(fù)載電流，Tm=GD2R/(375CeCm)，為機(jī)電時(shí)間常數(shù)。在零初始條件下，對(duì)式(14)取Laplace變換，得到電壓與電流之間的傳遞函數(shù)：

(15)

對(duì)式(15)取Laplace變換，得到電流與電動(dòng)勢(shì)之間的傳遞函數(shù)：

(16)

由此得到直流電機(jī)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)框圖，如圖2所示。

圖2 直流電機(jī)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖

3 迭代滑模交叉耦合控制器設(shè)計(jì)

如圖3所示為迭代滑模交叉耦合控制器的結(jié)構(gòu)。

圖3 迭代滑模交叉耦合控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

對(duì)于單軸電機(jī)，設(shè)計(jì)速度環(huán)滑?？刂破鳎梢砸种品侵芷诟蓴_；設(shè)計(jì)位置環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制器，能夠抑制周期性干擾和減小單軸跟蹤誤差。對(duì)于三軸電機(jī)，設(shè)計(jì)軸間變?cè)鲆娼徊骜詈峡刂破鳎靡詼p小系統(tǒng)的輪廓誤差。

3.1 速度環(huán)滑模控制器的設(shè)計(jì)

滑?？刂?Sliding Mode Control, SMC)是一種具有強(qiáng)魯棒性的非線性控制方法，通過控制量的切換使系統(tǒng)狀態(tài)沿著滑模面滑動(dòng)，會(huì)產(chǎn)生抖振，不適合作為位置環(huán)控制器，因此將其設(shè)計(jì)為速度環(huán)控制器，用以抑制非周期干擾[7]。

由于直流電機(jī)的電流變化率很小，現(xiàn)忽略項(xiàng)

Ua=RId+Cen

(17)

聯(lián)立式(10)、式(12)和式(17)，合并并消去Id和Te，可得：

(18)

移項(xiàng)整理，得：

(19)

設(shè)狀態(tài)變量x=n*-n，將n=n*-x代入式(19)中，可得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

(20)

取PI型滑模面：

(21)

對(duì)式(21)求導(dǎo)，可得：

(22)

(23)

化簡(jiǎn)，可得系統(tǒng)的等效控制律為：

(24)

(25)

3.2 軸間變?cè)鲆娼徊骜詈峡刂破鞯脑O(shè)計(jì)

交叉耦合控制器有演算輪廓誤差和將其分別補(bǔ)償?shù)礁鬏S的作用[9]。在位置回路中添加交叉耦合控制器，如圖3所示，構(gòu)成完整的控制系統(tǒng)。

第1節(jié)已詳細(xì)介紹了如何估計(jì)空間輪廓誤差，根據(jù)空間輪廓誤差ε的表達(dá)式(8)，得到輪廓誤差補(bǔ)償量C為：

C=Cxεx+Cyεy+Czεz

(26)

式中，Cx、Cy和Cz分別為各軸的交叉耦合增益值，能夠影響輪廓誤差的修正速度。

3.3 位置環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制器的設(shè)計(jì)

迭代學(xué)習(xí)控制(Iterative Learning Control, ILC)具有高精度的跟蹤性能，利用系統(tǒng)先前的控制經(jīng)驗(yàn)，不斷修正系統(tǒng)控制量，尋求一個(gè)理想的輸入特性曲線，使被控對(duì)象產(chǎn)生期望運(yùn)動(dòng)[10]。

對(duì)于X軸，它的跟隨誤差為：

(27)

同理，Y軸和Z軸的跟隨分別誤差為：

(28)

(29)

(30)

對(duì)式(30)取范數(shù)，得：

(31)

根據(jù)迭代學(xué)習(xí)控制的收斂條件，可得：

(32)

由此可見，求解滿足上式條件的迭代學(xué)習(xí)律和交叉耦合控制器，使得迭代收斂，系統(tǒng)能夠最終穩(wěn)定。

4 仿真結(jié)果及分析

采用三臺(tái)相同的直流電機(jī)作為直角坐標(biāo)機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)部件進(jìn)行仿真研究，電機(jī)的參數(shù)如表1所示。

表1 臺(tái)鴻50SYX01直流電機(jī)參數(shù)說明

機(jī)器人的期望跟蹤軌跡為空間螺旋線，方程為：

(33)

對(duì)所設(shè)計(jì)的迭代滑模交叉耦合控制器進(jìn)行驗(yàn)證，圖4為直角坐標(biāo)機(jī)器人期望軌跡與實(shí)際輸出軌跡，可以明顯看出，兩者基本重合，所設(shè)計(jì)的控制器性能良好。為驗(yàn)證速度環(huán)滑?？刂啤⑽恢铆h(huán)迭代學(xué)習(xí)控制的優(yōu)越性，將分別單獨(dú)測(cè)試其性能：

首先，比較速度環(huán)SMC和普通PID控制在抑制非周期干擾方面的性能，結(jié)果如圖5所示。以y軸為例，y軸轉(zhuǎn)速跟蹤的是周期為1s，幅值為568rpm的余弦波。電機(jī)空載運(yùn)行后，PID控制需要將近0.1s進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，而SMC很快進(jìn)入穩(wěn)態(tài)；在0.5s給電機(jī)加10N的負(fù)載，PID的動(dòng)態(tài)響應(yīng)能力較弱，而SMC體現(xiàn)出很強(qiáng)的抗干擾能力。

圖5 y軸負(fù)載變化時(shí)速度環(huán)SMC與PID的對(duì)比

然后，比較位置環(huán)ILC和普通PID控制在位置跟蹤方面的性能，結(jié)果如圖6所示。以x軸為例，x軸位置跟蹤的是周期為1s，幅值為100mm的余弦波。PID控制能夠使位置跟蹤誤差迅速收斂，但是由于沒有學(xué)習(xí)能力，重復(fù)運(yùn)行并不能改善系統(tǒng)性能，位置誤差峰峰值始終保持在±0.62mm；采用ILC，系統(tǒng)運(yùn)行到第2秒，即迭代學(xué)習(xí)進(jìn)行了2次后，位置誤差逐漸減小，最終峰峰值收斂于±0.08mm，以此驗(yàn)證了ILC具有高精度的跟蹤性能。

圖6 x軸位置環(huán)ILC與PID跟蹤誤差的對(duì)比

最后，比較迭代滑模交叉耦合控制器與普通交叉耦合控制器在控制輪廓誤差方面的性能，結(jié)果如圖7所示。在ILC+SMC+CCC控制下，系統(tǒng)具有學(xué)習(xí)能力，輪廓誤差不斷減少，經(jīng)過6次迭代后，已經(jīng)小于普通CCC控制下的輪廓誤差，隨著迭代次數(shù)的增加，最終輪廓誤差被控制在0.04mm?？梢?，采用LC+SMC+CCCI控制可以有效地補(bǔ)償輪廓誤差。

圖7 ILC+SMC+CCC與CCC輪廓誤差的對(duì)比

5 結(jié)論

針對(duì)直角坐標(biāo)機(jī)器人，本文設(shè)計(jì)了一種迭代滑模交叉耦合控制器。單軸速度環(huán)采用滑?？刂?，能有效抑制系統(tǒng)的非周期干擾；位置環(huán)采用迭代學(xué)習(xí)控制，具有高精度的跟蹤性能；軸間采用變?cè)鲆娼徊骜詈峡刂破?，能演算并補(bǔ)償輪廓誤差。仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的迭代滑模交叉耦合控制器能大幅度提高直角坐標(biāo)機(jī)器人的輪廓精度和魯棒性。

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