基于平方根無跡卡爾曼濾波算法的電動汽車質(zhì)心側(cè)偏角估計

田彥濤,張 宇,王曉玉,陳 華

(1.吉林大學(xué) 通信工程學(xué)院，長春 130022；2.吉林大學(xué) 工程仿生教育部重點實驗室，長春 130022)

0 引 言

對于汽車安全系統(tǒng)而言，在轉(zhuǎn)向行駛時容易產(chǎn)生過度轉(zhuǎn)向、車輛發(fā)生側(cè)滑的情況，嚴(yán)重時危害人身安全，因此需要對電動汽車側(cè)向穩(wěn)定性進行研究[1]。而對車輛側(cè)向運動狀態(tài)的實時、準(zhǔn)確估計是車輛側(cè)向穩(wěn)定性控制系統(tǒng)研究的基礎(chǔ)[2]。其中，橫擺角速率和車輛側(cè)偏角是兩個非常重要的參數(shù)，可以通過調(diào)整兩者來控制車輛側(cè)向行駛狀態(tài)。橫擺角速率可以由角速度傳感器(陀螺儀)直接測量得到；側(cè)偏剛度能夠反映輪胎和路面條件，對車輛操縱穩(wěn)定性和安全性有直接影響，但是輪胎側(cè)偏剛度和車輛側(cè)偏角由于技術(shù)和經(jīng)濟原因無法直接測量。因此，找到一種可以實時獲取車輛重要信息的、經(jīng)濟且精確的方法，成為底盤控制的一個重要問題。

Piyabongkarn等[3]提出了一種使用廉價傳感器實時估計側(cè)偏角的算法，用于車輛的橫擺穩(wěn)定控制，該算法結(jié)合模型估計和運動學(xué)理論，可以補償存在的道路傾斜角度和輪胎特性的變化。Doumiati等[4]提出了一種動態(tài)建模和觀察的方法來估計側(cè)向力和側(cè)偏角，為了解決系統(tǒng)的非線性和未建模動態(tài)，設(shè)計了擴展和無跡卡爾曼濾波觀測器。Nguyen等[5]提出了一種基于卡爾曼濾波側(cè)偏角估計的電動汽車新電子穩(wěn)定控制系統(tǒng)，通過將組合模型誤差和外部干擾作為擴展的卡爾曼濾波算法,實現(xiàn)了側(cè)偏角的準(zhǔn)確估計，同時提高了控制系統(tǒng)的魯棒性。宗長富等[6]采用了擴展卡爾曼濾波進行估計，但是其計算復(fù)雜，在實際控制系統(tǒng)的應(yīng)用中會受到一定限制。郭洪艷等[7]提出了基于車輛質(zhì)心側(cè)偏角估計的非線性全維觀測器設(shè)計方法。武冬梅等[8]將二自由度車輛模型簡化為以側(cè)向速度為狀態(tài)的線性估計模型,用于電動汽車質(zhì)心側(cè)偏角的估計。劉飛等[9]利用直接積分法，對比了基于擴展卡爾曼濾波的質(zhì)心側(cè)偏角估計算法與基于廣義龍貝格觀測器的質(zhì)心側(cè)偏角估計算法的特點。

電動汽車的質(zhì)心側(cè)偏角對車輛穩(wěn)定性控制起著重要作用。而現(xiàn)有的車輛質(zhì)心側(cè)偏角估計算法存在有實時性不強或精度不夠等問題，不能適應(yīng)各種路面條件。本文提出使用平方根無跡卡爾曼濾波(Square-root unscented Kalman filter,SR-UKF)算法對車輛側(cè)偏角進行實時估計，并使用遞推最小二乘法對輪胎側(cè)偏剛度進行估計，這種方法考慮了不同道路的實際情況，具有更好的實時性和魯棒性。

1 車輛動力學(xué)建模

在不考慮車身的俯仰和側(cè)傾運動時，描述車身在平面內(nèi)運動的方程有3個：縱向運動方程、側(cè)向運動方程和橫擺運動方程[10]。將車輛視為質(zhì)量集中在重心的質(zhì)量塊，質(zhì)心處為坐標(biāo)原點。

1.1 車身動力學(xué)模型

本文車輛側(cè)向動力學(xué)模型只考慮車輛的橫擺平面，將車輛的直接橫擺力矩作為一個輸入變量。直接橫擺力矩是由于作用于每個車輪的電磁力矩的不同而產(chǎn)生的。車輛橫擺平面的側(cè)向動力學(xué)模型如圖1所示。

圖1 車輛橫擺平面四輪模型Fig.1 Four-wheel model of vehicle′s yaw plane

根據(jù)橫擺平面四輪模型，得到車輛側(cè)向動力學(xué)模型和基于質(zhì)心的橫擺力矩平衡方程分別為：

(1)

(2)

(3)

為了設(shè)計的簡化，在對模型精確度影響不大的前提下可以將四輪模型簡化為自行車模型,車輛的側(cè)向和橫擺動力學(xué)方程可分別簡化為：

(4)

(5)

當(dāng)輪胎的側(cè)偏角比較小時，輪胎的側(cè)向力與輪胎的側(cè)偏角近似成線性關(guān)系，如下所示：

(6)

式中：Cf、Cr分別為前輪和后輪側(cè)向力與輪胎側(cè)偏角線性關(guān)系的比例系數(shù)。

當(dāng)轉(zhuǎn)向角非常小時(cosδ≈1)，根據(jù)式(4)～(6)可以近似得到以下狀態(tài)方程：

(7)

式中：x=[β,γ]T；u=[δ,Mz]T；y=γ；

1.2 輪胎模型

輪胎模型的力學(xué)特性和結(jié)構(gòu)參數(shù)決定了汽車的主要性能，因此若要建立精準(zhǔn)的整車動力學(xué)模型必須首先建立與之相匹配精確的輪胎模型。本文采用由Pacejka等[11]提出的魔術(shù)公式，在CarSim中有相應(yīng)的動力學(xué)模型，其一般形式如下：

(8)

式中：Y(x)為輸出變量，一般是縱向力Fx或側(cè)向力Fy或回正力矩Mz；X為輸入變量，一般是滑移率s或側(cè)偏角α；θD為剛度因子；θC為形狀因子；θB為峰值因子；θE為曲率因子；Sh、Sv分別為水平和垂直偏移。

2 側(cè)偏角觀測器設(shè)計

穩(wěn)定性系統(tǒng)需要車輛狀態(tài)信息，其中，車輛側(cè)偏角是一個非常重要的參數(shù)，可用于控制系統(tǒng)設(shè)計。本文不考慮路面的傾角、車身翻滾運動和懸架的偏轉(zhuǎn)等因素，設(shè)計了平方根無跡卡爾曼濾波算法來估計車輛側(cè)偏角。

2.1 側(cè)向動力學(xué)狀態(tài)方程

電動汽車側(cè)向行駛時,系統(tǒng)的非線性隨機狀態(tài)方程為：

(9)

式中：ω(t)為過程噪聲；υ(t)為測量噪聲。

(10)

橫擺角速率和前、后輪側(cè)向力組成觀測向量y,如下所示：

(11)

輸入向量u由轉(zhuǎn)向角、前后輪的驅(qū)動力組成：

(12)

將狀態(tài)方程(9)中的過程噪聲和測量噪聲假設(shè)為不相關(guān)的白色噪聲，那么系統(tǒng)的非線性狀態(tài)方程f(x(t),u(t))和觀測方程h(x(t))分別為：

f(x(t),u(t))=

(13)

(14)

2.2 平方根無跡卡爾曼濾波算法設(shè)計

在非線性的簡化車輛動力學(xué)模型基礎(chǔ)上，本文使用無跡卡爾曼濾波器(UKF)進行狀態(tài)估計。但在實際應(yīng)用中，UKF算法由于噪聲和計算誤差會出現(xiàn)協(xié)方差矩陣非正定的問題，本文應(yīng)用平方根無跡卡爾曼濾波(SR-UKF)來提高數(shù)值的穩(wěn)定性，保證狀態(tài)協(xié)方差矩陣半正定性，進而估計車輛側(cè)偏角[12,13]。

為了能在計算機上實現(xiàn)，本文采用歐拉近似理論將其離散化為如下形式：

(15)

式中：狀態(tài)變量xk∈Rn；輸入變量uk∈Rr；k時刻的輸出變量yk∈Rm。

SR-UKF算法步驟如下所示。

(1)初始化。在UKF的基礎(chǔ)上，通過喬里斯基(Cholesky)分解后的矩陣平方根計算狀態(tài)協(xié)方差：

(16)

式中：協(xié)方差平方根有“-”標(biāo)志的是下三角矩陣，沒有的是上三角矩陣；chol(·)為喬里斯基分解。

(2)Sigma點的選擇計算和時間更新。主要包括如下兩步：

Step1 非線性狀態(tài)方程的預(yù)測和狀態(tài)協(xié)方差矩陣平方根的計算：

(17)

式中：cholupdate(·)為喬里斯基分解的更新函數(shù)；qr(·)為QR分解函數(shù)；Q為過程噪聲協(xié)方差矩陣。

Step2 Sigma點的更新傳播和非線性觀測方程的進一步預(yù)測：

(18)

式中：相關(guān)權(quán)重因子如下：

(19)

(20)

(21)

(22)

式中：R為測量噪聲協(xié)方差矩陣。

本文選擇Q和R為對角矩陣形式，協(xié)方差的過程和測量噪聲矩陣如下：

(23)

本文中應(yīng)用的簡化車輛動力學(xué)模型是精確可靠的，所以過程噪聲設(shè)置得相對較小。

3 輪胎側(cè)偏剛度估計

側(cè)偏剛度是一個隨輪胎側(cè)偏角和路面摩擦變化而變化的重要參數(shù)，可以利用在線估計的側(cè)偏剛度來改善主動轉(zhuǎn)向系統(tǒng)性能。本文利用上述側(cè)偏角信息，采用最小二乘法[14]估計輪胎側(cè)偏剛度。

3.1 輪胎側(cè)向力模型

輪胎側(cè)向力在車輛動力學(xué)中起著重要作用。當(dāng)輪胎側(cè)偏角出現(xiàn)時，在接觸路徑側(cè)向力將施加于輪胎上[15]。當(dāng)輪胎側(cè)滑角很小時，側(cè)向力與輪胎側(cè)偏角和側(cè)偏剛度成正比：

Fy=C0β

(24)

式中：Fy為輪胎側(cè)向力；C0為輪胎側(cè)偏剛度。

假設(shè)左、右側(cè)輪胎側(cè)偏剛度相同，則左側(cè)和右側(cè)的側(cè)向力結(jié)合可以近似表示為：

(25)

3.2 輪胎側(cè)偏剛度估計

定義兩個虛擬參數(shù)為：

X1=Cf,X2=Cr

(26)

建立如下的一個線性回歸方程：

y(t)=φT(t)X(t)

(27)

式中：y(t)、φT(t)分別為測量輸出和輸入數(shù)據(jù)向量；X(t)為待估計的參數(shù)向量，其表達式分別為：

(28)

本文采用帶遺忘因子的遞推最小二乘法估計輪胎的側(cè)偏剛度，算法過程如下：

(29)

(30)

實際中，輪胎側(cè)偏剛度在確定的路面條件下，是在一定范圍內(nèi)的。本文限定Cf∈(Cf,min,Cf,max),Cr∈(Cr,min,Cr,max)。在轉(zhuǎn)向角近似為零時，所得的試驗數(shù)據(jù)也近似為零，此時估計值將變得不確定。所以在轉(zhuǎn)向角很小時，設(shè)置遞歸最小二乘法的數(shù)據(jù)不更新。

4 仿真試驗結(jié)果及分析

為了驗證本文所提出估計算法的有效性，選擇專業(yè)的汽車仿真軟件CarSim和Simulink進行聯(lián)合仿真試驗。將CarSim車輛模型中輸出的變量作為實際參考值，與采用SR-UKF估計算法得到的車輛側(cè)偏角估計值和遺忘因子最小二乘法估計得到的輪胎側(cè)偏剛度估計值進行比較。但由于CarSim車輛模型中輸出的變量不包含輪胎側(cè)偏剛度數(shù)據(jù)變量，所以本文利用已知的輪胎側(cè)向力和車輛側(cè)偏角信息將其計算出來，作為實際參考值進行對比。

本文設(shè)定CarSim車輛模型中汽車參數(shù)如表1所示。

在CarSim的測試規(guī)范模塊設(shè)置車輛參數(shù)和仿真條件。車輛以80 km/h的初速度行駛，方向盤輸入轉(zhuǎn)向角設(shè)置為正弦信號輸入，其周期為4 s、振幅為60°。本文假設(shè)汽車分別在路面附著系數(shù)為0.9和0.4的路面上行駛，進行仿真試驗，得到在不同路面條件下車輛狀態(tài)信息、車輛側(cè)偏角和輪胎側(cè)偏剛度的估計結(jié)果圖。

表1 電動汽車參數(shù)Table 1 Parameters of electric vehicle

圖2 μ=0.9時的車輛側(cè)偏角與輪胎側(cè)偏剛度估計結(jié)果Fig.2 Eestimation results of side-slip angle and cornering stiffness of tire when μ=0.9

圖2為μ=0.9時的車輛側(cè)向運動相關(guān)狀態(tài)估計結(jié)果。從圖2中可以看到：轉(zhuǎn)向角正弦輸入在2～6 s期間起作用，圖2(a)為在路面附著系數(shù)為0.9時的側(cè)向加速度、橫擺角速率和輸出轉(zhuǎn)向角隨輸入的正弦信號的變化趨勢和狀態(tài)。從圖2(b)中可以看出：在正弦信號輸入狀態(tài)下，本文所設(shè)計的平方根無跡卡爾曼觀測器(SR-UKF)可以準(zhǔn)確、有效地估計出車輛側(cè)偏角的變化，估計誤差很小，它的準(zhǔn)確估計為下文的控制設(shè)計和分析提供了有效的車輛狀態(tài)信息。

圖2(c)(d)分別為車輛的前、后輪側(cè)偏剛度的估計值與真實值對比圖，可以看出：本文采用的遺忘因子遞推最小二乘法有很好的實時性，前、后輪側(cè)偏剛度的估計值能夠較好地跟隨真實值的變化；前、后輪的側(cè)偏剛度真實值在轉(zhuǎn)向角為零或在零附近時，產(chǎn)生劇烈的震蕩，因為真實值是通過輸出的已知量計算得到的，可能是在該時刻輪胎側(cè)偏角非常小(近似為零)，導(dǎo)致輪胎側(cè)偏剛度突變增大。這種突變對控制系統(tǒng)有一定的影響，所以在轉(zhuǎn)向角很小或在零附近時，遞歸算法不進行數(shù)據(jù)的更新，從而消除轉(zhuǎn)向角很小時，前、后輪側(cè)偏剛度產(chǎn)生的劇烈震蕩。

圖3 μ=0.4時的車輛側(cè)偏角與輪胎側(cè)偏剛度估計結(jié)果Fig.3 Eestimation results of side-slip angle and correring stiffness of tire when μ=0.4

圖3為μ=0.4時的車輛側(cè)向運動相關(guān)狀態(tài)估計結(jié)果。圖3(a)為路面附著系數(shù)為0.4時的側(cè)向加速度、橫擺角速率和輸出轉(zhuǎn)向角的隨著輸入的正弦信號的變化趨勢和狀態(tài)。從圖3(b)中可以看出：此時的質(zhì)心側(cè)偏角的估計值也能很好地跟隨真實值的變化，具有較好的實時性，相對于路面條件良好時，側(cè)偏角的值相對增大了一些，但是估計的準(zhǔn)確度依然很好，誤差較?。粓D3(c)(d)分別為車輛前、后輪側(cè)偏剛度的估計值與真實值的對比效果圖，可以看出：圖中前、后輪側(cè)偏剛度的估計值也能夠?qū)崟r跟隨真實值變化。

圖4為不同路面條件下的側(cè)偏角估計誤差。從圖4可以看出：在不同路面條件下，本文所設(shè)計的狀態(tài)觀測器都能很好地估計車輛側(cè)偏角，估計誤差都很小，能為穩(wěn)定性控制提供可靠的車輛狀態(tài)信息。

圖4 側(cè)偏角估計誤差Fig.4 Estimation error of side-slip angle

5 結(jié)束語

本文提出采用平方根無跡卡爾曼濾波(SR-UKF)觀測器對車輛側(cè)偏角進行實時估計。利用估計到的側(cè)偏角，使用帶遺忘因子的遞推最小二乘法對輪胎側(cè)偏剛度進行估計。最后，通過Simulink仿真試驗和CarSim聯(lián)合仿真試驗驗證了本文估計方法的有效性。結(jié)果表明：在不同路面條件下，本文方法獲得的估計值能夠?qū)崟r地跟隨實際值的變化，能夠達到控制系統(tǒng)設(shè)計的要求。本文研究對于后期電動車側(cè)向穩(wěn)定性控制的深入研究具有重要意義。

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