一類完全三階邊值問(wèn)題的上下解方法

李嫣紅, 李永祥

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

討論完全三階非線性邊值問(wèn)題(BVP)

(1)

解的存在性與唯一性,其中f:I×R3→R連續(xù),I=[0,1].

三階常微分方程邊值問(wèn)題在應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理學(xué)等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用[1-3],可用來(lái)描述電磁波、重力流、三層梁、地球引力吹積的漲潮以及帶有固定或變化橫截面的彎曲橫梁的撓度等實(shí)際問(wèn)題.近年來(lái),人們通過(guò)相關(guān)問(wèn)題的研究,得到了多種非線性分析的工具和方法,如打靶法[3]、拓?fù)涠确椒╗4]、上下解方法[5]及單調(diào)迭代技巧[6]等.特別地,其解的存在性與唯一性受到了許多學(xué)者的關(guān)注[6-14].

文獻(xiàn)[9-11]分別運(yùn)用Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理、不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論和Leray-Schauder度理論,獲得了(1)式非線性項(xiàng)不含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的簡(jiǎn)單三階邊值問(wèn)題解的存在性結(jié)果;文獻(xiàn)[13]運(yùn)用錐拉伸與錐壓縮型的Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理,獲得了(1)式非線性項(xiàng)含一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)問(wèn)題解的存在性結(jié)果;對(duì)非線性項(xiàng)同時(shí)含一二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的一般情形,文獻(xiàn)[6,14]分別運(yùn)用單調(diào)迭代方法和Leray-Schauder非線性抉擇討論了解的存在性.但未見(jiàn)對(duì)更一般的三階BVP(1)解的唯一性的研究.

鑒于上述文獻(xiàn)中所提到的方法都不能處理二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)問(wèn)題.受文獻(xiàn)[15]的啟發(fā),給出解的二階導(dǎo)數(shù)的有界估計(jì),并對(duì)BVP(1)解的存在性與唯一性做討論.本文在提出一個(gè)恰當(dāng)?shù)腘agumo條件來(lái)限制f關(guān)于z增長(zhǎng)的情形下,運(yùn)用一個(gè)特殊的截?cái)嗉记?、Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理及上下解方法,獲得BVP(1)解的存在性,并在解存在的基礎(chǔ)上,借助微分中值定理,獲得了BVP(1)解的唯一性.

為了敘述方便,需引入以下條件.

(H1) 存在[0,+∞)上的正值連續(xù)函數(shù)h(ρ)滿足

(2)

|f(t,x,y,z)|≤h(|z|),t∈I,α(t)≤x≤β(t),
α′(t)≤y≤β′(t),z∈R;

(3)

(H2) 當(dāng)α(t)≤x≤β(t),(t,y,z)∈I×R2時(shí),

f(t,α(t),y,z)≤f(t,x,y,z)≤f(t,β(t),y,z),

?t∈I;

(H3) 對(duì)?(t,x,y,z)∈I×R3,有

fx(t,x,y,z)+fy(t,x,y,z)<0.

(4)

本文的主要結(jié)果如下.

定理1.1設(shè)f:I×R3→R連續(xù).BVP(1)存在下解α(t)及上解β(t),滿足α′(t)≤β′(t).若f滿足條件(H1)和(H2),則BVP(1)至少存在一個(gè)解u(t)∈C3(I),滿足

α(t)≤u(t)≤β(t),

α′(t)≤u′(t)≤β′(t).

定理1.2設(shè)f:I×R3→R連續(xù).α(t)、β(t)分別是BVP(1)的下解和上解.若f在I×R3上關(guān)于變量t、x、y、z連續(xù)可微,且滿足條件(H1)～(H3),則BVP(1)有唯一解u(t)∈C3(I),滿足

α(t)≤u(t)≤β(t),

α′(t)≤u′(t)≤β′(t).

1 準(zhǔn)備工作

定義1設(shè)α(t)∈C3(I),若α(t)滿足

(5)

則稱α(t)為BVP(1)的下解.若(5)式均取反向,則稱α(t)為上解.

對(duì)?h∈C(I),BVP(1)相應(yīng)的線性邊值問(wèn)題(LBVP)

(6)

存在唯一解u∈C3(I),即

(7)

其中

(8)

為相應(yīng)的Green函數(shù),則解算子S:C(I)→C3(I)為線性有界算子.由嵌入C3(I)→C2(I)的緊性,則S:C(I)→C2(I)是線性全連續(xù)算子.

為完成定理1.1的證明,需要下列解集的‖·‖C估計(jì).

證明對(duì)?t∈I,有

因此

引理1.2設(shè)f:I×R3→R連續(xù).若存在常數(shù)a,b,c,d≥0,滿足a+b+c<1及d>0,使得f滿足條件:

1) |f(t,x,y,z)|≤a|x|+b|y|+c|z|+d,t∈I,x,y,z∈R;

2) |f(t,x2,y2,z2)-f(t,x1,y1,z1)|≤a|x2-x1|+b|y2-y1|+c|z2-z1|,t∈I,x2,x1,y2,y1,z2,z1∈R,

則BVP(1)存在唯一解.

證明存在性 設(shè)f:I×R3→R連續(xù).對(duì)?u∈C2(I),令

F(u(t))=f(t,u(t),u′(t),u″(t)),t∈I,

(9)

則F:C2(I)→C(I)連續(xù),把有界集映為有界集.定義映射A:C2(I)→C2(I),

A=S°F.

由S:C(I)→C2(I)的全連續(xù)性,A:C2(I)→C2(I)為全連續(xù)映射.按S的定義,BVP(1)的解等價(jià)于A的不動(dòng)點(diǎn).對(duì)A應(yīng)用Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理.考慮方程簇

u=λAu, 0<λ<1.

(10)

下證方程(10)的解集在C2(I)中有界[16].

設(shè)u∈C3(I)為某個(gè)λ∈(0,1)相應(yīng)的方程(10)的解,則u=λAu=S(λF(u)).按S的定義,u為h=λ(F(u))相應(yīng)的LBVP(6)的解,因此u∈C3(I)滿足

(11)

由條件1),有

|u?(t)|≤λ|f(t,u(t),u′(t),u″(t))|≤
a|u(t)|+b|u′(t)|+c|u″(t)|+d,

方程兩邊取‖·‖C,由引理1.1,有

因?yàn)?/p>

唯一性 設(shè)u1,u2∈C3(I)為BVP(1)的解.令u=u2-u1,則由方程(1),有

因u∈C3(I)為h(t)相應(yīng)的LBVP(6)的解,由條件2)及引理1.1有

則u≡0,即u1=u2,因此,BVP(1)有唯一解.

2 主要結(jié)果的證明

定理1.1的證明由條件(H1),?M>0,使得

(12)

取常數(shù)N=M+‖β‖C2+‖α‖C2+1,令

(13)

(14)

(15)

作f(t,x,y,z)的截?cái)嗪瘮?shù)

(16)

有

|f*(t,x,y,z)|≤

‖α‖C+‖β‖C,|y|≤

則f*:I×R3→R連續(xù)有界.因此,由引理1.2,修改了的邊值問(wèn)題

(17)

有解u0(t)∈C3(I),下證u0(t)為BVP(1)的解.

1) 若t0∈(0,1),則u″(t0)=0,u?(t0)≤0,即

u?0(t0)≤β?(t0).

(18)

根據(jù)截?cái)嗪瘮?shù)的定義,條件(H2)及(18)式有

f(t0,η1(t0,u0(t0)),β′(t0),[β″(t0)]N)-

f(t0,β(t0),β′(t0),β″(t0))-

f(t0,β(t0),β′(t0),β″(t0))≤-β?(t0),

即u?0(t0)>β?(t0),與(18)式后一不等式矛盾!故t0?(0,1).

2) 若t0=0,則

(19)

3) 若t0=1,則u″(1)=u″(1-)≥0,即

(20)

又

由P的定義及中值定理,則存在t0∈(0,1),使得

下證情形1),其他情形類似可證.當(dāng)1)成立時(shí),根據(jù)上述證明及條件(H1),有

(21)

即

與(12)式矛盾! 故

綜上所得,f*=f,即u0(t)為BVP(1)的解.

定理1.2的證明由定理1.1,BVP(1)至少存在一解,下證唯一性.

設(shè)u1、u2∈C3(I)都為BVP(1)的解,記u(t)=u1(t)-u2(t).由微分中值定理,u(t)∈C3(I)為方程

(22)

u″(t*)=0,u?(t*)≤0,

(23)

(24)

由a(t*)≥0,(24)及(4)式,有

-u?(t*)=a(t*)u(t*)+b(t*)u′(t*)+
c(t*)u″(t*)=

a(t*)u(t*)+Kb(t*)≤

a(t*)|u(t*)|+Kb(t*)≤

K(a(t*)+b(t*))<0,

由

即u≡0,因此BVP(1)有唯一解.

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