一類耦合的Euler-Bernoulli梁的漸近穩(wěn)定性

趙轉(zhuǎn)萍

(山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部， 山西 太原 030031)

0 引 言

梁方程是一種雙曲方程， 是偏微分方程的重要研究內(nèi)容之一. 在控制領(lǐng)域， 各式各樣的動(dòng)態(tài)反饋產(chǎn)生了大量的含有梁方程的耦合系統(tǒng)[1-2]. 因此， 耦合的梁方程的研究逐漸得到了人們的重視[3]. 與上述文獻(xiàn)不同， 本文考慮Euler-Bernoulli梁和抽象系統(tǒng)組成的耦合系統(tǒng).

首先在有界區(qū)間上考慮如下Euler-Bernoulli梁的控制問題：梁的一端是簡支的， 另一端有一個(gè)動(dòng)態(tài)反饋

(1)

式中：G是 Hilbert 空間上的自伴的嚴(yán)格正算子；z*∈Z是任意給定的非零元素； (w0,w1,z0)是初始狀態(tài)；w表示振動(dòng)的梁的位移；z表示抽象的動(dòng)態(tài)控制變量. 容易看出， 不同的空間Z和不同的算子G將產(chǎn)生不同的耦合系統(tǒng). 當(dāng)G是n階正定矩陣時(shí)， 系統(tǒng)(1)變成聲學(xué)結(jié)構(gòu)模型[4-6]， 當(dāng)G是微分算子G=-?xx時(shí)， 系統(tǒng)(1)成為一個(gè)梁-熱耦合系統(tǒng)[7]. 系統(tǒng)(1)主要考慮線性動(dòng)態(tài)反饋， 因此與文獻(xiàn)[8]考慮的問題不同.

在狀態(tài)空間(2)中考慮系統(tǒng)(1)，

(2)

其中，H=L2(0,1)， 且

f′(0)=0}.

(3)

系統(tǒng)(1)的能量函數(shù)為

(4)

對(duì)能量函數(shù)求導(dǎo)可得

(5)

由于等式(5)右端沒有w的任何信息， 因此用傳統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)分析方法來證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性將會(huì)變得非常困難. 受文獻(xiàn)[9]的啟發(fā)， 本文將從控制的角度來考慮系統(tǒng)解的適定性和漸近穩(wěn)定性， 這為偏微分方程的穩(wěn)定性分析提供了一個(gè)新思路.

1 適定性和漸近穩(wěn)定性

近年來， 有很多文獻(xiàn)在研究耦合系統(tǒng)解的適定性和漸近穩(wěn)定性， 例如[10]和 [11]， 然而這些研究大多是基于偏微分方程的方法. 與此不同， 本文將從控制的角度來考慮系統(tǒng)解的適定性和漸近穩(wěn)定性. 首先， 將耦合系統(tǒng)(1)分解成兩部分：控制系統(tǒng)和動(dòng)態(tài)反饋系統(tǒng). 事實(shí)上， 耦合系統(tǒng)(1) 恰好是控制系統(tǒng)

(6)

動(dòng)態(tài)反饋下的閉環(huán)系統(tǒng)

u(t)=〈z(t),z*〉Z,

(7)

其中，z滿足

(8)

定義算子A∶D(A)?L2(0,1)→L2(0,1)為

(9)

其中，A是H=L2(0,1)上的嚴(yán)格正定的自伴算子[12]， 并且有如下Gelfand三嵌入

D(A1/2)→H→D(A1/2)′,

(10)

〈A1/2x,A1/2y〉H,?x,y∈D(A1/2)，

(11)

所以, 系統(tǒng)(6)可以寫成抽象系統(tǒng)

(12)

Bu=uδ(x-1), ?u∈U=C,

(13)

這里δ(·)為Dirac分布. 如果定義B的共軛算子B*∈L(D(A1/2),U)為

〈B*z,u〉U=〈z,Bu〉D(A1/2),D(A1/2)′,

?z∈D(A1/2),u∈U，

(14)

則直接計(jì)算可得

B*f=f(1), ?f∈D(A1/2).

(15)

令F∈L(Z,U)滿足

Fz=-〈z,z*〉Z, ?z∈Z，

(16)

則對(duì)任意的u∈U,F*∈L(U,Z)滿足F*u=-uz*. 由于z*≠0， 因此

KerF*={0}.

(17)

借助于上面定義的算子， 方程(7)和(8)可以寫成

u(t)=-Fz(t)

(18)

和

(19)

所以， 將系統(tǒng)(1)寫成了如下抽象系統(tǒng)

(20)

其中，C=BF∈L(D(G1/2),D(A1/2)′)，C*=F*B*∈L(D(A1/2),D(G1/2)′) 滿足

anomalies over the western Pacific Ocean warm pool and its possible mechanism

〈C*g,z〉Z=〈B*g,Fz〉U=〈g,Cz〉D(A1/2),D(A1/2)′,

?g∈D(A1/2),z∈Z.

(21)

在狀態(tài)空間H中考慮抽象系統(tǒng)(20). 如果定義A∶D(A)(?H)→H為

(22)

則系統(tǒng)(20)進(jìn)一步可寫成H中的發(fā)展方程

(23)

定理1 設(shè)G是Hilbert空間Z上自伴的、 嚴(yán)格正的算子， 0≠z*∈Z. 如果G-1在Z是緊的， 則對(duì)任意的(w(·,t),wt(·,0),z(0))∈H， 系統(tǒng)(1)在H上存在唯一的C0-半群解. 此外, 該解是漸近穩(wěn)定的

‖w(·,t),wt(·,t),z(t)‖H→0, 當(dāng)t→∞.

(24)

證明簡單計(jì)算可知， 對(duì)任意的(f,g,z)∈D(A)， 有

Re〈A(f,g,z),(f,g,z)〉H=

〈Cz,g〉D(A1/2)′,D(A1/2)-〈Gz,z〉Z-〈C*g,z〉Z]=

(25)

這說明算子A在H中是耗散的. 對(duì)任意的(φ,φ,ψ)∈H， 解方程A(f,g,z)=(φ,φ,ψ)∈H可得

(26)

φ,-G-1(F*B*φ+ψ)).

(27)

因此,A-1存在且在H上有界. 由 Lumer-Phillips 定理[13]，A生成H上的C0-壓縮半群.

為了證明系統(tǒng)(1)的漸近穩(wěn)定性， 首先考慮

Ker(B*)∩Ker(λ-A)={0}, ?λ>0,

(28)

式(28)等價(jià)于：對(duì)任意的λ>0， 特征方程(29)只有零解

(29)

直接計(jì)算可得： 式(29)只有零解是顯然的， 從而式(28)成立.

另一方面， 由于G-1在Z中緊， 所以， 式(27)意味著A-1在H中緊. 因此， 由文獻(xiàn) [14]可知， 只需證明算子A在虛軸上沒有譜點(diǎn)即可. 事實(shí)上， 如果設(shè)A(f,g,z)=iω(f,g,z), (f,g,z)∈D(A)且0≠ω∈R. 則

(30)

方程(30)等價(jià)于

(31)

方程(31)的第一個(gè)方程兩邊關(guān)于f取內(nèi)積， 同時(shí)第二個(gè)方程兩邊關(guān)于iωz取內(nèi)積可得

(32)

方程(32)的第一個(gè)方程乘以-ω2， 再加第二個(gè)方程可得

(33)

2 應(yīng)用舉例

由于系統(tǒng)(1)由算子G和Hilbert空間Z決定， 不同的G和Z意味著不同的耦合系統(tǒng). 下面給出具體的例子來說明這一問題.

例1 如果令G=1,Z=R且z*=1， 則抽象系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

(34)

簡單計(jì)算可知， 上面定義的G和Z滿足定理1的所有條件， 因此系統(tǒng)(34)是漸近穩(wěn)定的. 特別地， 系統(tǒng)(34)對(duì)應(yīng)的半群解為eA1t(w(·,0),wt(·,0),z(0))， 其中系統(tǒng)算子A1定義為

(35)

系統(tǒng)(34)的邊界條件稱為聲學(xué)邊界條件. 類似問題可查閱文獻(xiàn)[15].

例2 令Z=L2(0,1)，x∈Z， 定義算子G∶D(G)?Z→Z為Gf=-f″， 其中f∈D(G)={f∈H2(0,1)|f(0)=f′(1)=0}， 則系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

(36)

與例1類似， 簡單計(jì)算可知， 上面定義的G是Hilbert空間Z上自伴的、 嚴(yán)格正的算子， 滿足定理1的所有條件， 所以系統(tǒng)(36)是漸進(jìn)穩(wěn)定的. 此外， 系統(tǒng)(36)對(duì)應(yīng)的半群解為eA2t(w(·,0),wt(·,0),z(0))， 其中系統(tǒng)算子A2定義為

(37)

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