慣用坐標表示基本事件

鄭 瑞

(江蘇省灌南縣第二中學 222500)

在學習必修三《概率》一章中，求古典概型和幾何概型的概率很重要的一步是列舉基本事件與尋找區(qū)域D、d，但在具體列舉基本事件與尋找區(qū)域D、d時，很多同學頗感頭痛，稍有疏忽，就給個“小”教訓.如何刻畫基本事件呢？坐標法表示基本事件，蘇教版必修三中并沒有詳細展開.很多同學做這方面題目時依然使用初中的一些方法，比如樹狀圖、列表等，這些方法雖然可以，但是不宜于描述與書寫，沒有與函數(shù)等聯(lián)系起來，做高中題目就要多使用高中的方法.孰能生巧，習慣用用坐標表示基本事件這樣才有利于后續(xù)概率知識的展開.下面舉例說明它的應用.

例1 一只口袋內裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次摸出2只球.

(1)共有多少基本事件?

(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？

解(1)分別記白球1,2,3號，黑球為4,5號,從中摸出2只球,有如下基本事件[摸到1，2號球用(1，2)表示]：

(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)

(2，3)(2，4)(2，5)

(3，4)(3，5)

(4，5)

因此，共有10個基本事件.

例2 一只口袋內裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次摸出2只球.

每次摸1個球,連續(xù)摸兩次.

(1)共有多少基本事件?

(2)摸出的兩只球都是白球的概率是多少？

解(1)分別記白球1,2,3號，黑球為4,5號,從中摸出2只球,每次摸1個球,連續(xù)摸兩次.有如下基本事件[摸到1，2號球用(1，2)表示]：

(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)

(2, 1)(2，3)(2，4)(2，5)

(3, 1)(3，2)(3，4)(3，5)

(4，1)(4，2)(4，3)(4，5)

(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)

因此，共有20個基本事件.

(2)記摸到2只白球的事件為事件A，

例3 一只口袋內裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次摸出2只球.

每次摸1個球,摸后放回,連續(xù)摸兩次.

(1)共有多少基本事件?

(2)摸出的兩只球都是白球的概率是多少？

解(1)分別記白球1,2,3號，黑球為4,5號,從中摸出2只球,每次摸1個球,摸后放回,連續(xù)摸兩次.有如下基本事件[摸到1，2號球用(1，2)表示]：

(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)

(2, 1)(2, 2)(2，3)(2，4)(2，5)

(3, 1)(3，2)(3，3)(3，4)(3，5)

(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)(4，5)

(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)

因此，共有25個基本事件.

(2)記摸到2只白球的事件為事件A，

小結在用坐標列舉古典概型的基本事件時，要注意有無順序，有無放回.沒有順序時，(x，y)與(y，x)表示同一個基本事件，例1中(1，2)與(2, 1)是同一個基本事件，因此只寫了前一個；有順序時，(x，y)與(y，x)表示兩個不同的基本事件，例2中(1，2)與(2, 1)是兩個不同基本事件，因此兩個都要列舉；沒有放回時，無(x，x)這個“基本事件”，例1與例2中都沒有形如(1，1)這樣的“基本事件”；有放回時，有(x，x)這個基本事件，例3中有形如(1，1)這樣的基本事件5個.用坐標列舉時要做到不重復、不遺漏.

例4 某廠生產的10件產品中，有8件合格品，2件不合格品，合格品與不合格品在外觀上沒有區(qū)別.從這10件產品中任意抽檢2件，計算：(1)共有多少基本事件；(2)2件都是合格品的概率.

解(1)記8件合格品為1,2,3，…，7,8，記2件不合格品為9,10.從這10件產品中任意抽檢2件，如下基本事件：

(1，2)(1，3)…(1，9)(1，10)

(2, 1)(2，3)…(2，10)

?

(8，9)(8，10)

(9，10)

因此，共有1+2+3+…+9=45個基本事件.

(2)記抽檢2件都是合格品的事件為事件A，

小結對于基本事件數(shù)目較多，可用省略號表示類似的基本事件.

例5 甲、乙二人約定在0點到 5 點之間在某地會面，先到者等一個小時后即離去,設二人在這段時間內的各時刻到達是等可能的，且二人互不影響.求二人能會面的概率.

小結對于此類問題，關鍵是建立數(shù)學模型，建立適當?shù)淖鴺讼?，找到所需的線性約束條件，從而轉化為面積型幾何概型問題.

與概率計算密切相關的“計數(shù)問題”要到選修模塊的系列2中學習，許多同學沒有機會學到，無法用排列組合的方法來研究相關概率問題.習慣用坐標表示基本事件，就顯得更重要，這樣就與解析幾何、函數(shù)與方程等同學們熟悉的內容結合起來，容易接受掌握.坐標法尤其適用選兩個的情況，選三個或三個以上時就不大方便了.

參考文獻：

[1]于志華.幾何概型中概率的計算[J].中國教育與教學，2007(3):5.

[2]尤承業(yè).解析幾何[M].北京：北京大學出版社，2004.