生化反應(yīng)中一類p+q次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的閉軌不存在性

孫志陽(yáng), 馮世林, 何志蓉

(四川大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610064)

1 引言及預(yù)備知識(shí)

以下是一類描述p+q分子反應(yīng)的生化反應(yīng)模型

它可被描述為以下微分方程[1]:

(1)

其中,x,y≥0,參數(shù)a≥0,b>0,p、q為整數(shù)且p,q≥1.

當(dāng)a=0時(shí),文獻(xiàn)[2-4]分別對(duì)p=1,q=2及p=1,q≥3的情況討論了極限環(huán)的存在性、唯一性及不存在性;文獻(xiàn)[5]則研究了p≥1,q=2時(shí)Hopf分岔產(chǎn)生閉軌及p≥2,q=2時(shí)閉軌的不存在性;文獻(xiàn)[6]討論了p≥1,q≥2時(shí)閉軌的存在性及全局結(jié)構(gòu),及p≥2,q≥2時(shí)閉軌的不存在性.

類似文獻(xiàn)[7]里對(duì)Brusselator模型的研究,a≠0也是很重要的.當(dāng)a≥0,b>0時(shí),文獻(xiàn)[8]對(duì)p=1,q=2時(shí)的分支做了討論,得出閉軌的存在及不存在的條件;文獻(xiàn)[9-10]考慮了更一般的模型:

研究了其穩(wěn)定性及極限環(huán)的存在性(其中V(x,y)對(duì)非負(fù)的x,y是有界實(shí)值函數(shù));文獻(xiàn)[1]則對(duì)系統(tǒng)(1)(其中xpyq顯然無(wú)界)中一般的p、q討論了平衡點(diǎn)的性質(zhì)、鞍結(jié)分岔及Hopf分岔產(chǎn)生極限環(huán);文獻(xiàn)[11-12]對(duì)一般的p、q分別分析了Bogdanov-Takens[13]分岔及無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)情況.

本文討論了系統(tǒng)(1)關(guān)于a≥0,b>0的情形,對(duì)一般的p、q進(jìn)行了分析,討論了閉軌不存在的充分條件.

2 閉軌的不存在性

為了方便討論,定義如下3個(gè)集合.

定義1Κ={(a,b)|a≥0,b>0,a≥(q-1)b},

Μ={(a,b)|a≥0,b>0,a<(q-1)b},

Λ={(a,b)|a≥0,b>0,a<(q-1)b，

其中

H=(p-1)p+q-1pp+q(p+q-1)-(p+q-1)×

(p+2q-1)p+2q-1.

定理1(i) 對(duì)任意的正整數(shù)p=1,q≥3,若(a,b)∈Κ,則系統(tǒng)(1)無(wú)閉軌;若(a,b)∈Μ,則系統(tǒng)(1)在區(qū)域

上無(wú)閉軌.

(ii) 對(duì)任意的正整數(shù)p,q≥2,若(a,b)∈Κ或(a,b)∈Λ,則系統(tǒng)(1)無(wú)閉軌.

證明用Dulac判據(jù)[14-15]來(lái)考慮閉軌不存在性.選擇Dulac函數(shù)B(x,y)=y-q,則

-pxp-1+((q-1)b-a)y-q.

(2)

當(dāng)p=1時(shí),(2)式化為

div(PB,QB)=((q-1)b-a)y-q-1.

首先,若(q-1)b-a≤0,因?yàn)閥≥0,所以div(PB,QB)<0,由Dulac判據(jù),當(dāng)(a,b)∈Κ={(a,b)|a≥0,b>0,a≥(q-1)b}時(shí),系統(tǒng)(1)在{(x,y)|x≥0,y≥0}內(nèi)無(wú)閉軌.其次,若(q-1)b-a>0,考慮曲線Φ:((q-1)b-a)y-q-1=0,即y=((q-1)b-a)1/q,在其上div(PB,QB)=0.此時(shí),由Dulac判據(jù),系統(tǒng)(1)在區(qū)域{(x,y)|x≥0,y≥0,y<((q-1)b-a)1/q}∪{(x,y)|x≥0,y≥0,y>((q-1)b-a)1/q}內(nèi)無(wú)閉軌.(i)得證.

當(dāng)p≥2時(shí),同上知(a,b)∈Κ={(a,b)|a≥0,b>0,a≥(q-1)b}時(shí),系統(tǒng)(1)在{(x,y)|x≥0,y≥0}內(nèi)無(wú)閉軌.下面考慮(q-1)b-a>0.考慮曲線Γ:-pxp-1+((q-1)b-a)y-q=0,即

在其上div(PB,QB)=0.如果系統(tǒng)(1)有一條閉軌γ,由Dulac判據(jù),我們斷言γ∩Γ={A,B}≠?.設(shè)A、B是2個(gè)交點(diǎn),則向量場(chǎng)(P,Q)在A和B分別指向Γ的兩邊.由向量場(chǎng)的連續(xù)性,在曲線Γ的弧線段AB上存在一點(diǎn)S,使得曲線在S的切向量與S處的向量場(chǎng)一致,即

上式可寫為

(3)

簡(jiǎn)化上式得

(4)

其中

為了簡(jiǎn)化方程,令z=y-1/(p-1),則方程(4)可寫為D(z)=0,其中

D(z)=Azp+2q-1+Bzq+C.

(5)

當(dāng)p是偶數(shù)時(shí),有D(0)<0,D(+)<0;當(dāng)p是奇數(shù)時(shí),有D(-)<0,D(+)<0.計(jì)算D(z)的導(dǎo)數(shù),得D′(z)=k1zp+2q-2+k2zq-1,其中

k1=-qp-1/(p-1)(p+2q-1)bcp/(p-1)<0,

k2=q(pqb+(p-1)(pa+c))>0.

顯然,D′(z)有唯一的正實(shí)零解

(6)

計(jì)算D(z)在z0的二階導(dǎo)得

這表示了z0是D(z)的極大值點(diǎn).因此,若D(z0)<0,則(3)式無(wú)解.于是尋找在什么參數(shù)條件下,會(huì)有D(z0)<0.將(6)式代入(5)式得

(7)

化簡(jiǎn)(7)式得

D(z0)=T{(((2p-1)(q-1)+p)b+

其中

因此,當(dāng)(a,b)∈Λ(Λ見(jiàn)定義1)時(shí),有D(z0)<0.實(shí)際上,Λ是非空的,因?yàn)槿=0.1,a=0.01,p=2,q=2時(shí)滿足不等式D(z0)<0.這暗示(1)式對(duì)任意的(a,b)∈Λ無(wú)閉軌.(ii)得證.定理證畢.

特別地,取a=0,則D(z0)<0可化為

這即是文獻(xiàn)[6]中定理2結(jié)論之一.

[1] HOU X, YAN R, ZHANG W. Bifurcations of a polynomial differential system of degreen in biochemical reactions[J]. Comput Math Appl,2002,43(10/11):1407-1423.

[2] 周建瑩,張錦炎,曾憲武. 生化反應(yīng)中一類非線性方程的定性分析[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1982,5(3):234-240.

[3] ESCHER C. Models of chemical reaction systems with exactly evaluable limit cycle oscillations[J]. Zeitschrift Für Physik B Condensed Matter and Quanta,1979,35(4):351-361.

[4] 李嘉旭,范弘毅,姜天來(lái),等. 一類多分子反應(yīng)微分方程模型的定性分析[J]. 生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1990,5(2):162-170.

[5] 張偉年. 一類多分子反應(yīng)微分方程模型的閉軌的存在性[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),1993,14(6):559-566.

[6] KWEK K H, ZHANG W. Periodic solutions and dynamics of a multimolecular reaction system[J]. Math Comput Modelling,2002,36(1/2):189-201.

[7] PONZO P J, WAX N. Note on a model of a biochemical reaction[J]. J Math Analysis Appl,1978,66(2):354-357.

[8] 蔡燧林,唐衡生. 一類生化反應(yīng)方程的分枝[J]. 高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)(中文版),1991,A6(1):145-158.

[9] ERLE D, MAYER K H, PLESSER T. The existence of stable limit cycles for enzyme catalyzed reactions with positive feedback[J]. Math Biosciences,1979,44(3):191-208.

[10] ERLE D. Nonuniqueness of stable limit cycles in a class of enzyme catalyzed reactions[J]. J Math Analysis & Appl,1981,82(2):386-391.

[11] TANG Y, ZHANG W. Bogdanov-Takens bifurcation of a polynomial differential system in biochemical reaction[J]. Comput Math Appl,2004,48(5/6):869-883.

[12] TANG Y, ZHANG W. Generalized normal sectors and orbits in exceptional directions[J]. Nonlinearity,2004,17(4):1407-1426.

[13] BOGDANOV R I. Versal deformations of a singular point of a vector field on the plane in the case of zero eigenvalues[J]. Functional Analysis & Its Applications,1975,9(2):144-145.

[14] 張錦炎. 常微分方程幾何理論與分支問(wèn)題[M]. 北京:北京大學(xué)出版社,1987.

[15] 張偉年,杜正東,徐冰. 常微分方程[M]. 北京:高等教育出版社,2006.