基于不確定理論的能量收集可靠性建模及規(guī)劃

王哲，李陶深，葉進(jìn)，葛志輝，吳敏

（1. 廣西大學(xué)電氣工程學(xué)院，廣西 南寧 530004；2. 廣西大學(xué)計(jì)算機(jī)與電子信息學(xué)院，廣西 南寧 530004；3. 廣西電網(wǎng)有限責(zé)任公司，廣西 南寧 530023）

1 引言

能量收集網(wǎng)絡(luò)是一種新型的計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)形式，它融合了新能源技術(shù)的優(yōu)勢，通過搜尋各類環(huán)境能源，將其轉(zhuǎn)化成可用的電能，從而作為主要或輔助的電源方式供給電子設(shè)備進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)通信，完成某些特殊任務(wù)[1,2]，可以為網(wǎng)絡(luò)設(shè)備的節(jié)能減排、植入型醫(yī)療設(shè)備、穿戴式設(shè)備、環(huán)境監(jiān)測等提供新型的網(wǎng)絡(luò)解決方案。

目前，該領(lǐng)域的相關(guān)研究成果主要集中在能量收集網(wǎng)絡(luò)信道容量、離線/在線能量管理策略、能量與信息聯(lián)合傳輸這3個(gè)方面。在基于信息論的能量收集網(wǎng)絡(luò)研究方面，Ozel等[3]分別對配備無限容量電池、有限容量電池[4]以及無電池[5]的情況做了分析研究并得出相應(yīng)結(jié)論及實(shí)現(xiàn)方法。離線能量管理策略的制訂分為單用戶通道和多用戶通道。文獻(xiàn)[6]提出一種多中繼選擇方案，根據(jù)當(dāng)前時(shí)隙中繼節(jié)點(diǎn)的能量收集狀況，使用馬爾可夫鏈（MC, Markov chain）模擬節(jié)點(diǎn)電池充放電過程，繼而解決中繼節(jié)點(diǎn)操作問題。文獻(xiàn)[7]針對認(rèn)知能量收集網(wǎng)絡(luò)，提出一種系統(tǒng)吞吐量最大化的功率分配算法，在滿足次用戶節(jié)點(diǎn)能量因果性約束和主用戶干擾限制的前提下，將節(jié)點(diǎn)的功率和能量協(xié)作聯(lián)合優(yōu)化問題解耦為分離的功率分配問題和逐個(gè)時(shí)隙的協(xié)作能量問題求解。在線能量管理策略主要使用馬爾可夫決策過程（MDP, Markov decision process），根據(jù)是否能夠獲取完美的電量數(shù)據(jù)[8]、單/多用戶[9]、電池?fù)p耗特性[10]、不同的感知/傳輸特性[11]等實(shí)際情景，分別建立相應(yīng)的模型并求取最優(yōu)解。

分析現(xiàn)有的研究成果可以看出，與傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)相比，能量收集網(wǎng)絡(luò)的難點(diǎn)在于有限能量的合理規(guī)劃和使用，如何對能量收集網(wǎng)絡(luò)的可靠性做出評估并實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的可靠運(yùn)行成為新的挑戰(zhàn)。目前，使用較為廣泛的可靠性模擬方法有可靠性框圖（RBD,reliability block diagram）、故障樹（FT, fault tree）、馬爾可夫鏈及形式化方法。文獻(xiàn)[12]研究了網(wǎng)絡(luò)服務(wù)系統(tǒng)中使用 RBD預(yù)測系統(tǒng)性能減弱退化效應(yīng)所需的可靠性等級，包括不可靠數(shù)據(jù)傳輸、服務(wù)不可用、應(yīng)用組件依賴和數(shù)據(jù)吞吐量異常等。文獻(xiàn)[13]使用 RBD研究了通信協(xié)議的可靠性，提出節(jié)點(diǎn)和系統(tǒng)之間能夠高效可靠通信的一系列規(guī)則；提出使用 RBD評價(jià)新協(xié)議的方法，例如，如能量高效聚類可靠性協(xié)議（REECP）和WSN的路由協(xié)議。文獻(xiàn)[14]指出在通信控制系統(tǒng)（CCS, communication control system）中，可用基于FT的模糊邏輯表征運(yùn)行狀態(tài)隨時(shí)間變化所引入的隨機(jī)和不確定故障，從而分析并優(yōu)化系統(tǒng)可靠性。文獻(xiàn)[15]基于固有的雙向推理技術(shù)，利用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)，簡化大型智能電站需求分析FT模型，識別模型中的薄弱環(huán)節(jié)，繼而提高底層通信網(wǎng)絡(luò)的可靠性。文獻(xiàn)[16]提出一種開源的概率模型檢測器——PRISM，為系統(tǒng)構(gòu)建并分析多類型概率模型提供支持。文獻(xiàn)[17]提出了完整的基于Petri網(wǎng)的可靠性分析的網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)。文獻(xiàn)[18]提出了FT門的高階邏輯形式化，使用完整的高階邏輯定理證明作為核心進(jìn)行FT分析。然而，上述工作尚未應(yīng)用于能量收集網(wǎng)絡(luò)的形式化可靠性分析中，且對能量收集網(wǎng)絡(luò)中元件不確定性、網(wǎng)絡(luò)動態(tài)特性、能量約束性的模擬尚未實(shí)現(xiàn)。

由于能量收集網(wǎng)絡(luò)的可靠性應(yīng)包含能量收集可靠性、數(shù)據(jù)感知可靠性和數(shù)據(jù)傳輸可靠性，因此，上述工作并不能直接應(yīng)用于能量收集網(wǎng)絡(luò)。文獻(xiàn)[19]基于MDP，考慮能量收集傳感器網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)感知與傳輸聯(lián)合優(yōu)化特性，建立可靠性模型，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)低復(fù)雜度的網(wǎng)絡(luò)控制策略。文獻(xiàn)[20]以電池耗盡概率和分組丟失率建立節(jié)點(diǎn)能量收集可靠性模型，提出在有限容量電池和有限容量數(shù)據(jù)堆棧情景下，實(shí)現(xiàn)可靠程度最大化的能量管理策略。文獻(xiàn)[21]針對數(shù)據(jù)傳輸可靠性，設(shè)定可充電電池容量，假設(shè)在時(shí)隙開始時(shí)刻有數(shù)據(jù)分組到達(dá)且在下一時(shí)隙內(nèi)沒有傳輸即分組丟失的條件下，提出一種理論學(xué)習(xí)方法以最大化期望傳輸?shù)目倲?shù)據(jù)量。同時(shí)，作為能量收集網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行的首要步驟，能量收集對能量收集過程的可靠性及收集量的評估直接影響了系統(tǒng)運(yùn)行策略的制定和系統(tǒng)運(yùn)行可靠性。文獻(xiàn)[22]為能量收集過程建立了二階馬爾可夫鏈模型，并使用線性規(guī)劃算法求解，但模型建立過程含有能量獲取概率、能量消耗概率、數(shù)據(jù)產(chǎn)生概率和數(shù)據(jù)發(fā)送概率這4個(gè)參數(shù)，而文中假設(shè)這4個(gè)參數(shù)服從伯努利分布，并不合理。文獻(xiàn)[23]使用排隊(duì)論模型G/G/1/N和G/G/1/∞分別模擬有限容量電池和無限容量電池下的能量收集過程，并分別計(jì)算了節(jié)點(diǎn)的耗盡概率，但模型中的G/G部分需要已知概率分布，文中假設(shè)其以概率{0.3,0.3,0.2,0.2}取值于{1,2,3,4}，過于主觀。同時(shí)，基于當(dāng)前電池電量狀態(tài)（SOC, state of charge）[4]的能量收集評估，由于電路元件的不確定性使其誤差大于30%[24]。

與此同時(shí)，能量收集網(wǎng)絡(luò)由于能量有限，難以采樣足夠的原始數(shù)據(jù)用以獲得系統(tǒng)概率分布函數(shù)；而環(huán)境能量的諸多不確定性，也使先驗(yàn)知識的指導(dǎo)意義不大。因此，本文考慮能量收集環(huán)節(jié)能量是否到達(dá)以及能量收集量的多少等不確定情景，基于不確定理論，對可能發(fā)生的情景的置信程度給出評價(jià)，對網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)能量收集的可靠性進(jìn)行評估分析，提出基于模糊理論的節(jié)點(diǎn)可靠性建模方法，并分別建立節(jié)點(diǎn)無電池和配備無限容量電池情況下的可靠性模型；在此基礎(chǔ)上，提出能量收集可靠性多層不確定規(guī)劃模型，對模型求解，提出 EAA算法，并從理論上證明了算法競爭比的上界。最后，通過實(shí)際風(fēng)功率數(shù)據(jù)的對比實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證本文所提方法在可靠性分析及系統(tǒng)優(yōu)化中的可行性和有效性。

2 基于不確定理論的能量收集可靠性模型

環(huán)境能量的多樣性與不確定性使收集功率難以預(yù)測，繼而難以評估當(dāng)前能量收集狀態(tài)。本節(jié)使用模糊理論建立節(jié)點(diǎn)能量收集可靠性的數(shù)學(xué)模型，分別分析節(jié)點(diǎn)不配備電池和配備無限容量電池情況下的可靠性。電池均為可充電電池。

2.1 節(jié)點(diǎn)能量收集可靠性

考慮能量收集網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)配備能量收集裝置，即通過收集周圍環(huán)境能量（如風(fēng)能、太陽能、電磁輻射等），將其轉(zhuǎn)化為電能，供給節(jié)點(diǎn)完成數(shù)據(jù)傳輸。因此，能量收集網(wǎng)絡(luò)可靠性的分析主要針對節(jié)點(diǎn)能量收集可靠性來展開，能量收集過程的不確定性和波動性均可能導(dǎo)致節(jié)點(diǎn)死亡。

定義 1 設(shè)定系統(tǒng)時(shí)間是連續(xù)分段且時(shí)段為單位長度，則節(jié)點(diǎn)在單位時(shí)段[t,t+1]內(nèi)的能量收集可靠性Re(t,t+1)定義為節(jié)點(diǎn)在該時(shí)段內(nèi)能夠正常運(yùn)行的程度，即

其中，U為論域，A為系統(tǒng)的特征函數(shù)，A~為特征函數(shù)的模糊集且為U的模糊子集。

2.2 無電池節(jié)點(diǎn)能量收集可靠性

考慮節(jié)點(diǎn)不配備電池的情況，即節(jié)點(diǎn)在當(dāng)前時(shí)刻的運(yùn)行狀態(tài)依賴于當(dāng)前能量收集狀態(tài)，做如下假設(shè)。

假設(shè) 1 能量相對于數(shù)據(jù)進(jìn)行了單位化處理，即一個(gè)單位的能量可以發(fā)送一個(gè)單位的數(shù)據(jù)。

假設(shè) 2 不考慮節(jié)點(diǎn)內(nèi)部的時(shí)間成本，即當(dāng)前收集的能量可以直接用于當(dāng)前的數(shù)據(jù)發(fā)送。

假設(shè) 3 系統(tǒng)收集的能量全部用于數(shù)據(jù)發(fā)送，不考慮節(jié)點(diǎn)中如傳感器采集及電路自身運(yùn)算等能耗；換言之，數(shù)據(jù)的發(fā)送速率即節(jié)點(diǎn)的能量消耗速率。

在單一時(shí)段內(nèi)，構(gòu)建能量收集網(wǎng)絡(luò)模糊排隊(duì)論模型F/F/1，其中，能量消耗速率與能量收集速率分別用模糊集D~={(x,uD~(x))|x∈X}、C~= {(y,uC~(y))|y∈Y}表示。相應(yīng)的隸屬函數(shù)分別為uD~(x)、uC~(y)。這里，模型F/F/1中的數(shù)據(jù)發(fā)送速率即能量需求速率，也即傳統(tǒng)排隊(duì)論中的顧客到達(dá)速率；相應(yīng)地，能量收集速率即服務(wù)速率。當(dāng)數(shù)據(jù)發(fā)送任務(wù)到達(dá)而能量短缺時(shí)，數(shù)據(jù)分組則進(jìn)入隊(duì)列等待收集能量繼續(xù)發(fā)送。此時(shí)，單位時(shí)段中數(shù)據(jù)分組發(fā)送等待概率即系統(tǒng)能量耗盡概率。

假設(shè)N(t)表示在t時(shí)刻系統(tǒng)中等待發(fā)送的數(shù)據(jù)分組數(shù)量，且令

其中，pij(△t)表示t時(shí)刻等待發(fā)送的數(shù)據(jù)分組數(shù)量為i、t+△t時(shí)刻等待發(fā)送的數(shù)據(jù)分組數(shù)量為j的概率。于是，{N(t),t≥0}為{0,1,2,…}上的生滅過程。

定理 1 定義j=1,2,…。當(dāng)ρ＜1以可信性1成立時(shí)，有{pj,j≥0}存在，且與數(shù)據(jù)分組隊(duì)列的初始狀態(tài)無關(guān)，其中，

定理1的證明如下。

令則有

于是，此生滅過程的絕對分布pj(t)=P{N(t)=j}，j≥0的?？恕绽士朔匠探M，即滿足如下方程組。

解之得

求極限得

由于

因此，平穩(wěn)分布{pj,j≥0}存在，且與初始條件無關(guān)。證畢。

于是，節(jié)點(diǎn)正常運(yùn)行的概率為

其中，

由于模糊排隊(duì)論模型F/F/1中的能量消耗速率與能量收集速率均為模糊數(shù)，因此節(jié)點(diǎn)正常運(yùn)行概率作為系統(tǒng)特征值，也是一個(gè)模糊數(shù)。根據(jù) Zadeh擴(kuò)展原理，的隸屬函數(shù)為

按照α-截集的定義，可以求出D(α)和C(α)的上下界，分別為[xαL,xαU]和[yαL,yαU]，其中，D(α)和C(α)分別為D~和C~的α-截集。設(shè)能量消耗速率與能量收集速率分別用梯形模糊變量[x1,x2,x3,x4]和[y1,y2,y3,y4]表示，其中，{x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4}≥0，則有

依據(jù)D(α)和C(α)的上下界，可求得的上下界[(p)αL, (p)αU]，分別對α求反函數(shù)，繼而得到的隸屬函數(shù)為

由此即可得到無電池情況下，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)在該時(shí)段內(nèi)能量收集的可靠性。式(6)的物理意義在于：當(dāng)節(jié)點(diǎn)耗盡概率趨于0時(shí)，其左邊界和右邊界即L(z)與R(z)均與量值{y1,y2,y3,y4}無關(guān)，節(jié)點(diǎn)可靠性僅與量值{x1,x2,x3,x4}有關(guān)，即與系統(tǒng)當(dāng)前的能量收集狀態(tài)無關(guān)；節(jié)點(diǎn)正常運(yùn)行的可信性測度Cr{A}只與系統(tǒng)當(dāng)前的數(shù)據(jù)發(fā)送速率有關(guān)。因此，基于節(jié)點(diǎn)可靠性所設(shè)計(jì)的節(jié)點(diǎn)運(yùn)行規(guī)劃，應(yīng)依據(jù)節(jié)點(diǎn)當(dāng)前能量收集狀態(tài)，合理規(guī)劃數(shù)據(jù)發(fā)送速率，從而實(shí)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)的可靠運(yùn)行。

2.3 無限容量電池節(jié)點(diǎn)能量收集可靠性

當(dāng)節(jié)點(diǎn)配備較大容量的可充電電池且電池容量遠(yuǎn)大于節(jié)點(diǎn)能量收集裝置的容量時(shí)，可認(rèn)為節(jié)點(diǎn)配備無限容量電池。此時(shí)節(jié)點(diǎn)的運(yùn)行狀態(tài)依賴于電池中的剩余電量。類似于2.2節(jié)中的假設(shè)，且當(dāng)前收集的能量在完成數(shù)據(jù)發(fā)送任務(wù)后將剩余能量存入電池。

此時(shí)，能量存儲隊(duì)列可模擬為F/F/1/∞隊(duì)列。但應(yīng)注意，不同于2.2節(jié)無電池情況，此時(shí)能量存儲過程為傳統(tǒng)排隊(duì)論中顧客到達(dá)過程，能量存儲隊(duì)列的消耗過程為顧客服務(wù)過程。設(shè)能量存儲隊(duì)列的能量進(jìn)入與離開速率分別為x、y，則剩余電量R(t)作為離散隊(duì)列的長度，可用連續(xù)過程r(t)近似，該連續(xù)過程即單位時(shí)段△t內(nèi)的電量增加量。

其中，β=x?y為漂移系數(shù)，G(t)為均值為0、方差為1的高斯白噪聲。

給定電池的初始電量r(t=0)=r0，則通過求解r(t)的條件概率密度，就可得到模糊系統(tǒng)的特征值。能量存儲隊(duì)列在t時(shí)刻的條件概率密度函數(shù)為

式(8)滿足邊界條件r(t)≥0下的前向擴(kuò)散方程

利用文獻(xiàn)[25]中圖論的方法，式(9)可以轉(zhuǎn)化為

其中，Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)積分。

定義E(r0)為初始電量r0時(shí)的能量耗盡時(shí)長，則有

通過原點(diǎn)吸收壁的擴(kuò)散方程，可以求得E的密度函數(shù)為求解式(13)的偏微分方程，得出E的條件概率密度函數(shù)為

繼而得出E的矩母函數(shù)為

當(dāng)s趨近于0時(shí)，式(14)從r0出發(fā)到達(dá)吸收壁的概率為Pr(0;r0,∞)。因此，節(jié)點(diǎn)正常運(yùn)行的特征函數(shù)為

其中，exp(?2r0β)應(yīng)是不大于1的實(shí)數(shù)，也即當(dāng)β≥0時(shí)，節(jié)點(diǎn)正常運(yùn)行的特征值是非 0的。類似于2.2節(jié)，設(shè)能量存儲隊(duì)列補(bǔ)充與消耗速率分別用梯形模糊變量={(x,uD~(x))|x∈X} =[x1,x2,x3,x4]和={(y,uC~(y))|y∈Y}=[y1,y2,y3,y4]表示，其中，{x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4}≥0，根據(jù)Zadeh擴(kuò)展原理與α-截集的定義，可以求出D(α)和C(α)的上下界，分別為[xαL,xαU]和[yαL,yαU]，即

依據(jù)D(α)和C(α)的上下界，可求得特征函數(shù)的上下界[(f)αL,(f)αU]，分別對α求反函數(shù)，繼而得到的隸屬函數(shù)為

由此可得無限容量電池情況下，能量收集網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)在當(dāng)前時(shí)段內(nèi)的能量收集可靠性。由式(18)可以看出，當(dāng)特征函數(shù)趨于1時(shí)，節(jié)點(diǎn)可靠性與電池的初始電量r0無關(guān)。該結(jié)論也可以通過使用定理1中數(shù)據(jù)隊(duì)列的證明方法得出。

3 基于能量收集可靠性的能量收集網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)規(guī)劃方法

基于第2節(jié)建立的能量收集可靠性模型，本節(jié)建立能量收集網(wǎng)絡(luò)多層不確定規(guī)劃模型，將其轉(zhuǎn)化為等效清晰模型，提出滿足能量收集可靠性前提下的系統(tǒng)規(guī)劃方法。然后，提出基于不確定理論的能量平均分配算法（EAA），并從理論上證明算法競爭比上界。

3.1 競爭比

令P是依賴于請求變量序列σ={σi|i=1,2,3,…}的最優(yōu)化問題。一個(gè)求解P的在線算法A，其請求序列為σ={σi|i=1,2,3,…}，且其服務(wù)于當(dāng)前請求時(shí)對未來請求未知，則其目標(biāo)函數(shù)為PA(σ)。一個(gè)求解P的最優(yōu)離線算法O已知所有請求隊(duì)列，其可實(shí)現(xiàn)最大目標(biāo)函數(shù)PO(σ)。

定義2 令A(yù)是求解最優(yōu)化問題P的任一在線算法。A是cA-競爭的或具有競爭比cA，當(dāng)且僅當(dāng)對于所有輸入序列σ，有，則最優(yōu)競爭比定義為

3.2 系統(tǒng)模型

考慮在源點(diǎn)與目標(biāo)節(jié)點(diǎn)之間的無線通信信道，則t時(shí)刻目標(biāo)的接收信號為

yt=Ptht xt+nt(19)

其中，xt為源點(diǎn)傳輸信號，Pt為源點(diǎn)傳輸功率，ht為衰減系數(shù)，nt為均值為0、方差為1的加性高斯白噪聲信號且時(shí)間獨(dú)立。假設(shè)衰減過程為黑箱模型[26]，即衰減系數(shù)ht在w個(gè)時(shí)段中連續(xù)且恒定。該w個(gè)時(shí)段組成一個(gè)時(shí)間間隔，間隔長度為w。因此，在第n個(gè)時(shí)段中，衰減系數(shù)可記作hn，n=1,2,3,…,N。假設(shè)源點(diǎn)使用環(huán)境能源供電，配備無限容量電池，且在第n個(gè)時(shí)段開始時(shí)電池剩余電量為En。

考慮任意能量收集過程的衰減信道，即時(shí)段n中對未來時(shí)段衰減系數(shù)和能量收集過程未知。假設(shè)在每個(gè)時(shí)段的起始，源點(diǎn)得知該時(shí)段內(nèi)的衰減系數(shù)hn和剩余電量En。源點(diǎn)在時(shí)段n中利用衰減系數(shù)和能量的相關(guān)信息制定傳輸策略，實(shí)現(xiàn)其效益最大化。

本文考慮最大化源點(diǎn)可實(shí)現(xiàn)速率。假設(shè)源點(diǎn)在時(shí)段n中共用掉能量為BEn，同時(shí)由于能量有限性約束，即B≤1。則時(shí)段n中的可實(shí)現(xiàn)速率為

于是，N個(gè)時(shí)段中的累積速率為

由于能量收集過程是模糊的，最優(yōu)化問題的價(jià)值函數(shù)R不能直接最大化，因此，考慮最大化其期望值。假設(shè)gi(x,y)為不確定約束，由于該約束未能定義清晰可行集，因此通常寫成置信水平形式，αi為其置信水平。于是，最優(yōu)化問題R可寫為

因此，尋找最優(yōu)在線算法A*，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)競爭比為

其中，σ=((|h1|2,E1),(|h2|2,E2),…,(|hN|2,EN))為N個(gè)時(shí)段中衰減系數(shù)即能量收集值。則最優(yōu)競爭比為

對于式(22)表述的最優(yōu)化問題，文獻(xiàn)[27]給出了最優(yōu)離線算法，限于篇幅，這里不再介紹該算法。

3.3 等效清晰模型

由于式(22)表述的優(yōu)化問題為多層不確定規(guī)劃形式，無法直接求解，需轉(zhuǎn)化為等效清晰模型。

令ξ1,ξ2,…,ξn為獨(dú)立的不確定變量，具有不確定分布ψ1,ψ2,…,ψn。不失一般性，假設(shè)f為一實(shí)函數(shù)，且隨ξ1,ξ2,…,ξk單調(diào)上升，隨ξk+1,ξk+2,…,ξn單調(diào)下降，則不確定目標(biāo)函數(shù)的期望值形式可轉(zhuǎn)化為

其中，x、y為決策向量。

假設(shè)g為一實(shí)函數(shù)，且隨ξ1,ξ2,…,ξk單調(diào)上升，隨ξk+1,ξk+2,…,ξn單調(diào)下降，則不確定約束函數(shù)的置信水平M{g(x,y,ξ)≤0}≥α可轉(zhuǎn)化為

依據(jù)上述方法，式(22)的優(yōu)化問題的等效清晰模型為

可見，為了求解式(22)的不確定規(guī)劃問題，需要找到合適的數(shù)值方法求解其等效清晰模型。目前，求解多層規(guī)劃模型的方法有極值點(diǎn)算法、k-th最優(yōu)算法、分支界定算法、下降法以及遺傳算法等。本文采用遺傳算法求解該問題，求解過程采用了文獻(xiàn)[28]給出的Nash均衡和Stackelberg-Nash均衡的求解方法。算法的具體步驟如下。

Step1 定義參數(shù)：種群規(guī)模、交叉概率、變異概率。

Step2 從可行域中隨機(jī)初始化染色體。

Step3 通過交叉和變異，更新染色體。

Step4 對于每個(gè)染色體，利用遺傳算法求解第二層規(guī)劃問題的Nash均衡解。

Step5 依據(jù)Stackelberg-Nash均衡求解頭層規(guī)劃目標(biāo)函數(shù)值。

Step6 計(jì)算每個(gè)染色體對應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)值。

Step7 使用輪盤賭選擇（roulette wheel selection）算法選擇新的染色體。

Step8 給定循環(huán)上限，重復(fù)Step3～Step7。

Step9 輸出最優(yōu)染色體即為最優(yōu)解。

由于遺傳算法受到實(shí)際應(yīng)用中系統(tǒng)資源與時(shí)限的約束，僅以一定概率趨于最優(yōu)解，因此，3.4節(jié)給出最優(yōu)在線算法與競爭比上界，并證明該算法求出的解為最優(yōu)解。

3.4 競爭比上界

基于不確定規(guī)劃的能量收集可靠性模型，為了確保節(jié)點(diǎn)運(yùn)行可靠性，使用在線算法不需要對未來能量收集狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測；而使用遺傳算法等優(yōu)化算法，會占用過多的節(jié)點(diǎn)資源，增加處理器的能耗和時(shí)延。為此，本文設(shè)計(jì)了一種基于不確定理論的能量平均分配算法。使用 EAA算法，如果在時(shí)段n中電池可用電量為En*，則在剩余時(shí)段中算法將均勻分配當(dāng)前可用能量，即在新的能量到達(dá)之前，每個(gè)時(shí)段消耗能量為，如圖1所示。由圖1可知，EAA算法是在線算法且并不依賴未來時(shí)段信息，同時(shí)也滿足能量有限性約束。

定理2 EAA算法求解式(22)的優(yōu)化問題是N-競爭的。同時(shí)，EAA是最優(yōu)算法。

證明過程如下。

證明 在式(22)的優(yōu)化問題中考慮松弛二級優(yōu)化目標(biāo)，即假設(shè)一級優(yōu)化目標(biāo)具有任意輸入序列σ=((|h1|2,E1),(|h2|2,E2),…,(|hN|2,EN))?？紤]時(shí)間間隔n且En≠0，記作k1,…,kp，其中，p≤N。不失一般性，假設(shè)k1=1，即時(shí)段1中可用能量非0。該假設(shè)是合理的，否則，可以從第k1時(shí)間間隔開始并移除前（N?k1?1）個(gè)時(shí)間間隔。令i表示介于時(shí)間間隔ki+1和ki之間的時(shí)段。第p個(gè)時(shí)間間隔表明kp間的時(shí)段數(shù)量，即該時(shí)間間隔結(jié)束時(shí)有新能量到達(dá)，且最后時(shí)段為N。為了便于闡述，令第i個(gè)時(shí)段中輸入序 列 為

令為時(shí)段i=1,…,p中衰減系數(shù)的最大值，即。那么，第i個(gè)時(shí)段的輸入序列可增強(qiáng)為

可見，的可實(shí)現(xiàn)速率優(yōu)于σ，因此RO(σ)。由于能量有限性約束，在任意時(shí)間間隔i中，可消耗的最大能量為。因此，任意時(shí)間間隔i中的最大可實(shí)現(xiàn)速率可通過消耗時(shí)間間隔i之前的全部能量來實(shí)現(xiàn)。

進(jìn)一步地，由可得，每一個(gè)時(shí)間間隔中的衰減系數(shù)均已知，因此任意時(shí)間間隔中最優(yōu)離線算法的能量消耗在該時(shí)間間隔中的每一時(shí)段中是相等的，因此有

其中，(ki+1?ki)w是第i個(gè)時(shí)間間隔的長度。為了獲得上界，需要對能量約束進(jìn)行松弛，允許在時(shí)間間隔1中消耗E1的能量，在時(shí)間間隔2中消耗E1+E2的能量，然后時(shí)間間隔p中消耗的能量為如圖1所示。于是有

式(29)可視為的上界，EAA算法的競爭比上界。

下面，分析 EAA算法的速率的下界?？紤]原始輸入序列σ，使用EAA算法，令時(shí)間間隔i中任意時(shí)段n的消耗能量為BEni。那么，，且。簡單的代數(shù)轉(zhuǎn)化可得。于是，使用EAA算法，對于每一個(gè)時(shí)間間隔i=1,2,…,p，僅考慮在σi中實(shí)現(xiàn)最大衰減系數(shù)|himax|2的一個(gè)時(shí)段為

圖1 EAA算法

總的可實(shí)現(xiàn)速率為

其中，(*)是基于推導(dǎo)出來的，x,y≥1。因此，通過式(29)和式(31)可得，EAA算法的競爭比為

由此，依據(jù)前文競爭比定義可得，EAA算法求解式(22)的優(yōu)化問題是N-競爭的；使用EAA算法所得的上界值，即系統(tǒng)所能實(shí)現(xiàn)的最大可實(shí)現(xiàn)速率，繼而EAA算法為求解優(yōu)化問題式(22)的最優(yōu)算法。

4 仿真分析

以實(shí)際的風(fēng)電數(shù)據(jù)為例，通過可靠性驗(yàn)證、遺傳算法求解問題的效率、競爭比這3個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)，說明本文所提能量收集可靠性模型及基于不確定理論的能量平均分配算法（EAA）的可行性和有效性。

4.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

由于風(fēng)能較太陽能在數(shù)據(jù)上而言具有更大的不確定性，作為模型的輸入更能測試模型的頑健性。因此，在驗(yàn)證仿真實(shí)驗(yàn)中模型的輸入數(shù)據(jù)采用了國內(nèi)某電網(wǎng)公司2017年4月1日～30日共30天的風(fēng)功率實(shí)際值，數(shù)據(jù)采樣間隔為15 min，故日內(nèi)時(shí)段為96個(gè)。為了保證能量收集與能量消耗環(huán)節(jié)數(shù)據(jù)的匹配性，風(fēng)電數(shù)據(jù)與系統(tǒng)能耗數(shù)據(jù)均相對于自身的裝機(jī)容量進(jìn)行了標(biāo)幺化處理（采用標(biāo)幺單位制，單位為pu），即最大值均為單位量值；同時(shí)在時(shí)間尺度上，仿真實(shí)驗(yàn)遵循原數(shù)據(jù)的序列特性并假設(shè)具體的時(shí)隙長度由系統(tǒng)處理頻率決定。仿真實(shí)驗(yàn)中數(shù)據(jù)的特征如圖2所示，風(fēng)功率收集速率在0至滿額裝機(jī)容量之間均有數(shù)據(jù)分布且日間數(shù)據(jù)差異較大；負(fù)載能耗需求則呈現(xiàn)一定的日內(nèi)及日間規(guī)律性。

圖2 仿真實(shí)驗(yàn)中數(shù)據(jù)的特征

4.2 可靠性驗(yàn)證

可靠性驗(yàn)證和對比分析主要是對以下4種方法進(jìn)行的：1) 無能量規(guī)劃，即當(dāng)前時(shí)段所收集的能量僅用于當(dāng)前時(shí)段的數(shù)據(jù)任務(wù)；2) 文獻(xiàn)[29]中基于場景生成的能量規(guī)劃方法，其中節(jié)點(diǎn)配備無限容量電池，生成日風(fēng)電功率序列個(gè)數(shù)為 500，單時(shí)段內(nèi)功率計(jì)劃值為其平均值；3) 基于本文可靠性最大化的能量規(guī)劃方法，其中置信水平為0.95，節(jié)點(diǎn)配備無限容量電池；4) 文獻(xiàn)[23]中基于排隊(duì)論G/G/1/∞的建模方法，優(yōu)化節(jié)點(diǎn)的耗盡概率，評估每一時(shí)段的節(jié)點(diǎn)能量收集可靠性。

4種方法能夠?qū)崿F(xiàn)的節(jié)點(diǎn)能量收集可靠性的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示。從表1可以看出，本文所提方法的可靠性為1的時(shí)段數(shù)量最多，且系統(tǒng)在2 880個(gè)連續(xù)時(shí)段內(nèi)無0可靠性時(shí)段，即能夠穩(wěn)定運(yùn)行。值得指出的是，文獻(xiàn)[23]提出的基于排隊(duì)論的方法的可靠性1時(shí)段數(shù)雖然少于文獻(xiàn)[29]提出的基于場景生成的能量規(guī)劃方法，但其可靠性曲線更為穩(wěn)定，這是因?yàn)榛谂抨?duì)論的方法的模型是在保障節(jié)點(diǎn)最低耗盡概率的前提下計(jì)算得出的。

圖3 4種方法能夠?qū)崿F(xiàn)的節(jié)點(diǎn)能量收集可靠性的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表1 數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果

4.3 遺傳算法求解

本節(jié)通過遺傳算法求解等效清晰模型，以驗(yàn)證EAA算法在求解優(yōu)化問題(22)時(shí)的頑健性。實(shí)驗(yàn)中分別設(shè)置了不同的種群規(guī)模、交叉概率、變異概率，算法最大的演化次數(shù)為 200。基于遺傳算法求解式(22)表述的多層不確定規(guī)劃問題的結(jié)果如表2所示。其中，Stackelberg-Nash均衡解并不唯一，表2中給出的目標(biāo)函數(shù)值為6次實(shí)驗(yàn)結(jié)果。為了驗(yàn)證遺傳算法求解該多層不確定規(guī)劃問題的頑健性，算法使用了不同的種群規(guī)模、交叉概率和變異概率，從而得到 6次實(shí)驗(yàn)中目標(biāo)函數(shù)的最大百分比誤差為即EAA算法在求解該優(yōu)化問題中，不同參數(shù)所求得的目標(biāo)函數(shù)的最大百分比誤差為 7.9%。該值越小，說明所述 EAA算法的頑健性越好。

表2 遺傳算法求解結(jié)果

4.4 競爭比

競爭比方面的仿真實(shí)驗(yàn)主要是驗(yàn)證本文所提能量平均分配算法（EAA）的性能。假設(shè)時(shí)間間隔長度為10個(gè)時(shí)段，即N=10。圖4給出了基于歷史數(shù)據(jù)的場景生成算法和基于模糊集的 EAA算法的競爭比柱狀圖。

從圖4可以看出，本文所提EAA算法能夠?qū)δ繕?biāo)函數(shù)值進(jìn)行更有效的優(yōu)化，同時(shí)由于系統(tǒng)資源有限，優(yōu)化結(jié)果以一定的概率趨于最優(yōu)，因此，圖 4中部分?jǐn)?shù)據(jù)競爭比大于 2。該結(jié)論也可通過文獻(xiàn)[26]中針對AWGN信道、固定字節(jié)的最小化傳輸時(shí)間優(yōu)化問題進(jìn)行驗(yàn)證，當(dāng)信道衰減系數(shù)退化為常量時(shí)，存在最優(yōu)在線算法使競爭比小于 2。本文所提的基于不確定理論的規(guī)劃方法不需要進(jìn)行大量歷史數(shù)據(jù)的訓(xùn)練，較場景生成方法更節(jié)省系統(tǒng)資源，同時(shí)能夠?qū)崿F(xiàn)更好的系統(tǒng)規(guī)劃效果。

5 結(jié)束語

針對能量收集網(wǎng)絡(luò)，本文提出了能量收集不確定環(huán)境下的可靠性模型。首先基于能量收集模糊集，定義網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)能量收集可靠性，分別建立節(jié)點(diǎn)無電池和無限容量電池下的可靠性模型；進(jìn)而提出基于可靠性的能量不確定多層規(guī)劃模型，轉(zhuǎn)化為等效清晰模型求解，然后提出基于不確定理論的EAA

算法，并在理論上證明了算法競爭比上界。仿真驗(yàn)證結(jié)果表明，基于不確定理論的能量收集網(wǎng)絡(luò)方法能夠有效評估分析節(jié)點(diǎn)能量收集可靠性，并實(shí)現(xiàn)更好的系統(tǒng)規(guī)劃效果。

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