有關(guān)雙等邊三角形組合問題的探究

邱亭亭

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，一定量的解題訓(xùn)練是必不可少的，但僅依靠“題海戰(zhàn)術(shù)”進(jìn)行解題訓(xùn)練是不可取的.“題海戰(zhàn)術(shù)”在能力培養(yǎng)方面主要表現(xiàn)為提高模仿力與復(fù)制力，因此我們與其窮于應(yīng)付煩瑣過量的題目，還不如選擇一個(gè)有意義但又不太復(fù)雜的題目去深入發(fā)掘題目的各個(gè)側(cè)面，對(duì)與此相關(guān)的一系列問題都有一個(gè)系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)和把握.波利亞認(rèn)為，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的在于解題；解題是一種本領(lǐng)，是只能靠模仿和實(shí)踐才能學(xué)到的本領(lǐng)；解題的關(guān)鍵在于找到合適的解題思路；學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑是由自己去發(fā)現(xiàn)，因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)，理解最深，也最容易掌握其中的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系；直接從老師或書本那兒被動(dòng)地不假思索地接受過來的知識(shí)，可能很快忘掉，難以成為自己的東西.

下面我們來看一道有關(guān)兩個(gè)等邊三角形組合的問題：已知△DAC與△EBC都是等邊三角形，且AE，BD分別交CD，CE于M，N，AE，BD相較于點(diǎn)F.如圖1.

結(jié)論1：CD∥BE，AD∥CE （易證）.

點(diǎn)評(píng)：可以根據(jù)60°的同位角相等進(jìn)行證明.

結(jié)論2：△ACE≌△DCB，∠1=∠2，∠3=∠4，AE=BD.

證明：∵△ACD和△BCE是等邊三角形，

∴AC=CD，CE=BC，∠ACD=∠BCE=60°.

∴∠ACE=∠DCB.

∴△ACE≌△DCB（SAS）.

∴ ∠1=∠2，∠3=∠4，AE=BD.

結(jié)論3： △ACM≌△DCN，AM=DN，CM=CN.

證明：由結(jié)論2知，∠1=∠2.

∵∠ACD=∠BCE=60°，

∴∠DCE=60°.

∴△ACM≌△DCN（ASA）.

∴AM=DN，CM=CN.

結(jié)論4：△MCE≌△NCB.

證明：由結(jié)論2，3知，AE=BD，AM=DN，從而得出ME=BN.

由結(jié)論3知，CM=CN.

∴△MCE≌△NCB（SSS）.

也可以根據(jù)結(jié)論3利用“SAS”進(jìn)行證明，在此不再重復(fù).

結(jié)論5：連接MN，△MCN為等邊三角形，MN∥AB.

證明：由結(jié)論3知，CM=CN.

又∵∠MCN=60°，

∴△MCN為等邊三角形.同時(shí)，易得：MN∥AB.

結(jié)論6：連接CF，則CF平分∠AFB.

證明：過點(diǎn)作CG⊥AE于點(diǎn)G，作CH⊥BD于點(diǎn)H.

∵△ACE≌△DCB（由結(jié)論2知），

∴AE=BD.

∵CG為△ACE中AE邊上的高線，CH為△DCB中BD邊上高線，

∴CG=CH（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等）.

∵CG⊥AE，CH⊥BD，

∴CF平分∠AFB.

點(diǎn)評(píng)：在證明結(jié)論6的時(shí)候，有兩個(gè)難點(diǎn)：學(xué)生很難想到由點(diǎn)C向AE與BD兩邊作垂線段；學(xué)生也難想到利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高線相等，角平分線的判定來進(jìn)行證明.這兩個(gè)難點(diǎn)也是學(xué)生在做題過程中容易忽略的知識(shí)點(diǎn).

反思：此題通過先研究兩個(gè)等邊三角形的相關(guān)性質(zhì)以及等邊三角形的線段的等量關(guān)系和證明方法，從中掌握分析問題的思路和解決問題的方法步驟，然后引申、拓展、總結(jié)、歸納，從而得到等邊三角形中隱藏的相關(guān)結(jié)論.在此探索過程中，需要學(xué)生掌握通過觀察、歸納、類比等獲得的數(shù)學(xué)猜想正確與否的原理、策略與方法，以及結(jié)合演繹推理與合情推理發(fā)展推理能力.此題改變了傳統(tǒng)幾何證明題的模式（已知，求證，證明），將合情推理與演繹推理有機(jī)融合，有助于學(xué)生加深對(duì)問題的理解，提高解題能力，形成創(chuàng)新意識(shí).

總之，按照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，幾何證明題，注重探究，重視對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，加強(qiáng)學(xué)生讀圖、審圖、合情推理等能力的考查，強(qiáng)化圖形分解的應(yīng)用，側(cè)重考查學(xué)生運(yùn)用幾何知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.因此，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，并從中體會(huì)及感悟積極的態(tài)度與科學(xué)的思想方法所蘊(yùn)涵的意義和作用，都是促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新精神的養(yǎng)成及學(xué)習(xí)能力的提高的有效方式.