典型 趣味 開發(fā) 共享
——以“最小覆蓋圓”為例談“綜合與實踐”活動的教學(xué)策略

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》頒布以來，各地對初中數(shù)學(xué)“綜合與實踐”活動做了大量、有效的研究，配套的教材、課堂教學(xué)活動，以及各地中考試題的滲透等，都對這項內(nèi)容的研究做了很好的助推。

目前，部分地區(qū)、學(xué)校在“綜合與實踐”活動實施過程中，或以方法教學(xué)代替“綜合與實踐”活動過程的輔導(dǎo)，陷入僅傳授知識的誤區(qū)；或等同于其他常規(guī)內(nèi)容開展教學(xué)，使學(xué)生缺乏深度體驗。據(jù)此，筆者擬就一節(jié)“綜合與實踐”活動課的教學(xué)設(shè)計與課堂開展情況，從教學(xué)策略角度談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)“綜合與實踐”活動應(yīng)該凸顯的關(guān)鍵點及思考。

一、選擇典型主題

初中數(shù)學(xué)“綜合與實踐”活動的主要目的是培養(yǎng)學(xué)生運用有關(guān)知識與方法解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，積累學(xué)生的活動經(jīng)驗，提高學(xué)生解決現(xiàn)實問題的能力。

在選擇活動主題時應(yīng)關(guān)注與實際生活聯(lián)系的問題，關(guān)注便于學(xué)生理解的問題，關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)部多個知識綜合的問題等，以提高研究的針對性與實效性。

為考查學(xué)生綜合運用三角形、四邊形和圓的相關(guān)知識解決實際問題的能力，筆者選用了如下與實際生活相聯(lián)系的問題開展探究活動。

問題：某地有四個村莊 E、F、G、H（其位置如圖1所示），現(xiàn)擬建一個電視信號中轉(zhuǎn)站，為了使這四個村莊的居民都能接收到電視信號，且使中轉(zhuǎn)站所需發(fā)射功率最小（距離越小，所需功率越?。?，此中轉(zhuǎn)站應(yīng)建在何處？請說明理由。

圖1

（說明：這個問題具有一定的現(xiàn)實意義，與之類似的問題還有雷達、Wi-Fi的選址等等。學(xué)生拿到問題之后也有一定的積極性，并著手開始研究。）

實際上，我們在平時的教學(xué)中，可以放手讓學(xué)生尋找問題，從而激發(fā)學(xué)生觀察生活、發(fā)現(xiàn)與探究問題的興趣，確定“綜合與實踐”活動的研究主題。如：學(xué)習(xí)了全等三角形、相似三角形、銳角三角函數(shù)等知識后，就可以引導(dǎo)學(xué)生尋找可以運用上述知識解決的實際問題，如測量建筑物的高度、測量河寬等；學(xué)習(xí)了平移、旋轉(zhuǎn)、翻折（軸對稱）等知識后，可以引導(dǎo)學(xué)生尋找生活中一些精美圖案與上述知識之間的關(guān)系，自主設(shè)計一些與此相關(guān)的圖案等等。

選擇“綜合與實踐”活動的研究主題時，應(yīng)注意以下細節(jié)：第一，以任務(wù)驅(qū)動方式指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)觀察、考察、調(diào)查、訪問等實踐活動的方法，發(fā)現(xiàn)、提出問題；第二，指導(dǎo)學(xué)生運用文字、圖形、攝影、錄像等多種手段記錄發(fā)現(xiàn)問題的素材；第三，指導(dǎo)學(xué)生對所發(fā)現(xiàn)問題進行背景分析，猜想解決問題需要的數(shù)學(xué)知識、方法等。

總之，選擇綜合與實踐活動研究的主題應(yīng)具有典型性、實用性、有效性、綜合性，與學(xué)生所學(xué)知識、方法要緊密聯(lián)系，避免選擇大而空的問題。

二、創(chuàng)設(shè)趣味情境

對有一定難度問題的探究，學(xué)生常常會有畏難情緒，這與他們的心理特征、年齡特征有關(guān)。托爾斯泰說過：“成功的教學(xué)所需的不是強制，而是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣?！?/p>

因此，在選定研究主題之后，教師在創(chuàng)設(shè)問題情境中應(yīng)注意教學(xué)策略的安排，可選擇與研究主題相關(guān)的有趣情境，選擇適合學(xué)生開展活動的研究方式，選擇便于學(xué)生動手操作、有益于加深理解的活動形式等。

提出“中轉(zhuǎn)站問題”一周之內(nèi)，學(xué)生基本沒有頭緒，只是意識到該問題會與三角形、四邊形、圓等知識相關(guān)，但無法解決問題。為此，筆者創(chuàng)設(shè)了一些有益于學(xué)生深入理解問題的情境，既激發(fā)學(xué)生的探究興趣，又幫助學(xué)生初步理解“覆蓋圓”的含義。具體如下：

展示生活中的覆蓋現(xiàn)象（出示圖片）：張家界市生態(tài)優(yōu)良，屬中亞熱帶山原型季風(fēng)濕潤氣候，四季分明。全市森林覆蓋率達66.98%，核心景區(qū)為98%。

通過這些學(xué)生熟知的生活現(xiàn)象，讓學(xué)生基本了解生活中的覆蓋問題，為激發(fā)學(xué)生進一步探究“中轉(zhuǎn)站問題”奠定了重要基礎(chǔ)。

初中數(shù)學(xué)“綜合與實踐”活動的主旨是將生活中的數(shù)學(xué)與課堂中的數(shù)學(xué)有機結(jié)合，實現(xiàn)人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識。將選定的“綜合與實踐”活動內(nèi)容落實在課堂教學(xué)時，可采用如下策略：安排學(xué)生分組匯報前期的研究情況，包括展示相關(guān)圖片、錄像等素材；教師演示事先準備好的相關(guān)問題情境，以利于激發(fā)學(xué)生探究興趣，幫助學(xué)生準確理解研究主題。

三、開發(fā)合作內(nèi)容

在開展“綜合與實踐”活動的過程中，選定研究主題是前提，挖掘、開發(fā)實際生活問題情境是鋪墊，而開發(fā)具體的研究內(nèi)容、研究方法則顯得尤為關(guān)鍵。

開發(fā)合作內(nèi)容的教學(xué)策略應(yīng)遵循以下原則：有合作的必要，不流于形式；有合作的價值，不浮于表面；通過合作，有利于學(xué)生思維水平的提高；通過合作，有利于激發(fā)學(xué)生進一步探究的欲望等。

筆者在設(shè)計“中轉(zhuǎn)站問題”的探究內(nèi)容與方法時，安排了如下一些操作與探究活動。

1.操作：（1）已知線段 AB＝4cm。分別用半徑為1cm、2cm、3cm的圓覆蓋線段AB，你發(fā)現(xiàn)了什么？（2）已知等邊三角形ABC的邊長為4cm。分別用半徑為 2cm、3cm的圓覆蓋△ABC，你發(fā)現(xiàn)了什么？

2.概念：對于平面圖形A，如果存在一個⊙O，使圖形A上任意一點到圓心O的距離都不大于⊙O的半徑r，則稱圖形A被⊙O覆蓋?！袿稱為圖形A的覆蓋圓，其中半徑最小的⊙O稱為圖形A的最小覆蓋圓。例如：圖2中的線段AB被⊙O覆蓋，圖3中的△ABC被⊙O覆蓋，圖4中的四邊形ABCD被⊙O覆蓋。

圖2

圖3

圖4

3.探究活動 1：

如圖5，已知線段AB。

（1）請畫出線段AB的一個覆蓋圓；（2）線段AB存在最小覆蓋圓嗎？如果存在，請畫出來。

圖5

4.探究活動 2：

如圖6，3個三角形分別是銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。（1）請分別作出它們的最小覆蓋圓；（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）（2）探究三角形的最小覆蓋圓有何規(guī)律？請寫出你所得到的結(jié)論。

圖6

5.探究活動 3：（1）如圖 7，正方形 ABCD的邊長為1cm，則它的最小覆蓋圓半徑是_____cm；（2）如圖 8，等邊三角形 ABC 的邊長為1cm，則它的最小覆蓋圓半徑是 cm。

圖7

圖8

6.探究活動4：解決上述“中轉(zhuǎn)站”問題。

（說明：本環(huán)節(jié)共安排了1個操作活動與4個探究活動。）

操作活動關(guān)注了知識發(fā)生的過程，學(xué)生通過分組操作、交流后都有一定的發(fā)現(xiàn)，為后面引出新概念提供保證；也為學(xué)生進行其他探究提供了思維的方式、方法。

第1、2兩個探究活動體現(xiàn)由易到難的設(shè)計原則，關(guān)注學(xué)生的探究方式、探究習(xí)慣和探究能力。探究活動3主要是將學(xué)生親身體驗、探究獲得的結(jié)論進行簡單的應(yīng)用。但這里的設(shè)計不是簡單的重復(fù)，而是有創(chuàng)造性的運用。探究活動4的難度明顯提高了，也突出了數(shù)學(xué)的實用性。要求學(xué)生根據(jù)探究過程中積累的活動經(jīng)驗、形成的分析解決問題的方法，來解決實際問題。

據(jù)此可以看出，設(shè)計與開發(fā)具體的探究內(nèi)容時應(yīng)注意以下幾點：第一，關(guān)注學(xué)生的基礎(chǔ)，選擇適合學(xué)生層次的問題梯度；第二，設(shè)計的問題易操作，兼顧學(xué)生的獨立思考與合作學(xué)習(xí)；第三，設(shè)計的問題有一定的思維含量，要難易適中，把握好這一點極為重要。

四、實現(xiàn)共享成果

從選定初中數(shù)學(xué)“綜合與實踐”活動探究的主題開始，到確定探究方案、探究方法，從而完成主題的探究過程。那么，學(xué)生的活動成果該以什么方式來呈現(xiàn)、表達？

就呈現(xiàn)方式的策略而言，筆者認為，成果應(yīng)利于共享，利于交流，可采用數(shù)學(xué)小報、班級板報、數(shù)學(xué)小論文等形式呈現(xiàn)，定期積累歸入學(xué)生數(shù)學(xué)成長學(xué)習(xí)袋中，便于收集。就表達形式的策略而言，可讓學(xué)生學(xué)習(xí)陳述、學(xué)習(xí)交流分享、學(xué)習(xí)反思等方式開展。

綜上，在實施初中數(shù)學(xué)“綜合與實踐”活動時，要優(yōu)化教學(xué)策略，在主題選擇、情境設(shè)置、合作探究及成果共享等方面，都應(yīng)得到應(yīng)有的重視，真正推動數(shù)學(xué)“綜合與實踐”活動在初中階段的有效實施。

［1］歐陽新龍，肖川.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》解讀［M］.武漢：湖北教育出版社，2012.

［2］楊裕前，董林偉.數(shù)學(xué)綜合與實踐活動［M］.南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2008.

［3］王四寶.一節(jié)“實踐與綜合應(yīng)用”課的教學(xué)片斷與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2009（04）.