中證100股票指數(shù)回歸模型的實證分析

楊思思

（重慶工商大學(xué)融智學(xué)院 經(jīng)濟學(xué)院，重慶 巴南401320）

一、引言

基金經(jīng)理經(jīng)常面臨如何將大額資金快速而方便地投入或撤出股票市場，然而買進或賣出如此大量的個別股票必定會造成價格的劇烈波動，而且也可能違背基金分散投資的宗旨，就要承擔非系統(tǒng)風(fēng)險。因此，市場的流動性與投資組合的結(jié)構(gòu)是大型基金經(jīng)理非常關(guān)心的課題。

一般情況下，個別股票的操作績效取決于三個因素：整個市場、所屬產(chǎn)業(yè)和個別公司[1]。絕大多數(shù)分析家認為，整體市場的走勢方向最重要，個股績效可能有70%取決于整體市場的走勢。第二個重要因素是產(chǎn)業(yè)的基本面發(fā)展趨勢，個股績效可能有20%來自于這方面的影響。所以，個別股票的操作績效大約只有10%來自于特定公司的營運表現(xiàn)。此外，當重大經(jīng)濟事件發(fā)生的時候，通常很容易預(yù)測整體股票市場受到的影響，卻難以判別個股反應(yīng)。為了實現(xiàn)對“整個市場”進行交易，而不是個別股票，金融市場發(fā)展出了新的交易工具——股指期貨。不同于其他期貨合約，由于經(jīng)常劇烈波動，給期貨持有者帶來巨大風(fēng)險，指數(shù)期貨便應(yīng)運而生。這些產(chǎn)品讓基金經(jīng)理得以針對市場而不是個別股票來進行交易。于是，各種股票指數(shù)與其權(quán)重股的研究備受關(guān)注[2-3]，能更準確地對實際市場波動情況進行擬合，以及更加真實地反映上證指數(shù)的市場風(fēng)險特性成為建立上證指數(shù)模型的重要目標[4]。

本文以中證100股票數(shù)據(jù)為研究對象，建立中證100股票指數(shù)與其成分股的線性回歸模型，利用嶺估計和彈性約束估計分別探討模型中嚴重存在的多重共線性。再通過限定最低門限修正彈性約束估計回歸模型結(jié)果，解決模型中部分估計系數(shù)為負值的問題。然后去除系數(shù)估計值為最低門限值的回歸變量，得到中證100股票指數(shù)模型。

二、數(shù)據(jù)相關(guān)性分析

數(shù)據(jù)來自大智慧軟件，選取中證100指數(shù)從2014年6月16日到2014年12月12日之間的日線數(shù)據(jù)。利用R軟件分析數(shù)據(jù)并建立模型。

金融市場中的很多變量是相互依存的，但是沒有嚴格的函數(shù)關(guān)系。線性回歸模型常用來刻畫證券市場眾多的變量關(guān)系。然而分析變量間的相關(guān)性是建立線性回歸模型的首要任務(wù)，于是利用R軟件對因變量Y（中證100指數(shù)）與各成分股X1，X2，…，X100之間的相關(guān)性進行分析，得到Y(jié)與X1，X2，…，X100的相關(guān)系數(shù)，結(jié)果表明有75%的相關(guān)系數(shù)均大于0.8。因此，建立因變量Y與自變量X1，X2，…，X100的線性回歸模型的初步設(shè)想是合理的。

三、建立和診斷模型

（一）建立模型

中證100指數(shù)與大多數(shù)成分股存在較強的相關(guān)關(guān)系，因此可以建立中證100指數(shù)與各只股票間的線性回歸模型：

將樣本數(shù)據(jù)代入上述回歸模型，基于最小二乘法[5]，得到回歸系數(shù)β的最小二乘估計值。進一步用模型F檢驗得到p=2.2×10-16，說明模型整體擬合效果不錯，但是仍然存在很多回歸系數(shù)無法通過顯著性檢驗。此外，回歸模型中回歸系數(shù)估計值出現(xiàn)負值，這顯然與實際意義不符。

（二）診斷模型

線性回歸模型的建立是基于殘差項服從正態(tài)分布的假設(shè)。為了驗證線性回歸模型（1）的正態(tài)假定是否合理，需要對其殘差做夏皮羅-威爾克（Shapiro-Wilk）正態(tài)性檢驗[6]。通過R程序計算得到W=0.995 8，顯著概率為0.977，結(jié)果表明殘差滿足正態(tài)性假設(shè)。

另一方面，自變量相關(guān)系數(shù)矩陣的條件數(shù)是度量多重共線性嚴重程度的一個重要指標。實際經(jīng)驗表明，如果條件數(shù)小于100，則認為變量間多重共線性程度較輕微，當條件數(shù)大于1 000，則認為存在嚴重的多重共線性。

經(jīng)計算，模型（1）的100個自變量間相關(guān)矩陣的條件數(shù)為10 084 240，遠遠大于1 000。再計算其特征值，得到最大特征值為7.55，最小特征值僅為0.000 036 8，均表明模型（1）存在嚴重的多重共線性。此外，計算得到模型的均方誤差(MSE)為429 794。

綜上所述，說明基于所有自變量X1，X2，…，X100的線性回歸模型效果不好，因此需要進一步對模型進行改進。

（三）改進模型

因為模型存在嚴重的多重共線性，所以必須對模型進行改進，而有偏估計是解決多重共線性最直接的方法。其中最常用的是Hoerl和Kennard提出的嶺估計[7]。

嶺估計含有一個參數(shù)k，需要利用嶺跡法來選擇參數(shù)。其原理在于：嶺估計得到的每個回歸系數(shù)βi(k)（i=1,…,100）均是k的函數(shù)，當k在[0,+∞)變化時，在平面直角坐標系所描出圖形稱為嶺跡，將100個βi(k)的嶺跡畫在同一個圖上，選擇k使得每個回歸系數(shù)的值大體穩(wěn)定，并且兼顧殘差平方和上升不太多等約束。

通過R程序，繪出嶺跡圖如圖1所示。當k=0.2時，各條曲線基本趨于穩(wěn)定。

圖1 嶺跡圖

進一步通過函數(shù)Select計算，得到如下三種嶺參數(shù)：HKB的k值是0.04，L-W的k值是0.004，GCV的最小值是0.04。三種k值均小于0.2，但是L-W的k值太小，計算出來的MSE仍然會很大，于是選擇k=0.04，得到如下的經(jīng)驗線性回歸方程：

計算得到殘差平方和為81.27，MSE為5 669.44，即表明嶺估計得到的線性回歸方程能夠很好地刻畫中證100股指的趨勢。但是從方程的系數(shù)來看，負系數(shù)估計值仍然較多并且其絕對值較大，說明模型仍然有待進一步調(diào)整。

（四）彈性約束（Elastic net)估計

證券市場中的很多變量是相互依存的，導(dǎo)致多重共線性。因此沒有必要將高度關(guān)聯(lián)的自變量均考慮到線性回歸模型的建立中。反映在股票上，同一行業(yè)內(nèi)的股票具有很強的相關(guān)性，應(yīng)當選取該行業(yè)內(nèi)具有代表性的一支或者幾支來實現(xiàn)股票指數(shù)跟蹤。另一方面，各只股票對指數(shù)的影響程度不同，對于影響甚微的股票，沒有必用其成分股來模擬中證100指數(shù)。

2005年Zou和Hastie通過合并嶺回歸和LASSO[8-9]，提出了彈性約束估計（Elastic net)正好可以解決上述問題。利用R軟件中的Glmnlet程序包計算得到上述線性回歸模型的彈性約束估計，經(jīng)過CV交叉驗證[10]，確定最佳λ值為4.53。于是得到含25個自變量的線性回歸模型：

在實際投資實踐中，基金經(jīng)理需要用最少的股票達到對股票指數(shù)的跟蹤。這里通過彈性約束估計得到的最優(yōu)解僅僅包含了25支成分股，已經(jīng)能夠滿足持股和利用股指期貨實現(xiàn)風(fēng)險對沖的目的。此外，計算得到殘差平方和為7 144.95，彈性約束估計殘差圖如圖2所示。因此，根據(jù)彈性約束估計建立的線性回歸模型基本上可以模擬出中證100指數(shù)的實際走勢，但是擬合效果仍然不是很好。

圖2 彈性約束估計殘差圖

（五）修正模型結(jié)果

利用彈性約束估計從100只股票中選出了25只，下面將進一步建立股票指數(shù)與25只股票的最小二乘線性回歸方程并檢驗其顯著性。

計算結(jié)果表明F檢驗高度顯著，大部分變量通過了顯著性檢驗。此外，通過殘差正態(tài)性檢驗得到對數(shù)正態(tài)QQ圖，如圖3所示，只有第60日和第115日的數(shù)據(jù)不在虛線上。經(jīng)查看第60日的股票價格和指數(shù)并無太多異常，但第115日下一日的股價和指數(shù)出現(xiàn)了異常的全體上漲?？傮w上，修正后的線性回歸模型擬合效果整體不錯，但不足之處在于部分回歸系數(shù)仍為負值。

圖3 對數(shù)正態(tài)QQ圖

而根據(jù)實際情況，中證100指數(shù)是其成分股走勢的線性組合，受成分股走勢的影響應(yīng)該為正的。下面對選出來的25個變量建立正回歸，限定最低門限為0.001 36。利用R軟件計算，得到如下的線性回歸模型：

該模型的殘差平方和為3 432，表明模型（4）明顯好于修正前的彈性約束估計模型（3）。

此外，模型（4）中有7個變量的回歸系數(shù)是最低門限值，即這7個變量在中證100指數(shù)追蹤中所起的作用不是特別明顯。于是嘗試將其舍去，用剩下的18個變量建立中證100指數(shù)線性回歸模型為：

模型（5）的F檢驗高度顯著，只有3個變量未通過p=0.01的顯著性檢驗，并且所有回歸系數(shù)估計值均為正數(shù)。此外，殘差平方和為1 956，表明它比25支成分股建立的線性回歸模型的效果好。均方誤差（MSE）為142 904，遠遠小于最初100個變量建立的線性回歸模型的MSE。綜上所述，經(jīng)過此次修正后的股票指數(shù)線性回歸模型是最可行有效的。表1是中證100指數(shù)回歸模型中成分股股票以及對應(yīng)的回歸系數(shù)。圖4是其股指追蹤效果圖，表明這18只股票可以有效地模擬出指數(shù)的實際走勢。

表1 中證100指數(shù)回歸模型成分股的權(quán)重系數(shù)

圖4 股指追蹤圖

三、結(jié)論

本文以中證100股票指數(shù)及其成分股為研究對象，結(jié)合模型檢驗并不斷修正模型結(jié)果，得到了可行有效、總體效果最佳的中證100股票指數(shù)回歸模型。實證分析表明，本文所建立的中證100股票指數(shù)回歸模型具有很好的股指追蹤模擬效果，對投資者具有較高的參考價值，能夠在一定程度上降低投資風(fēng)險，提高股票投資的持續(xù)性和穩(wěn)定性。

[1]彭春.權(quán)重股對股票指數(shù)影響的實證分析[J].科技經(jīng)濟市場，2010(9):57-58.

[2]孫秀琳，宋軍.基于權(quán)重股的股指期貨操縱模式研究：2007—2008交易數(shù)據(jù)的實證檢驗[J].世界經(jīng)濟情況，2009(1):81-89.

[3]楊先明，梁任敏.貨幣供應(yīng)量對我國股票價格影響的實證分析[M].昆明:云南大學(xué)出版社，2013.

[4]周炳均，王沁，鄭興.基于兩種分布下的SV模型與GARCH模型的VAR比較[J].重慶文理學(xué)院學(xué)報（社會科學(xué)版），2016(5):133-137.

[5]陳希孺，王松桂.線性模型中的最小二乘法[M].上海:上?？萍汲霭嫔?2003.

[6]SHAPIRO S S,WILK M B.An analysis of variance test for normality(complete samples)[J].Biometrika,1965(3-4):591-611.

[7]HOERL A E,KENNARD R W.Ridge regression:Biased estimation for nonorthogonal problems[J].Technometrics,1970(1):55-67.

[8]ZOU H,HASTIE T.Regularization and variable selection via the elastic net[J].Journal of the Royal Statistical Society:Series B,2005(2):301-320.

[9]TIBSHIRANI R.Regression shrinkage and selection via the lasso[J].Journal of the Royal Statistical Society:Series B,1996(1):267-288.

[10]GEISSER S.Predictive inference[M].New York:Chapman and Hall，1993.